第63讲　全概率公式及应用

第63讲全概率公式及应用【备选理由】例1考查全概率公式的直接计算,体现方程思想的应用;例2考查全概率公式的简单应用;例3考查贝叶斯公式的应用,考查逻辑思维能力及公式变形应用能力;例4考查全概率公式与数列综合,考查逻辑思维能力及运算能力,以及综合分析与解决问题的能力.例1[配探究点一使用]设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(B)=13,P(B|A)=56,P(B|A)=12A.P(A)=13 B.P(AB)=C.P(A+B)=34 D.P(A|B)=[解析]因为P(B)=13,P(B|A)=56,P(B|A)=12,所以P(B|A)=16,P(B|A)=12,又P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A),所以13=16P(A)+12P(A)=16P(A)+12[1-P(A)],所以P(A)=12,故A错误;由P(B|A)=P(AB)P(A)=16,可得P(AB)=112,故B错误;P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=12+13-112=34,故C正确;P(A|B)=例2有一位老师叫他的学生到麦田里摘一颗全麦田里最大的麦穗,期间只能摘一次,并且只可以向前走,不能回头.结果,他的学生两手空空走出麦田,因为他不知前面是否有更好的,所以没有摘,走到前面时,又发觉总不及之前见到的,最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到n颗麦穗,且这n颗麦穗的大小均不相同,最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率均相等,为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗,现有如下策略:不摘前k(1≤k<n)颗麦穗,自第k+1颗开始,只要发现比他前面见过的麦穗都大的,就摘这颗麦穗,否则就摘最后一颗.设k=tn,该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为P.取(1)若n=4,k=2,求P;(2)若n取无穷大,从理论的角度,求P的最大值及P取最大值时t的值.解:(1)这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序,有A44=24(种)情况.要摘到那颗最大的麦穗,①最大的麦穗是第3颗,其他的麦穗随意在哪个位置,有A33=6(种)②最大的麦穗是最后1颗,第二大的麦穗是第1颗或第2颗,其他的麦穗随意在哪个位置,有2A22=4(种)情况,故所求概率为6+424(2)记事件A表示最大的麦穗被摘到,事件Bj表示最大的麦穗在麦穗中排在第j颗.因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率均相等,所以P(Bj)=1n,j=1,2,3,…,n,则P(A)=若1≤j≤k,则最大的麦穗在前k颗麦穗之中,不会被摘到,此时P(A|Bj)=0.若k+1≤j≤n,则当且仅当前j-1颗麦穗中的最大的一颗麦穗在前k颗麦穗中时,最大的麦穗被摘到,此时P(A|Bj)=kj则P(A)=1令函数g(x)=xnlnnx(1≤x<n),则g'(x)=1nlnn令g'(x)=0,则x=ne当x∈1,ne时,g'(x)>0,当x∈ne,n时,所以g(x)在1,ne上单调递增,在所以g(x)max=gne=1所以当k=ne时,P(A)=knlnnk取得最大值,最大值为1e,例3[配例2使用][2023·昆明模拟]随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术,其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式,避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题,从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护,又能获得所需要的真实信息.某公司为提升员工的工作效率,规范管理,决定出台新的员工考勤管理方案,方案起草后,为了解员工对新方案是否满意,决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查:所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次,约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上,则按①回答问卷,否则按②回答问卷”.①若第一次抛掷硬币出现正面朝上,则在问卷中画“√”,否则画“×”;②若你对新考勤管理方案满意,则在问卷中画“√”,否则画“×”.当所有员工完成问卷调查后,统计画√,画×的比例为3∶2,用频率估计概率,则该公司员工对考勤管理方案的满意率为 (C)A.50% B.60% C.70% D.80%[解析]设抛掷一枚质地均匀的硬币两次,其中结果为一次正面朝上一次反面朝上为事件A,则P(A)=12,P(A)=1-12=12.设回答①且画“√”为事件B,则P(B|A)=12,则P(A)·P(B|A)=12×12=14.设回答②且画“√”为事件C,则P(C)=33+2-P(例4[配例3使用][2024·广州天河区一模]某商场拟在周末进行促销活动,为吸引消费者,特别推出“玩游戏,送礼券”的活动,游戏规则如下:该游戏进行10轮,若在10轮游戏中,参与者获胜5次就送2000元礼券,并且游戏结束;否则继续游戏,直至10轮结束.已知该游戏第一轮获胜的概率是12,若上一轮获胜则下一轮获胜的概率是12,若上一轮失败则下一轮获胜的概率是23.记消费者甲第n轮获胜的概率为pn,数列{pn}的前n项和∑i=1np(1)求消费者甲第2轮获胜的概率p2;(2)证明pn-47为等比数列,解:(1)由题得p2=p1×12+(1-p1)×23=12×12+12(2)∵pn=pn-1×12+(1-pn-1)×2∴pn=23-16pn-∴pn-47=-1又p1-47=-1∴pn-47是首项为-114,公比为-16的等比数列,∴pn-∴pn=-114×-16Tn=∑i