第二章 第4讲 幂函数、指数与指数函数

第二章函数第4讲幂函数、指数与指数函数课标要求命题点五年考情命题分析预测幂函数的图象与性质该讲命题热点为指数函数的图象应用、性质判断，比较大小(常运用指、对、幂函数的性质或中间值比较大小，有时需要构造函数，借助函数单调性比较大小).题型以选择题为主，难度中等.2025年高考备考时，应重点关注指数函数的图象与性质的灵活运用.指数幂的运算指数函数的图象及应用2019浙江T6指数函数的性质及应用2023新高考卷ⅠT4；2023全国卷甲T11；2023天津T3；2020全国卷ⅡT12；2020天津T6；2019全国卷ⅠT3

1.幂函数(1)幂函数的概念一般地，函数①

叫做幂函数，其中

x

是自变量，α是常数.y

＝

x

α

(2)5种常见幂函数的图象与性质函

数y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定

义

域RRR②

⁠③

⁠值

域R④

⁠R{y｜y≥0}⑤

⁠{x｜x≥0}

{x｜x≠0}

{y｜y≥0}

{y｜y≠0}

函

数y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1奇

偶

性奇函

数⑥

⁠奇函数非奇非偶函数⑦

⁠单

调

性在R

上单调递

增在(－∞，0)上单

调递减，在[0，

＋∞)上单调递增⑧

⁠

⁠

⁠⑨

⁠

⁠⑩

⁠

⁠

⁠

⁠偶函数

奇函数

在R上

单调递增

在(0，＋∞)

上单调递增

在(－∞，0)

和(0，＋∞)上单

调递减

函

数y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1图

象

过

定

点⑪

⁠(1，1)

规律总结(1)幂函数

y

＝

x

α在第一象限的图象如图所示，可根据函数的定义域以及奇偶性判断

幂函数在第二或第三象限的图象.(2)在(0，1)上，幂函数的指数越大，函数图象越接近

x

轴；在(1，＋∞)上，幂函数的指数越小，函数图象越接近

x

轴.注意

幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，若与坐标轴有交点，则交点一定是原点.

a

ar

＋

s

ar

－

s

ars

arbr

3.指数函数(1)指数函数的概念函数

y

＝

ax

(

a

＞0，且

a

≠1)叫做指数函数，其中指数

x

是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象和性质函数y＝ax(a＞1)y＝ax(0＜a＜1)图象

性质函数的定义域为R；值域为⑲

⁠.函数图象过定点⑳

，即当x＝0时，y＝1.当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1.当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，

y＞1.函数在R上单调递㉑

⁠.函数在R上单调递㉒

⁠.(0，＋∞)

(0，1)

增

减

注意

当指数函数的底数

a

的大小不确定时，需分

a

＞1和0＜

a

＜1两种情况

进行讨论.

A.1B.－1C.7－2πD.2π－7

A12342.[多选]已知幂函数

f

(

x

)＝

x

α的图象经过点(16，4)，则下列说法正确的有(

BCD

)A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.当x＞1时，f(x)＞1

BCD12343.函数

f

(

x

)＝

ax

－1＋2(

a

＞0，且

a

≠1)的图象恒过定点

⁠.(1，3)

12344.已知函数

f

(

x

)＝

ax

＋

b

(

a

＞0，且

a

≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则

a

＋

b

＝

⁠.

1234

A例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b

A例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4方法技巧1.对于幂函数的图象识别问题，解题关键是把握幂函数的性质，尤其是单调性、奇

偶性、图象经过的定点等.2.比较幂值大小的方法(1)同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较.(2)同指不同底的幂值大小比较：利用幂函数的单调性进行比较.(3)既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较幂值与中间值

的大小来判断.例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

C.2

A例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4方法技巧指数幂的运算技巧运算顺序①有括号先算括号内的；②无括号先进行指数的乘方、开方，再乘除，最

后加减；③底数是负数的先确定符号.运算

基本原则①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④化带

分数为假分数.例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

2

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4命题点3

指数函数的图象及应用例3

(1)已知函数

y

＝

kx

＋

a

的图象如图所示，则函数

y

＝

ax

＋

k

的图象可能是(

B

)A

B

C

DB[解析]由函数

y

＝

kx

＋

a

的图象可得

k

＜0，0＜

a

＜1.函数

y

＝

ax

＋

k

的图象可以看

作是把

y

＝

ax

的图象向右平移－

k

个单位长度得到的，且函数

y

＝

ax

＋

k

是减函数，

故此函数的图象与

y

轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，可知选B.例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4(2)[2024上海奉贤致远高级中学模拟]已知

a

∈R，若关于

x

的方程｜3

x

－1｜－2

a

＝0

有两个不相等的实根，则

a

的取值范围是

⁠.

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4命题拓展已知

a

∈R，若关于

x

的方程｜

ax

－1｜－2

a

＝0有两个不等的实根，则

a

的取值范

围是

⁠.

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

图1图2例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4方法技巧与指数函数有关的图象问题的求解策略数形结合指数型函数图象识别，一般通过确定图象是“上升”还是“下降”、图象

位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解.变换作图对于有关指数型函数的图象问题，一般从最基本的指数函数的图象入手，

通过平移、伸缩、对称变换而得到.注意

在指数函数图象变换时，注意特殊点(如定点)、特殊线(如渐近线)的变化.例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4训练3

[2024重庆市巴蜀中学适应性考试]已知函数

f

(

x

)＝

ax

－1－2(

a

＞0，且

a

≠1)的

图象恒过定点

M

(

m

，

n

)，则函数

g

(

x

)＝

m

＋

xn

的图象不经过(

D

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

D例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4命题点4

指数函数的性质及应用角度1

比较大小例4

(1)[2023天津高考]若

a

＝1.010.5，

b

＝1.010.6，

c

＝0.60.5，则

a

，

b

，

c

的大小关

系为(

D

)A.c＞a＞bB.c＞b＞aC.a＞b＞cD.b＞a＞c[解析]因为函数

f

(

x

)＝1.01

x

是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，

即

b

＞

a

＞1；因为函数

g

(

x

)＝0.6

x

是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即

c

＜1.综上，

b

＞

a

＞

c

.故选D.D例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

A.b＞c＞aB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞bA

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4方法技巧比较指数幂大小的常用方法单调性法不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所

以能够化同底的尽可能化同底.取中间值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是1)比较大

小，然后得出大小关系.数形结合法根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，

借助图象比较大小.例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

A.(－4，0)B.(－4，0]C.(0，4)D.[0，4)

B例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

(－2，＋∞)

(－∞，

－2)

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4(2)若

f

(

x

)有最大值3，则

a

的值为

⁠；1

(3)若

f

(

x

)的值域是(0，＋∞)，则

a

的值为

⁠.[解析](3)令

g

(

x

)＝

ax

2－4

x

＋3，由

f

(

x

)的值域是(0，＋∞)知，

g

(

x

)＝

ax

2－4

x

＋3的值域为R，则必有

a

＝0.0

例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4方法技巧1.形如

y

＝

af

(

x

)的函数的单调性：若

a

＞1，则函数

f

(

x

)的单调递增(减)区间即函数

y

＝

af

(

x

)的单调递增(减)区间；若0＜

a

＜1，则函数

f

(

x

)的单调递增(减)区间即函数

y

＝

af

(

x

)的单调递减(增)区间.2.求解指数型函数中的参数取值范围的基本思路一般利用指数函数的单调性或最值进行转化求解.注意

当底数

a

与1的大小关系不确定时应分类讨论.例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

B.(1，＋∞)

C例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4(2)[2024浙江温州联考]如果1＜2

a

＜2

b

＜2，那么(

C

)A.aa＜ab＜baB.aa＜ba＜abC.ab＜aa＜baD.ab＜ba＜aa[解析]因为函数

y

＝2

x

在R上单调递增，20＝1＜2

a

＜2

b

＜2＝21，所以0＜

a

＜

b

＜

1.因为函数

y

＝

ax

(0＜

a

＜1)在R上单调递减，所以

aa

＞

ab

.因为函数

y

＝

xa

(0＜

a

＜

1)在(0，＋∞)上单调递增，所以

aa

＜

ba

，所以

ab

＜

aa

＜

ba

.故选C.C例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.[3，＋∞)D.(－∞，－2)

B例1训练1例2训练2例3训练3例4例5例6训练4

1.[命题点1]某同学研究了一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值

域是{

y

｜

y

∈R，且

y

≠0}；③在(－∞，0)上是增函数.如果他给出的三个性质中，

有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(

B

)A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x－2C.f(x)＝x3

B1234567

1234567

－9

a

12345674.[命题点3]若函数

f

(

x

)＝(4

mx

－

n

)2的大致图象如图所示，则(

B

)A.m＞0，0＜n＜1B.m＞0，n＞1C.m＜0，0＜n＜1D.m＜0，n＞1B1234567

1234567

D.[2，＋∞)

B1234567

A.1B.－1C.2D.－2

A1234567

4

1234567

1234567

123456789101112

A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数

A

A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.a＞c＞b

B1234567891011123.[2024山东青岛模拟]函数

f

(

x

)＝

ax

2＋2

x

＋1与

g

(

x

)＝

xa

在同一直角坐标系中的图

象不可能为(

B

)ABBCD123456789101112

123456789101112

A.(－∞，－3)B.(1，＋∞)C.(－3，1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)

C1234567891011125.[2024安徽江淮十校联考]已知幂函数

f

(

x

)＝(

m

2－5

m

＋5)

xm

－2是R上的偶函数，

且函数

g

(

x

)＝

f

(

x

)－(2

a

－6)

x

在区间[1，3]上单调递增，则实数

a

的取值范围是

(

B

)A.(－∞，4)B.(－∞，4]C.[6，＋∞)D.(－∞，4]∪[6，＋∞)[解析]因为幂函数

f

(

x

)＝(

m

2－5

m

＋5)

xm

－2是R上的偶函数，则

m

2－5

m

＋5＝

1，解得

m

＝1或

m

＝4.当

m

＝1时，

f

(

x

)＝

x

－1，该函数是定义域为{

x

｜

x

≠0}的奇

函数，不符合题意；当

m

＝4时，

f

(

x

)＝

x

2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题

意，所以

f

(

x

)＝

x

2，则

g

(

x

)＝

x

2－(2

a

－6)

x

，其图象的对称轴为

x

＝

a

－3，因为

g

(

x

)在区间[1，3]上单调递增，则

a

－3≤1，解得

a

≤4.故选B.B1234567891011126.[多选]设函数

f

(

x

)＝2

x

，对于任意的

x

1，

x

2(

x

1≠

x

2)，下列结论中正确的是

(

ACD

)A.f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)ACD123456789101112

123456789101112

(－1，4)

123456789101112

8.[2024河南南阳模拟]已知函数

f

(

x

)＝｜3

x

－1｜，

a

＜

b

＜

c

，且

f

(

a

)＞

f

(

b

)＞

f

(

c

)，则下列结论中一定成立的是(

D

)A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0C.3－a＜3cD.3a＋3c＜2D123456789101112[解析]作出

f

(

x

)的图象，如图所示.因为

a

＜

b

＜

c

，且

f

(

a

)＞

f

(

b

)＞

f

(

c

)，所以

a

＜

b

＜0，且存在b'＞0，使

f

(

b

)＝

f

(b')，则

b

＜

c

＜b'，即

b

＜0＜

c

＜b'或

b

＜

c

＜0＜b'，故排除A，B；取

a

＝－1，

c

＝0，可排除C；当

c

＞0时，

f

(

a

)＝1－3

a

＞

f

(

c

)＝3

c

－1，所以3

a

＋3

c

＜2，当

c

≤0时，3

a

＜

1，3

c

≤1，则3

a

＋3

c

＜2，故D一定成立.123456789101112

A.b＞c＞aB.c＞b＞aC.c＞a＞bD.a＞b＞c

A123456789101112

A.f(a)＞f(b)＞f(c)B.f(b)＞f(a)＞f(c)C.f(a)＞f(c)＞f(b)D.f(c)＞f(a)＞f(b)D123456789101112

1234567891