1.2 集合间的基本关系（解析版）

.2集合间的关系知识点一集合的关系【【解题思路】判断集合关系的方法1.观察法：一一列举观察.2.元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.3.数形结合法：利用数轴或Venn图.【例1-1】．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】】,所以，，，故ABD错误,C正确,故选：C【例1-2】（23-24河北保定·期末）已知集合，，则（

）A． B．AB C．BA D．【答案】C【解析】，故BA.故选：C【例1-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（

）A．⫋ B．⫌ C． D．【答案】B【解析】由题意，在中，，，∴，∴⫌，【变式】1．（23-24·陕西延安·开学考试）已知集合，则有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，，从而，不是的子集.2．（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，则，，，B对，ACD错.故选：B．3．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①错误，中包括0；②错误，中没有任何元素；③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号；由③可知，④正确；⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素；⑥正确，有理数中包括整数.故选：B知识点二空集【【解题思路】1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．【例2-1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A,集合中有一个元素，故不是空集，对于B,方程无实数解，∴集合为空集，对于C，是无限集，所以不是空集，对于D,，不是空集.故选：B．【例2-2】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：，故B正确；对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确；故选：C.【例2-3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，二次方程无解，故，解得.故选：D【变式】1．（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误；对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确；对于C，因为是集合中的元素，故C正确.故选：A.2．（2024高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确；对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误；对于（3），，所以错误；对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确．所以正确的有：（1），（4）共2个．故选：B．3．（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（

）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，则；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错；②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错；④空集只有自己本身一个子集，所以④错.故选：A.4．（2024上海浦东新）已知集合，则实数k的取值范围是.【答案】【解析】∵，∴，解得，因此实数k的取值范围是.故答案为：.知识点三（真）子集的个数【【解题思路】求给定集合的子集的两个注意点：1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.【例3-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若集合，则集合的子集共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】因为集合，所以集合的子集有：，，，.所以集合的子集共有4个.故选：C.【例3-2】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故A错误；，故B错误；因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误；是集合的真子集，故C正确.故选：C.【例3-3】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】因为，所以可以是，共8个，故选：D【例3-4】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则满足条件的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由可得且，根据为的真子集，可得或或，故满足条件的集合的个数为3.故选：A【变式】1．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（

）A．7个 B．8个 C．16个 D．15个【答案】D【解析】由和可得，所以集合A的真子集个数为个.故选：D2．（2024·黑龙江·三模）已知集合，则满足的集合C的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由题知因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4，即集合的子集个数为个.故选：C.3．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题可知，集合可以为：共3个，故选：C.4．（2024·湖北·模拟预测）（多选）已知集合，，集合满足，则（

）A．， B．集合可以为C．集合的个数为7 D．集合的个数为8【答案】AC【解析】由题意得，，又.所以，，故A正确；当时，不满足，B错误，集合的个数等价于集合的非空子集的个数，所以集合的个数为，故C正确，D错误，故选：AC.知识点四韦恩图【例4】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】，又，所以，选项B符合，故选：B.【变式】1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】易知，显然，且互不包含.故选：A2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，即，所以，即.故选：B重难点一已知集合的关系求参数【【解题思路】由集合间的关系求参数1.若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．2.若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．3.注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.4.常见模型【例5-1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（

）.A．2 B．4 C．7 D．8【答案】C【解析】当时，，满足，当时，，因为，所以或，得或，综上，实数取值的集合为，所以实数取值集合的真子集的个数为，故选：C【例5-2】（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】集合，集合，若，又，所以，解得故选：B【例5-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为集合，，若，则，故实数a的取值范围是.故选：B.【例5-4】（2024江苏·专题练习）已知，若，求实数a的值.【答案】1或4【解析】由已知可得，因为，则或或或，当时，，无解，当时，则，解得，当时，则，无解，当时，则，解得，综上，实数a的值为1或4.【变式】1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，,故当时，易求；当时，由得，或2.综上得：故选:C．2．（2024·黑龙江·模拟预测）若集合，若，则（

）A．1 B． C．或1 D．【答案】C【解析】当时，，此时满足.当时，，此时满足，故选:C.3．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知集合，，若，则（

）A．0 B．4 C．16 D．16或0【答案】D【解析】由题意集合，，若，则（互异性）即，所以或，解得或0.故选：D.4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（

）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2【答案】A【解析】对于集合，由元素的互异性知且，则．由得．若，则，满足；若，则，矛盾，舍去．故选：A5．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，又，则，所以实数a的取值范围是.故选：B6．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，得，又，所以.故选：A.7．（2024广东）已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)或或.【解析】（1）由方程，解得或所以，又，，所以，即方程的两根为或，利用韦达定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以时，则，即，解得或；当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，当时，，满足条件；当时，，不满足条件；若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.综上，实数a的取值范围是或或.8．（2024上海徐汇·阶段练习）已知集合，求：(1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根所以，故；（2）由题意得或只有负根，当时，，故，当只有负根时，，无解，综上，实数的取值范围为.单选题1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为任意，都有，故，则B正确，A错误；但，故CD错误.故选：B2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下五个式子中，错误的个数为（

）①；②；③；④；⑤.A．5 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，集合与集合的关系是包含和包含于的关系，根据子集的定义知，错误；对于②，两集合元素相同，所以两集合相等，即，正确；对于③，由子集性质知，任意集合是本身的子集，所以，正确；对于④⑤，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以，，错误，综上，五个式子中错误的个数为3个.故选：C3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（

）个A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】由得且不全部是的元素，令，则，所以集合个数等于集合的个数，即的真子集个数，为个，故选：B.4．（2024·云南昆明·模拟预测）设集合，，若，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因为，且，所以或，解得或或，当时集合不满足集合元素的互异性，故舍去；当时集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去；当时集合、，满足，符合题意.故选：C5．（2024·安徽安庆·二模）若集合，当时，集合的非空真子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．4【答案】C【解析】根据题意，当时，集合，集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为.故选：C6．（2024上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C7．（2023北京）非空集合，满足条件：若，则．这样的M有（

）．A．13个 B．14个 C．15个 D．16个【答案】C【解析】由题意可得1和8，2和7，3和6，4和5必定同时出现，又M非空，则可以为：，，，，，，，，，，，，，，所以共有（个）．故选：C.8．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（

）个．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】因为，，所以，所以，有两个元素，则的子集个数是个．故选：B．多选题9．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】ABC【解析】因为，解得，则．当时，方程无解，则；当时，方程有解，则且，因为，所以，若，即若，即．综上所述，时，的值为．故选：ABC．10．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知集合，若，则实数a的值可以是（

）．A． B． C．0 D．【答案】BCD【解析】由方程，解得或，即，当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意；当时，由，可得此时，要使得，可得或，解得或.综上可得，实数的值为或或.故选：BCD.11．（23-24山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若，则或或【答案】ABC【解析】依题意可得，对于A，若，则，解得，故A正确；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，当时，则，解得或，故C正确；对于D，当时，，故D错误．故选：ABC．填空题12．（23-24高一上·江苏盐城·期中）集合满足，则满足条件的集合的个数为.【答案】7【解析】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合，所以满足条件的集合为，共7个，所以满足条件的集合的个数为7，故答案为：7.13．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为．【答案】【解析】当时，满足题意；当时，应满足，解得；综上可知，a的值的集合为．故答案为：．14．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为．【答案】【解析】因为，所以，解得.故答案为：解答题15．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合.(1)若，求的取值范围.(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，，所以中没有元素，即，所以的取值范围为.（2）因为，，由（1）知，当时，，此时满足；当时，则；所以的取值范围为.16．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合(1)若A中只有一个元素，求a的值(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围(3)若，求a的取值范围【答案】(1)0或(2)(3)【解析】（1）若时，，符合题意；当时，可知方程为一元二次方程，则，解得；综上所述：或.（2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或，若A中有一个，由（1）可知：或；若，则