3.2.1 函数的单调性及最大（小）值（原卷版）

.2.1函数的单调性与最大（小）值知识点一定义法判断函数的单调性【【解题思路】利用定义证明函数单调性的步骤：1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；2.作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；3.定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；4.结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.【例1-1】（24-25高一上·全国·假期作业）函数，判断函数在上的单调性，并加以证明.【例1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论．【变式】1．（24-25高一福建）证明：函数在上是严格减函数．2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；3．（24-25湖南）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论．知识点二性质法判断函数单调性【【解题思路】常见函数的单调性函数单调性一次函数y＝ax＋b(a≠0)a＞0时，在R上单调递增；a＜0时，在R上单调递减反比例函数y＝eq\f(a,x)(a≠0)a＞0时，减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；a＜0时，增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0)a＞0时，减区间是(－∞，m]，增区间是[m，＋∞)；a＜0时，减区间是[m，＋∞)，增区间是(－∞，m]【例2】（24-25高一上北京）下列函数在定义域上为严格减函数的是（）A． B．C． D．【变式】1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（

）A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同3．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）下列函数中，满足“，都有”的有（

）A． B．C． D．知识点三图像法、分离常数法等求单调区间【例3-1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（

）A． B．C．和 D．和【例3-2】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【例3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减【变式】1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是．2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的增区间为．3．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．4．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为．5．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为6．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为.知识点四利用单调性解不等式【【解题思路】函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．【例4-1】（2024高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例4-2】（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例4-3】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数是R上的减函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（

）A． B．C． D．【变式】11．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是．3．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是.知识点五求函数的最值【【解题思路】求最值的实质--单调性的应用（1）图象法求函数最值（2）单调性求函数的最值（3）换元法求函数最值（4）分离常数法求函数最值【例5-1】（23-24高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法正确的是（

）A．函数在上的值域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数的值域是【例5-2】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数.(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.(2)求函数在上的最值.【变式】1.（23-24江苏扬州·阶段练习）（多选）下列各函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．2．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为3．（22-23高一上·吉林长春·期末）的最大值为．4．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为．5．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数．(1)证明函数在区间上是严格减函数；(2)求函数在区间上的最值．重难点一已知单调性求参数【例6-1】（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“函数在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例6-2】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【例6-3】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式】1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数在上是严格增函数，则的取值范围是．4．（2024高三·全国·专题练习）若函数在集合内为单调递增函数，则实数t的取值范围为.5．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）已知函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是．6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．重难点二含参一元二次函数最值的讨论求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数最值的常见类型及解法1、类型一：是函数定义域为实数集R法一：根据开口方向，用配方法即可求出最大(小)值法二：根据开口和对称轴求出最值2.类型二：定义域为某一区间开口方向和对称轴的位置来决定对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况：①若x＝－eq\f(b,2a)在区间[m，n]内，则最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与x＝－eq\f(b,2a)距离较远的一个对应的函数值为最大值)；②若x＝－eq\f(b,2a)＜m，则f(x)在区间[m，n]上单调递增，最大值为f(n)，最小值为f(m)；③若x＝－eq\f(b,2a)＞n，则f(x)在区间[m，n]上单调递减，最大值为f(m)，最小值为f(n)．【例7】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数定义在区间上，求的最值．【变式】1．（2024高三·全国·专题练习）(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围可以是（

）A．[0，4] B．[，2]C．[，2] D．[1，2]2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数在上的最小值为，求的值．3（2024湖北）求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)．单选题1．（2024·江苏·高一）函数的单调增区间为（

）A． B． C．和 D．2．（2024河北）已知函数，则函数的最小值为（

）A．0.4 B． C．2 D．3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（）A． B．C． D．4．（2023·广东·肇庆市实验中学高一期中）已知函数，且其对称轴为，则以下关系正确的是（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．7．（2023山东）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元8．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．多选题9．（23-24高一上·广西南宁·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）

A．的单调递减区间为B．的最大值为2C．的最小值为D．的单调递增区间为和10．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（

）A． B． C．0 D．311．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列四个函数中，在上为增函数的是（

）A． B．C． D．填空题12．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是．13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为．14．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是．解答题15．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，且．(1)求a的值；(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．16．（23-24·江苏徐州·阶段练习）已知函数.(1)证明：在上单调递增；(2)求在上的最大值与最小值.17．（202