数列与不等式的综合应用讲义 高三数学二轮复习

数列与不等式的综合应用以数列为背景的不等式问题，体现了在知识交汇点上命题的特点，是数学高考热点问题，主要考查数列的通项、前n项和以及相关元素之间的不等关系、最值以及参数的取值范围问题。类型1：与数列求和有关的解不等式问题例1.记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5，a2，a4=S4.（1）求数列{an}的通项公式;（2）求使Sn>an成立的n的最小值.分析：此题考查求等差数列的通项公式、前n项和公式以及解与正整数n有关的一元二次不等式.解∶（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）由题意知:，解得a1=-4,d=2.所以an=2n-6.(2)由（1），得Sn=n²-5n.要使Sn>an，即n²-5n>2n-6，解得n<1或n>6.由得n≥7.所以使Sn>an成立的n的最小值为7.方法策略：与数列求和有关的解不等式问题，就是求出数列的和后解与正整数n有关的一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式等。最后解集中应注意项数n的正整数取值要求。变式练习：已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1,a2＋1，a4＋1成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,anan＋1)，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn<eq\f(3,19)成立的最大的正整数n.答案：(1)an＝3n－1.（2）11类型2：与数列求和有关的含参数不等式问题例2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-94,且4Sn+1=3Sn（1）求数列{an}的通项公式;（2）设数列{bn}满足3bn+（n-4）an=0（nϵN*），记{bn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn，对任意nϵN*恒成立，求实数λ的取值范围.分析：此题考查由前n项和求通项，错位相减法求和以及不等式恒成立问题解1∶（1）当n=1时，有4（a1+a2）=3a1-9,所以a2=-2716，当n≥2时，由4Sn+1=3Sn-9，可得4Sn=3Sn-1-9，两式相减得：4an+1=3an,即an+1an=34，故数列{an}是首项为-9（2）由3bn+（n-4）an=0可得bn=(n-4)(34)所以Tn=-3(34)-2(34)2-1(34)3+0(3则34Tn=-3(34)2-2(34)3-1(34)4+0(34)5+...+两式相减，得14Tn=-3(34)+(34)2+(34)3+...+(=-94+916[1−(34)n−1]1−所以Tn=(-4n)(34)n+1，由Tn≤λbn，可得（λ+3）n-4λ≥0,设f(n)=（λ+3）n-4λ,这是关于n的一次函数式，要使此不等式对任意nϵN*恒成立，则需f(n)≥0,即解2∶（1）同上（2）由3bn+（n-4）an=0可得bn=(n-4)(34)n，由错位相减法可得：Tn=(-4n)(由Tn≤λbn，可得λ（n-4）+3n≥0当n=4时，不等式恒成立；当1≤n<4且nϵN*时，λ≤-3nn−4=-3-12n−4,得当n>4且nϵN*时,λ≥-3-12n−4,得λ综上：-3≤λ≤1方法策略：与数列求和有关的含参数的不等式恒成立问题，求和后一般可转化为研究函数的最值问题来解决，或分离参数求最值，只需注意项数n的正整数取值要求即可。变式练习：已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4n，若不等式Sn＋8≥λn对任意的n∈N*都成立，则实数λ的取值范围为________．答案：(－∞，10]类型3：与数列求和有关的不等式证明问题3.1比较法证明例3.设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：分析：此题考查基本的等差数列、等比数列、错位相减法求和以及不等式证明解：（1）设，而，所以，解得，所以，所以.（2）因为，所以.因为，所以，①①×可得，②①-②得，所以，所以=−2n+94所以.方法策略：此类问题首先是数列求和问题，其次利用作差比较法证明不等式变式练习：设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1＋log2(an)2，求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和Tn<eq\f(1,6).答案：(1）an＝2·2n－1＝2n(n∈N+).（2）先用裂项相消法求和后比较法可证。3.2放缩法例4.设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数，有分析：此题考查利用Sn与an关系求通项、等差数列的判定及求通项、等比数列的概念、裂项相消求和以及不等式证明解：（Ⅰ）当时，，（Ⅱ）当时，，,当时，是公差的等差数列.构成等比数列，，，解得．由（Ⅰ）可知，是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为.（Ⅲ）方法策略：与数列求和相关不等式证明问题，要灵活的选用不等式的证明方法，其中难度较大的是放缩法。此题是放缩法证明不等式。此题求解是放缩法证明不等式的基本解法,即先求出数列通项，然后对通项求和，最后再放缩证明不等式。例5.已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64，{bn}是公比大于0的等比数列，b1=4,b3-b2=48.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设,(i)证明{cn2-分析：此题是考查等差数列、等比数列基本量、等比数列的证明、数列求和以及放缩法证明不等式。解：（1）由已知可得：8a1+8×72设数列{bn}公比为q,由b3-b2=48可得：4q2-4q=48,解得：q=4,故bn=4(i)证明：42n+14n，cn2-c2n=（4∴cn+12−c2n+2cn(ii)因为akak+1ck2−ck=4k则Sn=2(1×12+212Sn=2(1×122+2×122所以akak+1c方法策略：此题是先求出数列的通项，通项不能直接求和，需要对通项进行放缩再求和，求和后再放缩。例5.已知数列满足.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)证明：.分析：此题考查等比数列的证明及求通项以及不等式的证明解：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.（2）证明：由（1）知：，所以，因为当时，，所以，于是=，所以.方法策略：此题也是先求出数列的通项，由通项不能直接求和，故对通项进行放缩再构成等不数列求和，求和后再放缩得证。在放缩时，对通项公式的变形若放缩后求和发现太大或者太小，即与所证矛盾，通常有两种解决方案∶一是微调，看能否让数列中的一些项不变，其余项放缩;二是选择放缩程度更小的方式进行尝试.要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列和可裂项相消的数列进行靠拢.已知数列{an}满足a1=1.an+1=an1+an,（A）32<s100<3(B)3<S100<4(C)4<S100<92(D)92分析：此题考查递推公式通过放缩求通项，考查累加法、累乘法求通项，裂项相消法求和。解法：因为a1=1.an+1=an1+an，所以an>0,S100>因为an+1=an1+an，所以1an+1=1an+1an=故1an+1-1an<12,根据累加法可得：所以an≥n+124,所以an+1