4.5 函数的应用（二）（原卷版）

.5函数的应用（二）知识点一求函数的零点【【解题思路】探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点【例1】（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（

）A．0 B．1 C． D．【变式】1．（23-24北京顺义·期末）函数的零点是（

）A． B． C．10 D．2．（2024湖南）函数的零点是（

）A．0 B．1 C．2 D．3．（2023高一上·全国·专题练习）若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是．4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知定义在上的函数为单调函数，且对任意，恒有，则函数的零点是.知识点二判断零点所在的区间【【解题思路】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【例2-1】（2024辽宁·期末）已知函数，则的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【例2-2】（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【例2-3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（

）A． B． C． D．2．（2024安徽芜湖·阶段练习）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·海南·阶段练习）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（

）A． B．2 C．或2 D．1知识点三二分法概念的理解【【解题思路】运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．【例3-1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A． B．C． D．【例3-2】（23-24高一上·天津·阶段练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（

）A．B．C． D．【变式】1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（

）A． B． C． D．2．（2023高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）多选下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（

）A．

B．

C．

D．

知识点四用二分法求方程的近似解【【解题思路】利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．【例4-1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【例4-2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（

）A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算D．没有达到精确度的要求，应该接着计算【变式】1．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根精确度为可以是（）A． B． C． D．2．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.53．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（

）A．函数在上不一定有零点B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值C．没有达到精确度，应该接着计算D．没有达到精确度，应该接着计算重难点一零点的个数【【解题思路】判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．【例5-1】（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【例5-2】（23-24陕西汉中·期末）设函数,则的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例5-3】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式】1．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）已知分段函数，则方程的解的个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．44（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4重难点二根据零点情况求参数范围【例6-1】（23-24浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例6-2】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为．2．（22-23甘肃定西·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为．3．（2024·宁夏银川）函数有两个零点,求a的范围4．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若函数只有1个零点，则的取值范围是．5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是．重难点三零点大小的比较【例7-1】（2024·广东梅州）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式】1．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（

）A． B．C． D．2（23-24高一上·湖南株洲·期末）.已知函数的零点分别为，则的大小关系为（

）A． B．C． D．3（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数，，的零点分别为则（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（

）A． B．C． D．重难点四零点之和【例8-1】（22-23高一上·全国·单元测试）是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（

）A．2 B．1 C．0 D．【例8-2】（2024山东菏泽·期末）若，分别是方程，的根，则（

）A．2022 B．2023 C． D．【变式】1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）（多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（

）A． B．3 C． D．2．（22-23江西南昌·期末）（多选）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（）A． B． C． D．重难点五函数模型的应用【【解题思路】应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．3．求模——求解数学模型，得出数学模型．4．还原——将数学结论还原为实际问题．【例9-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（）（注：当较小时，）A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【变式】1．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时2．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为．（参考数据：，）3．（23-24高一上·广西崇左·期中）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）．(1)求函数的解析式；(2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．单选题1．（2024湖北）下列关于二分法的叙述中，正确的是（

）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点2．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（

）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）A．11 B．12 C．13 D．143．（2023·宁夏银川）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023高一上·江苏·专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．∪5．（2024四川德阳·期末）函数有两个零点的充分不必要条件是（

）A． B．C．或 D．6．（2024广东江门·期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（

）A． B． C． D．7．（2024江苏南通·阶段练习）已知，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．8．（2023·上海·专题练习）已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（

）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n多选题9．（23-24高一上·浙江温州·期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下：依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，；，；．那么可以作为方程的一个近似解的是（精确度为0.1）（

）A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.5011．（23-24高一上·河南郑州·期中）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．1填空题12．（23-24高一下·河南信阳·开学考试）函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围是.13．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为．14．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知是定义在区间的