第一章 第4讲 基本不等式

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第4讲基本不等式目

录Contents01教材帮读透教材融会贯通02高考帮研透高考明确方向03练习帮练透好题精准分层课标要求命题点五年考情命题分析预测利用基

本不等

式求最

值2021天津T13；

2020新高考卷

ⅠT11；2020天

津T14；2019天

津T13本讲是高考的热点，常作为工具与其他知识综合考查，主要考查基本不等式及其应用，如求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.题型以选择题、填空题为主，难度不大.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对应用基本不等式解决实际问题的重视.基本不

等式的

综合问

题2022新高考卷

ⅡT12；2021浙

江T8；2020新

高考卷ⅡT12

a

＞0，

b

＞0

a

＝

b

思维拓展

3.利用基本不等式求最值已知

x

＞0，

y

＞0.(1)如果积

xy

等于定值

P

，那么当

x

＝

y

时，和

x

＋

y

取得最小值⑤

(简记：

积定和最小)；(2)如果和

x

＋

y

等于定值

S

，那么当

x

＝

y

时，积

xy

取得最大值⑥

(简记：和

定积最大).注意

应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.

1.下列说法正确的是(

C

)C12342.矩形两边长分别为

a

，

b

，且

a

＋2

b

＝6，则矩形面积的最大值是(

B

)A.4D.2

B12343.已知

a

，

b

为正数，则下列不等式中不成立的是(

D

)

D1234

6

1234

A.4B.6C.3D.10D例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

2

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3角度2

常数代换法例2

(1)[2023江西省南昌一中模拟]已知正数

a

，

b

满足8

a

＋4

b

＝

ab

，则8

a

＋

b

的最

小值为(

C

)A.54B.56C.72D.81

C例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

8

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

A.2C.4

C例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3(2)[江苏高考]已知5

x

2

y

2＋

y

4＝1(

x

，

y

∈R)，则

x

2＋

y

2的最小值是

⁠.

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3方法技巧1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.2.配凑、常数代换、消元的目的都是为了凑出和为定值或者积为定值的形式.3.多次使用基本不等式时，尤其要注意等号能否同时成立.例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

A.(－1，4)B.(－4，1)C.(－∞，－4)∪(1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)C例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

1

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

A.0B.1C.2D.3C例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3(2)[多选/2022新高考卷Ⅱ]若

x

，

y

满足

x

2＋

y

2－

xy

＝1，则(

BC

)A.x＋y≤1B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1[解析]

解法一由题意得，

x

2＋

y

2＝

xy

＋1，所以(

x

＋

y

)2＝3

xy

＋1，当

x

＞0且

y

＞0时，显然有(

x

＋

y

)2＞1，即

x

＋

y

＞1，故A错误.因为

x

2＋

y

2≥2

xy

，所以

xy

＋

1≥2

xy

，所以

xy

≤1，所以

x

2＋

y

2≤2，当且仅当

x

＝

y

时等号成立，故C正确.因为

(

x

＋

y

)2＝

x

2＋

y

2＋2

xy

＝3

xy

＋1≤4，所以｜

x

＋

y

｜≤2，所以－2≤

x

＋

y

≤2，

故B正确.因为

x

2＋

y

2＝

xy

＋1，所以当

xy

＜0时，

x

2＋

y

2＜1，故D错误.故选BC.BC例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3例5

[江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买

x

吨，运费为6万元/次，一

年的总存储费用为4

x

万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则

x

的值

是

⁠.

30

角度2

利用基本不等式解决实际问题例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

(1)写出年利润

W

(

x

)(单位：万元)关于年产量

x

(单位：台)的函数解析式(利润＝销售

收入－成本).例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3方法技巧利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足

实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得

函数的最值.例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

A.6B.7C.8D.9D例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3(2)[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是

面积为1800平方米的矩形

ABCD

，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所

示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的最大面积是(

C

)A.1208平方米B.1448平方米C.1568平方米D.1698平方米C例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

思维帮·提升思维

快速解题

20

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3角度2

判断关于不等式的命题的真假例8

[2024四川成都联考]已知正实数

m

，

n

满足

m

＋

n

＝1，则下列不等式中错误的

是(

D

)B.2m2＋2n2≥1C.m(n＋1)＜1D例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3方法技巧1.柯西不等式：(

a

2＋

b

2)(

c

2＋

d

2)≥(

ac

＋

bd

)2，当且仅当

ad

＝

bc

时，等号成立.2.无论是均值不等式还是柯西不等式，在使用的时候都要注意“配凑”技巧，还要

注意验证等号成立的条件.例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3(2)[多选/2024云南省大理模拟]若12

a

＝3，12

b

＝4，则下列结论正确的是(

ACD

)ACD例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3[解析]由12

a

＝3，12

b

＝4得

a

＝log123，

b

＝log124，

a

＋

b

＝log123＋log124＝

log1212＝1，且

a

＝log123＞log121＝0，

b

＝log124＞log121＝0.

例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3

A12345

4

12345

2

123454.[命题点2角度1]已知0＜

a

＜1，

b

＞1，则下列不等式成立的是(

D

)

D12345

12345

(1)用

x

表示

F

.

(2)该合作社修建多大面积的太阳能面板，可使

F

最小？并求出最小值.

12345

(3)要使

F

不超过140万元，求

x

的取值范围.12345

1.[2024河北保定模拟]设

x

，

y

均为正数，且

x

＋

y

＝4，则

xy

的最大值为(

C

)A.1B.2C.4D.16

C123456789101112131415

A.1C.2D.3

D123456789101112131415

D.4

B123456789101112131415

A.4B.6C.8D.16

C1234567891011121314155.[多选]小王从甲地到乙地往返的速度分别为

a

和

b

(

a

＜

b

)，其全程的平均速度为

v

，则下列选项中正确的是(

AD

)

AD1234567891011121314156.[多选/2023重庆市三检]已知

x

＞0，

y

＞0，且

x

＋

y

＋

xy

－3＝0，则下列结论正确

的是(

BC

)A.xy的取值范围是(0，9]B.x＋y的取值范围是[2，3)D.x＋4y的最小值是3BC123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

2

1234567891011121314158.[2023济南市模拟]已知正数

x

，

y

满足4

x

＋2

y

＝

xy

，则

x

＋2

y

的最小值为

⁠.

18

123456789101112131415

10

12345678910111213141510.[2024山东烟台模拟]如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(

O

为圆心)铁皮上截取

一块矩形材料

ABCD

，其顶点

A

，

B

在直径上，顶点

C

，

D

在圆周上，则矩形

ABCD

面积的最大值为

(单位：cm2).16

所以矩形

ABCD

面积的最大值为16cm212