第一章 第1讲 集合

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第1讲集合

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.(1)了解集合的

含义，理解元素

与集合的属于关

系.(2)能在自然

语言和图形语言

的基础上，用符

号语言刻画集

合.(3)了解全集

与空集的含义.集合的

概念2022全国卷乙T1；

2020全国卷ⅢT1本讲是高考必考内容.命题热点有

集合的交、并、补运算，集合的

含义及集合间的基本关系，常与

不等式、函数等相结合命题，考

查学生的数学运算和逻辑推理素

养.题型以选择题为主，属于送分

题，解题时常借助数轴和Venn图.

预计2025年高考命题点变化不

大，但应加强对集合中创新问题

的重视.集合间

的基本

关系2023新高考卷

ⅡT2；2021全国卷

乙T2课标要求命题点五年考情命题分析预测2.理解集合之间包含与相等的含义能识别给定集合的子集.集合的基本运算2023新高考卷ⅠT1；2023全国卷乙T2；2023全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT1；2022新高考卷ⅡT1；2022全国卷乙T1；2022全国卷甲T3；2021新高考卷ⅠT1；2021新高考卷ⅡT2；2021全国卷甲T1；2021全国卷乙T2；2020新高考卷ⅠT1；2020全国卷ⅠT2；2020全国卷ⅡT1；2020全国卷ⅢT1；2019全国卷ⅠT1；2019全国卷ⅡT1；2019全国卷ⅢT1本讲是高考必考内容.命题热点有集合的交、并、补运算，集合的含义及集合间的基本关系，常与不等式、函数等相结合命题，考查学生的数学运算和逻辑推理素养.题型以选择题为主，属于送分题，解题时常借助数轴和Venn图.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对集合中创新问题的重视.课标要求命题点五年考情命题分析预测3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合中的计数问题2019全国卷ⅢT3本讲是高考必考内容.命题热点有集合的交、并、补运算，集合的含义及集合间的基本关系，常与不等式、函数等相结合命题，考查学生的数学运算和逻辑推理素养.题型以选择题为主，属于送分题，解题时常借助数轴和Venn图.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对集合中创新问题的重视.集合的新定义问题

1.集合的概念集合中元素的特征①

、②

⁠、无序性集合的表示方法③

、④

⁠、图示法常见数集的记法自然数集(非负整数集)，记作⑤

⁠；正整数集，记作

⑥

或⑦

；整数集，记作⑧

⁠；有理数集，

记作⑨

；实数集，记作⑩

⁠元素与集合之间的

关系“属于”或“不属于”，分别记为“⑪

”或

“⑫

⁠”确定性

互异性

列举法

描述法

N

N*

N＋

Z

Q

R

∈

∉

2.集合间的基本关系关系定义符号语言子集一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中

⑬

都是集合B中的元素，就

称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子

集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且⑭

，就称集合A是集合B的真子集⑮

(或B⫌A)相等若A⊆B，且⑯

，则A＝BA＝B任意一个元素

x∉A

A⫋B

空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.B⊆A

3.集合的基本运算运算集合语言图形语言符号语言并集{x｜x∈A，或x∈B}

⑰

⁠交集{x｜x∈A，且x∈B}

⑱

⁠补集{x｜x∈U，且x∉A}

⑲

⁠A∪B

A∩B

∁UA

常用结论集合的运算性质(1)

A

⊆

B

⇔

A

∩

B

＝

A

⇔

A

∪

B

＝

B

⇔∁

UA

⊇∁

UB

.

(2)∁

U

(

A

∩

B

)＝(∁

UA

)∪(∁

UB

)，∁

U

(

A

∪

B

)＝(∁

UA

)∩(∁

UB

).

1.下列说法正确的是

(

D

)A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{(x，y)｜y＝x2}C.若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或1D.对任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立D12345

A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉PD123453.集合{

a

，

b

}的真子集的个数为

⁠.[解析]

解法一集合{

a

，

b

}的真子集为⌀，{

a

}，{

b

}，有3个.3

解法二集合{

a

，

b

}有2个元素，则集合{

a

，

b

}的真子集的个数为22－1＝3.123454.设

a

，

b

∈R，

P

＝{2，

a

}，

Q

＝{－1，－

b

}，若

P

＝

Q

，则

a

－

b

＝

⁠.

1

123455.已知集合

U

＝{1，2，3，4，5，6，7}，

A

＝{2，4，5}，

B

＝{1，3，5，7}，则

A

∩(∁

UB

)＝

，(∁

UA

)∩(∁

UB

)＝

⁠.[解析]

∵∁

UA

＝{1，3，6，7}，∁

UB

＝{2，4，6}，∴

A

∩(∁

UB

)＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，(∁

UA

)∩(∁

UB

)＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.{2，4}

{6}

12345

命题点1

集合的概念例1

(1)[2022全国卷乙]设全集

U

＝{1，2，3，4，5}，

集合

M

满足∁

UM

＝{1，3}，则

(

A

)A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M[解析]由题意知

M

＝{2，4，5}，故选A.A例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5(2)[全国卷Ⅲ]已知集合

A

＝{(

x

，

y

)｜

x

，

y

∈N*，

y

≥

x

}，

B

＝{(

x

，

y

)｜

x

＋

y

＝

8}，则

A

∩

B

中元素的个数为(

C

)A.2B.3C.4D.6[解析]由题意得，

A

∩

B

＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以

A

∩

B

中元素

的个数为4，故选C.C例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5方法技巧1.解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限

制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.2.常见集合的

含义集合{x｜f(x)＝0}{x｜f(x)＞0}{x｜y＝f(x)}{y｜y＝f(x)}{(x，y)｜y＝f(x)}代表元素方程f(x)＝0的根不等式f(x)＞0的解函数y＝f(x)的自变量的取值函数y＝f(x)的函数值函数y＝f(x)图象上的点例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5训练1

(1)[多选/2024黑龙江模拟]已知集合

A

＝{

x

｜4

ax

2－4(

a

＋2)

x

＋9＝0}中只有

一个元素，则实数

a

的可能取值为(

ABD

)A.0B.1C.2D.4

ABD例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5(2)[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合

A

＝{

y

｜

y

＝

x

2＋2}，集合

B

＝{(

x

，

y

)｜

y

＝

x

2＋2}，下列关系正确的是(

AB

)A.(1，3)∈BB.(0，0)∉BC.0∈AD.A＝B[解析]

∵集合

A

＝{

y

｜

y

≥2}＝[2，＋∞)，集合

B

＝{(

x

，

y

)｜

y

＝

x

2＋2}是由抛

物线

y

＝

x

2＋2上的点组成的集合，∴AB正确，CD错误，故选AB.AB例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5(3)已知集合

A

＝{0，

m

，

m

2－5

m

＋6}，且2∈

A

，则实数

m

的值为

⁠.[解析]因为

A

＝{0，

m

，

m

2－5

m

＋6}，2∈

A

，所以

m

＝2或

m

2－5

m

＋6＝2.当

m

＝2时，

m

2－5

m

＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以

m

＝2不符合题意.当

m

2

－5

m

＋6＝2时，

m

＝1或

m

＝4，若

m

＝1，

A

＝{0，1，2}符合题意；若

m

＝4，

A

＝{0，4，2}符合题意.所以实数

m

的值为1或4.1或4例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5命题点2

集合间的基本关系例2

(1)[2023新高考卷Ⅱ]设集合

A

＝{0，－

a

}，

B

＝{1，

a

－2，2

a

－2}，若

A

⊆

B

，则

a

＝(

B

)A.2B.1D.－1[解析]依题意，有

a

－2＝0或2

a

－2＝0.当

a

－2＝0时，解得

a

＝2，此时

A

＝{0，

－2}，

B

＝{1，0，2}，不满足

A

⊆

B

；当2

a

－2＝0时，解得

a

＝1，此时

A

＝{0，

－1}，

B

＝{－1，0，1}，满足

A

⊆

B

.

所以

a

＝1，故选B.B例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5(2)[2024山西太原模拟]满足条件{1，2}⊆

A

⫋{1，2，3，4，5}的集合

A

的个数是

(

C

)A.5B.6C.7D.8[解析]

解法一因为集合{1，2}⊆

A

⫋{1，2，3，4，5}，所以集合

A

可以是{1，

2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，

4，5}，共7个.故选C.C解法二问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5方法技巧1.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.2.根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程(组)或不等式(组)求

解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.注意

在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已

知集合

A

、非空集合

B

满足

A

⊆

B

或

A

⫋

B

，则有

A

＝⌀和

A

≠⌀两种情况.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5训练2

(1)设集合

P

＝{

y

｜

y

＝

x

2＋1}，

M

＝{

x

｜

y

＝

x

2＋1}，则集合

M

与集合

P

的

关系是(

D

)A.M＝PB.P∈MC.M⫋PD.P⫋M[解析]

∵

P

＝{

y

｜

y

＝

x

2＋1}＝{

y

｜

y

≥1}，

M

＝{

x

｜

y

＝

x

2＋1}＝R，∴

P

⫋

M

.

故选D.(2)已知集合

A

＝{

x

｜－2≤

x

≤5}，

B

＝{

x

｜

m

＋1≤

x

≤2

m

－1}，若

B

⊆

A

，则实

数

m

的取值范围为

⁠.[解析]因为

B

⊆

A

，所以分以下两种情况：①若

B

＝∅，则2

m

－1＜

m

＋1，此时

m

＜2；

由①②可得，符合题意的实数

m

的取值范围为(－∞，3].D(－∞，3]

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5命题点3

集合的基本运算角度1

集合的交、并、补运算例3

(1)[2023新高考卷Ⅰ]已知集合

M

＝{－2，－1，0，1，2}，

N

＝{

x

｜

x

2－

x

－6≥0}，则

M

∩

N

＝(

C

)A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}C.{－2}D.{2}[解析]

解法一因为

N

＝{

x

｜

x

2－

x

－6≥0}＝{

x

｜

x

≥3或

x

≤－2}，所以

M

∩

N

＝{－2}，故选C.C解法二因为1∉

N

，所以1∉

M

∩

N

，排除A，B；因为2∉

N

，所以2∉

M

∩

N

，排除

D.故选C.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5(2)[2023全国卷甲]设全集

U

＝Z，集合

M

＝{

x

｜

x

＝3

k

＋1，

k

∈Z}，

N

＝{

x

｜

x

＝

3

k

＋2，

k

∈Z}，则∁

U

(

M

∪

N

)＝(

A

)A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.∅[解析]

解法一

M

＝{…，－2，1，4，7，10，…}，

N

＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以

M

∪

N

＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁

U

(

M

∪

N

)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁

U

(

M

∪

N

)＝{

x

｜

x

＝3

k

，

k

∈Z}，故选A.A解法二集合

M

∪

N

表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能

被3整除的整数集，故选A.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5角度2

已知集合运算结果求参数例4

(1)[全国卷Ⅰ]设集合

A

＝{

x

｜

x

2－4≤0}，

B

＝{

x

｜2

x

＋

a

≤0}，且

A

∩

B

＝

{

x

｜－2≤

x

≤1}，则

a

＝(

B

)A.－4B.－2C.2D.4

B例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5(2)已知集合

A

＝{

x

｜

y

＝ln(1－

x

2)}，

B

＝{

x

｜

x

≤

a

}，若(∁R

A

)∪

B

＝R，则实数

a

的取值范围为(

B

)A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1][解析]由题可知

A

＝{

x

｜

y

＝ln(1－

x

2)}＝{

x

｜－1＜

x

＜1}，∁R

A

＝{

x

｜

x

≤－1

或

x

≥1}，所以由(∁R

A

)∪

B

＝R，

B

＝{

x

｜

x

≤

a

}，得

a

≥1.B例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5方法技巧1.处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化

简集合，得出元素满足的最简条件.2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn图求解；

如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5训练3

(1)[2023全国卷乙]设集合

U

＝R，集合

M

＝{

x

｜

x

＜1}，

N

＝{

x

｜－1＜

x

＜

2}，则{

x

｜

x

≥2}＝(

A

)A.∁U(M∪N)B.N∪∁UMC.∁U(M∩N)D.M∪∁UN[解析]由题意知

M

∪

N

＝{

x

｜

x

＜2}，所以∁

U

(

M

∪

N

)＝{

x

｜

x

≥2}，故选A.A例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5(2)[2023江西省联考]已知集合

A

＝{(

x

，

y

)｜(

x

－1)2＋

y

2＝1}，

B

＝{(

x

，

y

)｜

kx

－

y

－2＜0}.若

A

∩

B

＝

A

，则实数

k

的取值范围是(

A

)

A例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5命题点4

集合中的计数问题例5

[全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰

宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随

机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读

过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有

60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(

C

)A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8[解析]

解法一由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90－80＋60＝70，则

该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故

选C.C例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5解法二用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数

之间的关系，如图，

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5方法技巧集合中元素的个数问题的求解策略关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card(

A

∪

B

)＝card(

A

)＋

card(

B

)－card(

A

∩

B

)，card(

A

∪

B

∪

C

)＝card(

A

)＋card(

B

)＋card(

C

)－card(

A

∩

B

)－card(

A

∩

C

)－card(

B

∩

C

)＋card(

A

∩

B

∩

C

)(card(

A

)表示有限集合

A

中元素的个数)求解.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5

21

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5命题点5

集合的新定义问题例6

(1)[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合

M

＝{1，2，3，4，5，6}，集合

A

⊆

M

，定义

M

(

A

)为

A

中元素的最小值，当

A

取遍

M

的所有非空子集时，对应的

M

(

A

)的和记为

S

，则

S

＝

⁠.[解析]由

M

＝{1，2，3，4，5，6}得，

M

的非空子集

A

共有26－1个，其中最小值

为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个，

最

小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故

S

＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5

＋1×6＝120.120

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5(2)若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有

公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合

A

＝{

x

｜－

t

＜

x

＜

t

，

t

＞0}和集合

B

＝{

x

｜

x

2－

x

－2＜0}，若集合

A

，

B

构成“偏食”，则实

数

t

的取值范围为

⁠.

(1，2)

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5方法技巧解决集合新定义问题的关键紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目

所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5训练5

[多选/2023山东省淄博一中月考]在整数集Z中，被5除所得余数为

k

的所有整

数组成一个“类”，记为[

k

]，即[

k

]＝{5

n

＋

k

｜

n

∈Z}(

k

＝0，1，2，3，4)，给出

如下四个结论，正确结论为(

ACD

)A.2023∈[3]B.－2∈[2]C.Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D.整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]ACD例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5[解析]由2023÷5＝404……3，得2023∈[3]，故A正确；－2＝5×(－1)＋3，所以

－2∈[3]，故B错误；因为整数集中的被5除的数可以且只可以分成五类，所以Z＝

[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故C正确；因为整数

a

，

b

属于同一“类”，所以整数

a

，

b

被5除的余数相同，从而

a

－

b

被5除的余数为0，反之也成立，故整数

a

，

b

属于同

一“类”的充要条件是

a

－

b

∈[0]，故D正确.故选ACD.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4例6训练5

2

12345

A.B⊆AB.A＝BC.C⊆BD.A⊆C

D123453.[命题点2，3/2024四川省绵阳中学模拟]设集合

A

＝{(

x

，

y

)｜

x

＋

y

＝2}，

B

＝

{(

x

，

y

)｜

y

＝

x

2}，则

A

∩

B

的子集个数是(

B

)A.2B.4C.8D.16

B12345

A.{x｜0≤x＜4}B.{x｜0≤x≤1}C.{x｜－1≤x＜4}D.{x｜1≤x＜4}

C123455.[命题点5/2024宁夏银川一中月考]已知集合

A

＝{

x

｜－1＜

x

≤1，

x

∈Z}，

B

＝

{

x

｜2≤｜

x

｜≤3，

x

∈N}，定义集合

A

⊕

B

＝{(

x

1＋

x

2，

y

1＋

y

2)｜

x

1，

y

1∈

A

，

x

2，

y

2∈

B

}，则

A

⊕

B

中元素个数为(

D

)A.6B.7C.8D.9[解析]

A

＝{

x

｜－1＜

x

≤1，

x

∈Z}＝{0，1}，

B

＝{

x

｜2≤｜

x

｜≤3，

x

∈N}＝

{2，3}，由

A

⊕

B

＝{(

x

1＋

x

2，

y

1＋

y

2)｜

x

1，

y

1∈

A

，

x

2，

y

2∈

B

}，得

x

1＋

x

2可

取2，3，4，

y

1＋

y

2可取2，3，4，所以

A

⊕

B

＝{(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，有9个元素.故选D.D12345

1.[2024武汉部分学校调考]已知集合

A

＝{

x

｜

x

2－2

x

－8＜0}，

B

＝{－2，－1，

0，1，2}，则

A

∩

B

＝(

B

)A.{－2，－1，0，1，2}B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，1}D.{－2，－1，0，1}[解析]因为

A

＝{

x

｜

x

2－2

x

－8＜0}＝{

x

｜－2＜

x

＜4}，

B

＝{－2，－1，0，

1，2}，所以

A

∩

B

＝{－1，0，1，2}，故选B.B1234567891011121314151617

A.Q⊆PB.P⊆QC.P＝QD.Q⊆∁RP[解析]由已知，得

P

＝[0，＋∞)，

Q

＝(0，＋∞)，所以

Q

⊆

P

，故选A.A12345678910111213141516173.[2024辽宁联考]设全集

U

＝{1，2，

m

2}，集合

A

＝{2，

m

－1}，∁

UA

＝{4}，则

m

＝(

D

)A.3B.－2C.4D.2

D12345678910111213141516174.[2024江西南昌模拟]已知集合

A

＝{

x

｜2

x

≤8，

x

∈N}，

B

＝{

x

｜－2＜

x

＜5}，

则

A

∩

B

中元素的个数为(

B

)A.3B.4C.5D.6[解析]因为

A

＝{

x

｜2

x

≤8，

x

∈N}＝{0，1，2，3}，所以

A

∩

B

＝{0，1，2，

3}，则

A

∩

B

中元素的个数为4.故选B.B12345678910111213141516175.[2023全国卷乙]设全集

U

＝{0，1，2，4，6，8}，集合

M

＝{0，4，6}，

N

＝{0，

1，6}，则

M

∪∁

UN

＝(

A

)A.{0，2，4，6，8}B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8}D.U[解析]由题意知，∁

UN

＝{2，4，8}，所以

M

∪∁

UN

＝{0，2，4，6，8}.故选A.A12345678910111213141516176.[2024山东模拟]已知集合

M

＝{

x

｜

x

2－2

x

≤0}，

N

＝{

x

｜log2(

x

－1)＜1}，则

M

∩

N

＝(

B

)A.[0，2]B.(1，2]C.(0，3)D.[2，3)[解析]

解法一因为

M

＝{

x

｜

x

2－2

x

≤0}＝{

x

｜0≤

x

≤2}，

N

＝{

x

｜log2(

x

－

1)＜1}＝{

x

｜0＜

x

－1＜2}＝{

x

｜1＜

x

＜3}，所以

M

∩

N

＝(1，2]，故选B.B

12345678910111213141516177.[2024重庆渝北模拟]设集合

A

＝{

x

｜

x

2－8

x

＋15＝0}，集合

B

＝{

x

｜

ax

－1＝

0}，若

B

⊆

A

，则实数

a

取值集合的真子集的个数为(

C

)A.2B.3C.7D.8

C12345678910111213141516178.[2023辽宁名校联考]设集合

A

＝{

x

｜

x

＞

a

}，集合

B

＝{0，1}，若

A

∩

B

≠∅，

则实数

a

的取值范围是(

C

)A.(－∞，1]B.(－∞，0]C.(－∞，1)D.(－∞，0)[解析]因为集合

A

＝{

x

｜

x

＞

a

}，集合

B

＝{0，1}，若

A

∩

B

＝∅，则

a

≥1，故

当

A

∩

B

≠∅时，

a

＜1.故选C.C12345678910111213141516179.[2024江西吉安模拟]若全集

U

＝{3，4，5，6，7，8}，

M

＝{4，5}，

N

＝{3，6}，则集合{7，8}＝(

D

)A.M∪NB.M∩NC.(∁UM)∪(∁UN)D.(∁UM)∩(∁UN)[解析]因为

M

＝{4，5}，

N

＝{3，6}，所以

M

∪

N

＝{3，4，5，6}，

M

∩

N

＝∅，所以选项A，B不符合题意；又因为

U

＝{3，4，5，6，7，8}，所以(∁

UM

)∪(∁

UN

)＝{3，6，7，8}∪{4，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}，(∁

UM

)∩(∁

UN

)＝{3，6，7，8}∩{4，5，7，8}＝{7，8}，因此选项C不符合题意，选项D符合题意，故选D.D123456789101112131415161710.[全国卷Ⅱ]已知集合

A

＝{(

x

，

y

)｜

x

2＋

y

2≤3，

x

∈Z，

y

∈Z}，则

A

中元素的个

数为(

A

)A.9B.8C.5D.4

A1234567891011121314151617解法二根据集合

A

中的元素特征及圆的方程

x

2＋

y

2＝3在平面直角坐标系中

作出图形，如图，易知在圆

x

2＋

y

2＝3中有9个整点，即集合

A

中元素的个数

为9，故选A.1234567891011121314151617

A.[－1，3]B.(3，＋∞)C.(－∞，3]D.[－1，3)

D123456789101112131415161712.[2023江西五校联考]设集合

A

＝{

x

｜

m

－3＜

x

＜2

m

＋6}，

B

＝{

x

｜log2

x

＜

2}，若

A

∪

B

＝

A

，则实数

m

的取值范围是(

D

)A.∅B.[－3，－1]C.(－1，3)D.[－1，3]

D1234567891011121314151617

13.[2021全国卷乙]已知集合

S

＝{

s

｜

s

＝2

n

＋1，

n

∈Z}，

T

＝{

t

｜

t

＝4

n

＋1，

n

∈Z}，则

S

∩

T

＝(

C

)A.⌀B.SC.TD.Z[解析]

解法一在集合

T

中，令

n

＝

k

(

k

∈Z)，则

t

＝4

n

＋1＝2(2

k

)＋1(

k

∈Z)，

而集合

S

中，

s

＝2

n

＋1(

n

∈Z)，所以必有

T

⫋

S

，所以

T

∩

S

＝

T

，故选C.C解法二

S

＝{…，－3，－1，1，3，5，