第十章 第5讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第5讲事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.结合有限样本

空间，了解两个

随机事件独立性

的含义.结合古典

概型，利用独立

性计算概率.相互独

立事件2023新高考卷ⅡT12；2022

全国卷乙T10；2022全国卷

甲T19；2021新高考卷

ⅠT8；2020全国卷ⅠT19；

2019全国卷ⅠT15；2019全

国卷ⅡT18本讲为高考的命题热点，

主要考查：(1)相互独立事

件的概率计算，两事件相

互独立的判断等，有时候

单独命题，有时候与其他

知识综合考查；课标要求命题点五年考情命题分析预测2.结合古典概型，

了解条件概率，

能计算简单随机

事件的条件概率.条件概率2023全国卷甲T6；2022新

高考卷ⅠT20；2022新高考

卷ⅡT19；2022天津T13(2)条件概率，近两年

考查频率较高，复习

备考中要引起重视；课标要求命题点五年考情命题分析预测3.结合古典概型，了解条

件概率与独立性的关系，

会用乘法公式计算概率.4.结合古典概型，会利用

全概率公式计算概率.全概率公式

的应用2023新高考

卷ⅠT21(3)全概率公式，这是新

教材增加的点，在2023

年新高考卷Ⅰ中已命题，

命题概率大.在2025年高

考备考中应强化对条件

概率和全概率公式的理

解和应用.

学生用书P2361.事件的相互独立性(1)定义：对任意两个事件

A

，

B

，如果

P

(

AB

)＝①

，则称事件

A

与

事件

B

相互独立，简称独立.

(3)推广：如果事件

A

1，

A

2，…，

An

相互独立，那么这

n

个事件同时发生的概率等

于每个事件发生的概率的积，即

P

(

A

1

A

2…

An

)＝

P

(

A

1)

P

(

A

2)…

P

(

An

).注意

若事件

A

与事件

B

是互斥事件(或对立事件)，则

A

与

B

不相互独立.P

(

A

)

P

(

B

)

B

2.条件概率(1)定义：一般地，设

A

，

B

为两个随机事件，且

P

(

A

)＞0，我们称

P

(

B

｜

A

)＝

④

为在⑤

发生的条件下，⑥

⁠发生的条件概率，

简称条件概率.

事件

A

事件

B

P

(

B

｜

A

)＋

P

(

C

｜

A

)

1－

P

(

B

｜

A

)

3.全概率公式一般地，设

A

1，

A

2，…，

An

是一组两两互斥的事件，

A

1∪

A

2∪…∪

An

＝Ω，且

P(

Ai

)＞0，

i

＝1，2，…，

n

，则对任意的事件

B

⊆Ω，有

P

(

B

)⑨

⁠⁠.

1.下列说法错误的是(

A

)A.对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立B.若事件A，B相互独立，则P(B｜A)＝P(B)C.抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面向上”为事件A，“第二枚为正面向

上”为事件B，则A，B相互独立D.若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋

P(A2)P(B｜A2)A123452.下列说法错误的是(

A

)A.P(A｜B)＜P(AB)C.0≤P(A｜B)≤1D.P(A｜A)＝1

A123453.[易错题]设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4，汽车和火车正点

到达目的地的概率分别为0.9，0.8，则甲正点到达目的地的概率为(

C

)A.0.72B.0.96C.0.86D.0.84[解析]设事件

A

表示甲正点到达目的地，事件

B

表示甲乘火车前往目的地，事件

C

表示甲乘汽车前往目的地.由题意知

P

(

B

)＝0.4，

P

(

C

)＝0.6，

P

(

A

｜

B

)＝0.8，

P(

A

｜

C

)＝0.9.由全概率公式得

P

(

A

)＝

P

(

B

)

P

(

A

｜

B

)＋

P

(

C

)

P

(

A

｜

C

)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故选C.C123454.将两颗骰子各掷一次，

记事件

A

为“两个点数不同”，

B

为“至少出现一个6

点”，

则条件概率

P

(

A

｜

B

)，

P

(

B

｜

A

)分别等于(

A

)

A123455.[教材改编]设10件产品中有4件不合格品，从中任意选取2件，则在所选取的产品

中发现有一件是不合格品时，另一件也是不合格品的概率是

⁠.[解析]记事件

A

为“选取的2件产品中发现有一件是不合格品”，事件

B

为“另一

件是不合格品”，则

AB

为“2件都是不合格品”.

12345

学生用书P237命题点1

相互独立事件角度1

相互独立事件的判断例1[2021新高考卷Ⅰ]有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回

地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事

件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，

丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

B

)A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立B例1例2训练1例3训练2例4训练3

例1例2训练1例3训练2例4训练3方法技巧判断事件是否相互独立的方法(1)由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响.(2)利用“事件

A

，

B

相互独立⇔

P

(

AB

)＝

P

(

A

)·

P

(

B

)”判断.例1例2训练1例3训练2例4训练3角度2

相互独立事件的概率的求解例211分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球

权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲

发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在

某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了

X

个球该局比赛结束.(1)

P

(

X

＝2)＝

⁠；(2)事件“

X

＝4且甲获胜”的概率为

⁠.[解析]

(1)“

X

＝2”包含的事件为“甲连赢两球”或“乙连赢两球”.因此

P

(

X

＝

2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.[解析]

(2)“

X

＝4且甲获胜”包含的事件为“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”.因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.0.5

0.1

例1例2训练1例3训练2例4训练3方法技巧求相互独立事件同时发生的概率的思路(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.例1例2训练1例3训练2例4训练3

例1例2训练1例3训练2例4训练3(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

例1例2训练1例3训练2例4训练3命题点2

条件概率例3(1)[2023全国卷甲]某地的中学生中有60％的同学爱好滑冰，50％的同学爱好滑

雪，70％的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同

学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(

A

)A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

A例1例2训练1例3训练2例4训练3(2)[2023重庆联考]从5名男生2名女生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在男

生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是(

C

)

C

例1例2训练1例3训练2例4训练3方法技巧求条件概率的常用方法定义

法样本点法缩样

法即缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情

况，用古典概型的概率公式求解.例1例2训练1例3训练2例4训练3训练2(1)[2022天津高考]现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，

则两次都抽到A的概率为

；在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概

率是

⁠.

例1例2训练1例3训练2例4训练3

例1例2训练1例3训练2例4训练3(2)现有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机抽取两瓶，

若取出的两瓶中至少有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为

⁠.

例1例2训练1例3训练2例4训练3命题点3

全概率公式的应用例4(1)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道答案的概率为0.5，知道答案时，

答对的概率为1，而不知道答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为

(

A

)A.0.625B.0.75C.0.5D.0

A例1例2训练1例3训练2例4训练3(2)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为

DD

，

Dd

，

dd

，其中

D

为显性基因，

d

为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作

为父本杂交，那么子三代中基因型为

dd

的概率为

⁠.

例1例2训练1例3训练2例4训练3②若选择的是

dd

，

dd

，则子三代中基因型为

dd

的概率为

P

(

B

｜

A

2)＝1；

在子二代中任取2颗豌豆作为父本杂交，分以下三种情况讨论：

例1例2训练1例3训练2例4训练3方法技巧全概率公式的应用步骤(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件

Ai

(

i

＝1，2，…，

n

)；(2)求

P

(

Ai

)(

i

＝1，2，…，

n

)和所求事件

B

在各个互斥事件

Ai

发生条件下的概率

P

(

B

｜

Ai

)(

i

＝1，2，…，

n

)；(3)代入全概率公式求

P

(B).例1例2训练1例3训练2例4训练3训练3(1)[多选/2023广东六校联考]某高校有甲、乙两家餐厅，王同学每天都选择两

家餐厅中的一家就餐，第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他

第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第

二天去甲餐厅的概率为0.5.则王同学(

AC

)A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44AC例1例2训练1例3训练2例4训练3

例1例2训练1例3训练2例4训练3(2)人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的

基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60％，利率不

变的概率为40％.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该只股票价格上涨的

概率为80％，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40％，则该只股票将上

涨的概率为

⁠.64％

例1例2训练1例3训练2例4训练3

例1例2训练1例3训练2例4训练3

1.[命题点1角度1/多选/2023石家庄市二检]先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件

A

＝“两次掷出的点数之和是6”，事件

B

＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件

C

＝

“两次掷出的点数相同”，则(

BD

)A.A与B互斥B.B与C相互独立BD1234

12342.[命题点1角度2/2022全国卷乙]某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比

赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为

p

1，

p

2，

p

3，且

p

3＞

p

2＞

p

1＞0.记该棋手连胜两盘的概率为

p

，则(

D

)A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大D1234[解析]设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为

P

甲，在第二盘与乙比赛连胜两

盘的概率为

P

乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为

P

丙，由题意可知，

P

甲＝2

p

1[

p

2(1－

p

3)＋

p

3(1－

p

2)]＝2

p

1

p

2＋2

p

1

p

3－4

p

1

p

2

p

3，

P

乙＝2

p

2[

p

1(1－

p

3)＋

p3(1－

p

1)]＝2

p

1

p

2＋2

p

2

p

3－4

p

1

p

2

p

3，

P

丙＝2

p

3[

p

1(1－

p

2)＋

p

2(1－

p

1)]＝2

p

1

p

3＋2

p

2

p

3－4

p

1

p

2

p

3.所以

P

丙－

P

甲＝2

p

2(

p

3－

p

1)＞0，

P

丙－

P

乙＝2

p

1(

p

3－

p

2)＞0，所以

P

丙最大，故选D.1234

1234

1234

学生用书·作业帮P387

C.0.33D.0.1

A123456789101112132.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为

0.4，若采用三局两胜制，则甲最终获胜的概率为(

D

)A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648

D123456789101112133.[2024惠州市一调]甲、乙两位游客慕名来到惠州旅游，准备从惠州西湖、罗浮

山、南昆山、盐洲岛和大亚湾红树林公园5个景点中各随机选择一个景点游玩，记

事件

A

为“甲和乙选择的景点不同”，事件

B

为“甲和乙恰好一人选择罗浮山”，

则

P

(

B

｜

A

)＝(

B

)

B123456789101112134.[2024福州市一检]一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红球，2个黄

球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.则第二次摸到黄球的条件下，第

一次摸到红球的概率为(

C

)C12345678910111213

[解析]

解法一

记“第

i

次摸到红球”为事件

Ai

，“第

i

次摸到黄球”为事件

Bi

，

123456789101112135.[多选/2024江西分宜中学、临川一中等校联考]甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑

球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，用

事件

A

1，

A

2和

A

3分别表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机

取出一球，用事件

B

表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论正确的是(

AD

)C.事件B与事件A1相互独立D.A1，A2，A3两两互斥AD12345678910111213

12345678910111213

是

2

12345678910111213

(1)设事件

B

＝“在3个年级中随机抽取的1名学生是公益活动志愿者”；事件

Ai

＝

“在3个年级中随机抽取1名学生，该学生来自高

i

年级”(

i

＝1，2，3).请完成下表

中不同事件的概率：事件概率P(A1)P(A2)P(A3)P(B｜A1)P(B｜A2)P(B｜A3)P(B)概率值12345678910111213[解析]

(1)补充表格如下.事件概率P(A1)P(A2)P(A3)P(B｜A1)P(B｜A2)P(B｜A3)P(B)概率值

12345678910111213(2)若在3个年级中随机抽取1名学生，该学生是公益活动志愿者，根据以上表中所得

数据，求该学生来自高一年级的概率.

123456789101112138.[2024山东威海统考]某大学在一次调查学生是否有自主创业打算的活动中，获得

了如下数据.男生人数女生人数有自主创业打算16m无自主创业打算64n12345678910111213

(1)若

m

＝24，

n

＝36，根据调查数据判断，能否依据α＝0.01的独立性检验认为该校

学生有无自主创业打算与性别有关.12345678910111213(2)若

m

＝15，

n

＝60，从这些学生中随机抽取一人.(i)若已知抽到的人有自主创业打算，求该学生是男生的概率；

(2)(i)记

A

为“抽到的人有自主创业打算”，

B

为“抽到的人是男生”.12345678910111213(ii)判断“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”是否相互独立.

α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

12345678910111213解法二零假设为

H

'0：该校学生有无自主创业打算与性别无关.根据题意得到如下2×2列联表：男生人数女生人数合计有自主创业打算161531无自主创业打算6460124合计8075155

12345678910111213

9.[多选/2023江苏海安中学三模]记

A

，

B

为随机事件，则下列说法正确的有

(

BC

)BC12345678910111213[解析]

选

项分析过程正误A✕B√12345678910111213[解析]

选

项分析过程正误C√D✕1234567891011121310.[多选/2023广州市二检]有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8％，第2台加工的次品率为3％，第3台加工的次品率为2％，加工出来的零件混放在

一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10％，40％，50％，从混放

的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是(

BC

)A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98BC12345678910111213

12345678910111213

1234567