第八章 第1讲 直线的方程

第八章平面解析几何第1讲直线的方程

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解直线的倾

斜角和斜率的概

念，掌握过两点

的直线斜率的计

算公式.直线的倾斜

角与斜率2022新高考卷ⅠT21；

2022新高考卷ⅡT3直线是解析几何中最基

本的内容，一是在选择

题、填空题中考查直线

的倾斜角、斜率、直线

的方程等基本知识，难

度不大；求直线的方

程2020全国卷ⅠT11；2020

全国卷ⅢT10课标要求命题点五年考情命题分析预测2.根据确定直线位置的几何要素，

探索并掌握直线方程的几种形式(点

斜式、两点式及一般式).3.能用直线方程解决一些简单的数

学问题与实际问题.直线方程的

综合应用二是在解答题中与

圆、椭圆、双曲

线、抛物线等知识

进行综合考查，难

度偏大.

1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角直线的斜率定

义定义：当直线l与x轴相交时，

我们以x轴为基准，x轴正向

与直线l①

⁠的方向之

间所成的角α叫做直线l的倾

斜角.规定：当直线l与x轴平行或重

合时，我们规定它的倾斜角

为②

⁠.向上

0°

k＝tanα

直线的倾斜角直线的斜率区

别(1)直线l垂直于x轴时，直线l的倾

斜角是⑥

；(2)倾斜角的取值

范围为⑦

⁠.(1)直线l垂直于x轴时，直线l的斜率⑧

⁠

⁠；(2)斜率k的取值范围为⑨

⁠.联

系

[0，π)

不

存在

R

大

大

2.直线方程的五种形式名称方程说明适用条件斜截

式y＝kx＋bk是直线的斜率；b是直线在y轴上的截距.与x轴不垂直的直线.点斜

式⑫

⁠

⁠点(x0，y0)是直线上的已知点；k是斜率.两点

式点(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个已知点.与两坐标轴均不垂直

的直线.截距

式⑬

⁠a是直线在x轴上的截距；b是直线在y轴上的截距.不过原点且与两坐标

轴均不垂直的直线.y－y0＝k(x－x0)

名称方程说明适用条件一般

式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线.注意

(1)当直线与

x

轴不垂直时，可设直线方程为

y

＝

kx

＋

b

；当直线与

y

轴不垂

直时，可设直线方程为

x

＝

my

＋

n

.(2)截距是指直线与坐标轴交点的坐标值，可正，可负，可零.

1.下列说法正确的是(

D

)A.直线的倾斜角越大，其斜率越大B.若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为αC.经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示D.截距可以为负值

D1234562.[易错题]已知直线

l

：

x

tan60°＋

y

－3＝0，则直线

l

的倾斜角α为(

C

)A.30°B.60°C.120°D.150°[解析]

∵

x

tan60°＋

y

－3＝0，∴

y

＝－

x

tan60°＋3＝

x

tan120°＋3，故直线

l

的倾

斜角是120°，故选C.C1234563.倾斜角为135°，在

y

轴上的截距为－1的直线方程是(

D

)A.x－y＋1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0D.x＋y＋1＝0[解析]

∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于－1，∵在

y

轴上的截距是－1，由

直线方程的斜截式得：

y

＝－1×

x

－1，即

x

＋

y

＋1＝0，故选D.D1234564.[多选]如图，直线

l

1，

l

2，

l

3的斜率分别为

k

1，

k

2，

k

3，倾斜角分别为α1，α2，

α3，则下列选项正确的是(

AD

)A.k1＜k3＜k2B.k3＜k2＜k1C.α1＜α3＜α2D.α3＜α2＜α1

AD1234565.[教材改编]经过

A

(0，3)，

B

(－2，0)两点的直线的方向向量为(1，

k

)，则

k

的值

为

⁠.

1234566.[易错题]已知点

A

(3，4)，则经过点

A

且在两坐标轴上截距相等的直线方程为

⁠

⁠.[解析]设直线在

x

轴、

y

轴上的截距均为

a

.(讨论截距是否为0)

4

x

－3

y

＝0或

x

＋

y

－7＝0123456

B训练2例1训练1例2训练3例3

图1图2DA.0.75B.0.8C.0.85D.0.9训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧1.直线斜率的求解方法

2.直线斜率与倾斜角之间的关系往往借助正切函数在[0，π)上的图象判断，注意正

切函数在[0，π)上不单调，要注意分类讨论.训练2例1训练1例2训练3例3训练1

(1)已知点

A

(－1，1)，

B

(1，2)，

C

(0，－1)，过点

C

的直线

l

与线段

AB

有公

共点，则直线

l

的斜率

k

的取值范围是(

C

)

A.[－2，3]B.[－2，0)∪(0，3]C.(－∞，－2]∪[3，＋∞)D.以上都不对C训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3(2)直线

x

＋(

a

2＋1)

y

＋1＝0的倾斜角的取值范围是(

B

)

B训练2例1训练1例2训练3例3命题点2

求直线的方程例2

(1)已知点

M

是直线

l

：2

x

－

y

－4＝0与

x

轴的交点，将直线

l

绕点

M

按逆时针方

向旋转45°，得到的直线方程是(

D

)A.x＋y－3＝0B.x－3y－2＝0C.3x－y＋6＝0D.3x＋y－6＝0

D训练2例1训练1例2训练3例3(2)已知直线

l

过点

P

(3，2)，且与

x

轴、

y

轴的正半轴分别交于

A

，

B

两点，如图所

示，当△

ABO

的面积最小时，直线

l

的方程为

⁠.2

x

＋3

y

－12＝0训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧求直线方程的两种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程.待定系数法先设所求直线方程的恰当形式，再由题设条件列方程(组)，求出待定

系数.训练2例1训练1例2训练3例3

5

x

－3

y

＋1＝0

训练2例1训练1例2训练3例3命题点3

直线方程的综合应用例3

(1)已知点

A

(2，5)，

B

(4，1).若点

P

(

x

，

y

)在线段

AB

上，则2

x

－

y

的最大值为

(

C

)A.－1B.3C.7D.8

C训练2例1训练1例2训练3例3(2)已知直线

l

的方程为(

a

＋1)

x

＋

y

＋3－

a

＝0(

a

∈R)，则直线

l

过定点

⁠

；若直线

l

不经过第三象限，则实数

a

的取值范围是

⁠.

(1，－4)

[3，＋∞)训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧1.与直线有关的范围问题要注意借助函数或者不等式求解.2.直线方程含参数时，注意判断直线是否过定点或者斜率是否为定值.训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3(2)[2023长春模拟]已知直线

l

1：

x

－

my

＋1＝0过定点

A

，直线

l

2：

mx

＋

y

－

m

＋3

＝0过定点

B

，

l

1与

l

2相交于点

P

，则｜

PA

｜＋｜

PB

｜的最大值为

⁠.

训练2例1训练1例2训练3例3

1234

12342.[命题点2]过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为

⁠

⁠.

4

x

－

y＋16＝0或

x

＋3

y

－9＝0

12343.[命题点2]已知两条不重合的直线

l

1：

a

1

x

＋

b

1

y

＋1＝0和

l

2：

a

2

x

＋

b

2

y

＋1＝0

都过点

A

(2，1)，则过点

P

1(

a

1，

b

1)和点

P

2(

a

2，

b

2)的直线方程是(

A

)A.2x＋y＋1＝0B.2x－y＋1＝0C.2x＋y－1＝0D.x＋2y＋1＝0

A12344.[命题点2，3/2024四川内江模拟]已知直线

l

：(

m

＋1)

x

＋(

m

－3)

y

＋2

m

＋10＝

0(

m

∈R).(1)求证：直线

l

与直线3

x

＋7

y

－2＝0总相交.

1234(2)若直线

l

交

x

轴的负半轴于点

A

，交

y

轴的正半轴于点

B

，

O

为坐标原点，设△

AOB

的面积为

S

，求

S

的最小值及此时直线

l

的方程.

1234

1234

1.[2024江苏南京联考]过两点

A

(3，

y

)，

B

(2，0)的直线的倾斜角为120°，则

y

＝

(

D

)

D123456789101112132.已知点

A

(－2，3)和

B

(4，2)，若直线

l

：

x

＋

my

＋

m

－1＝0与线段

AB

有交点，

则实数

m

的取值范围是(

C

)C12345678910111213

123456789101112133.[2024四川成都七中段考]若直线

l

的方程为6

x

－6

y

cosβ＋13＝0，则直线

l

的倾斜

角α的取值范围是(

D

)A.[0，π]

D123456789101112134.[2024贵州联考]若直线

l

：(

a

－2)

x

＋

ay

＋2

a

－3＝0经过第四象限，则实数

a

的取

值范围为(

C

)A.(－∞，0)∪(2，＋∞)B.(－∞，0)∪[2，＋∞)

C123456789101112135.[2023山西模拟]将一矩形纸片

OABC

放在平面直角坐标系中，

O

(0，0)，

A

(2，

0)，

C

(0，1)，将矩形纸片折叠，使点

O

落在线段

BC

上，设折痕所在直线的斜率为

k

，则

k

的取值范围是(

D

)A.[0，1]B.[0，2]C.[－1，0)D.[－2，0]D12345678910111213

又当折叠后点

O

与点

C

重合时，

k

＝0，所以－2≤

k

≤0，所以实数

k

的取值范围是[－2，0].123456789101112136.[2024广东佛山容山中学校考]已知直线

l

的斜率小于0，且

l

经过点

P

(6，8)，并与

坐标轴分别交于

A

，

B

两点，

C

(4，0)，当△

ABC

的面积取得最小值时，直线

l

的斜

率为(

C

)C12345678910111213

123456789101112137.[多选/2024黑龙江牡丹江段考]已知直线

l

过点

P

(4，5)，且直线

l

在两坐标轴上的

截距的绝对值相等，则直线

l

的方程可能为(

ABC

)A.5x－4y＝0B.x－y＋1＝0C.x＋y－9＝0D.x＋y＋1＝0ABC12345678910111213

123456789101112138.[多选]已知直线

l

：(

t

＋2)

x

＋(

t

－1)

y

＋3＝0，则下列结论正确的是(

ACD

)A.直线l的斜率可以等于0B.直线l的斜率一定存在ACD12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213

12345678910111213

A.y＝2x＋1D123456789101112