第七章 第5讲 空间向量及空间位置关系

第七章立体几何与空间向量第5讲空间向量及空间位置关系

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标

系刻画点的位置；(2)借助特殊长方体顶点的坐

标，探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念.空间向

量的基

本定理该讲知识是利

用空间向量求

解立体几何问

题的基础，课标要求命题点五年考情命题分析预测3.(1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握

空间向量的正交分解及其坐标表示；(2)掌握

空间向量的线性运算及其坐标表示；(3)掌握

空间向量的数量积及其坐标表示；(4)了解空

间向量投影的概念以及投影向量的意义.空间向

量的坐

标运算主要用来求解

平面的法向量

和直线的方向

向量，课标要求命题点五年考情命题分析预测4.(1)理解直线的方向向量与平面的法向

量；(2)能用向量语言表述直线与直线、

直线与平面、平面与平面的垂直与平行

关系；(3)能用向量方法证明有关直线、

平面位置关系的判定定理.利用向

量法证

明平行

与垂直

问题2021新高考卷

ⅡT10；2021全

国卷甲T19；

2021浙江T6；

2020天津T17以及利用向量

解决空间位置

关系的判断问

题，考查数学

运算素养.

1.空间向量的三个定理共线向

量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使①

⁠.共面向

量定理若两个向量a，b②

，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有

序实数对(x，y)，使③

⁠.空间向

量基本

定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有

序实数组(x，y，z)，使得p＝④

，{a，b，c}叫做空间的一

个基底.注意

(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.(2)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.a＝λb

不共线

p＝xa＋yb

xa＋yb＋zc

规律总结应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法P，A，B三点共线M，P，A，B四点共面2.空间向量的坐标运算设

a

＝(

a

1，

a

2，

a

3)，

b

＝(

b

1，

b

2，

b

3)，则(1)

a

±

b

＝(

a

1±

b

1，

a

2±

b

2，

a

3±

b

3)；(2)λ

a

＝(λ

a

1，λ

a

2，λ

a

3)(λ∈R)；(3)

a

·

b

＝⑤

⁠；(4)

a

∥

b

⇔

a

＝λ

b

(

b

≠0)⇔⑥

⁠；(5)

a

⊥

b

⇔

a

·

b

＝0⇔⑦

⁠；

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋

a

3

b

3

a

1＝λ

b

1，

a

2＝λ

b

2，

a

3＝λ

b

3(λ∈R)

a

1

b

1＋

a

2

b

2＋

a

3

b

3＝0

规律总结空间两点间的距离及中点坐标公式设点

A

(

x

1，

y

1，

z

1)，

B

(

x

2，

y

2，

z

2)是空间中两点，则(1)

AB

＝⑧

⁠；

3.直线的方向向量和平面的法向量直线的

方向向

量如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a

为直线l的方向向量.平面的

法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.一个平面

的法向量有无数个，它们是共线向量.

确定平面法向量的方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的

法向量.

注意

n

＝(0，0，0)不能作为法向量.

方法技巧向量的叉乘

a

×

b

运算得出的是与

a

，

b

垂直的向量，所以可以利用叉乘计算平面的

法向量，运算法则如下：

4.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为

n1，n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R，λ≠0)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α

的法向量为m.l∥αn⊥m⇔⑨

⁠l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R，λ≠0)平面α，β的法向量分别为

n，m.α∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R，λ≠0)α⊥βn⊥m⇔⑩

⁠m·n＝0

m·n＝0

1.下列说法正确的是(

C

)A.直线的方向向量是唯一确定的B.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥αC.若两平面的法向量平行，则两平面平行D.若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥αC123452.已知

A

(1，0，0)，

B

(0，1，0)，

C

(0，0，1)，则下列向量是平面

ABC

的一个法

向量的是(

C

)A.(－1，1，1)B.(1，－1，1)C123453.在空间直角坐标系中，

A

(1，1，－2)，

B

(1，2，－3)，

C

(－1，3，0)，

D

(

x

，

y

，

z

)(

x

，

y

，

z

∈R)，若

A

，

B

，

C

，

D

四点共面，则(

A

)A.2x＋y＋z＝1B.x＋y＋z＝0C.x－y＋z＝－4D.x＋y－z＝0A123454.已知向量

a

＝(1，0，－1)，则下列向量中与

a

成60°夹角的是(

B

)A.(－1，1，0)B.(1，－1，0)C.(0，－1，1)D.(－1，0，1)B123455.[教材改编]已知

u

＝(3，

a

＋

b

，

a

－

b

)(

a

，

b

∈R)是直线

l

的方向向量，

n

＝(1，

2，3)是平面α的法向量.若

l

∥α，则

a

与

b

的关系式为

；若

l

⊥α，

则

a

＋

b

＝

⁠.

5

a

－

b

＋3＝0

6

12345

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件A例1训练1训练2例2训练3例3[解析]由题可知，要使

P

，

A

，

B

，

C

四点共面，则需

x

＋

y

＋

z

＝1.当

x

＝2，

y

＝

－3，

z

＝2时满足条件，所以

x

＝2，

y

＝－3，

z

＝2是

P

，

A

，

B

，

C

四点共面的充

分条件；反之，当四点共面时，只要

x

＋

y

＋

z

＝1即可，不一定要取

x

＝2，

y

＝－3，

z

＝2，所以

x

＝2，

y

＝－3，

z

＝2不是

P

，

A

，

B

，

C

四点共面的必要条件.故

x

＝2，

y

＝－3，

z

＝2是

P

，

A

，

B

，

C

四点共面的充分不必要条件.例1训练1训练2例2训练3例3

B例1训练1训练2例2训练3例3

例1训练1训练2例2训练3例3方法技巧1.证明空间四点共面的方法(1)利用共线向量定理；(2)利用共面向量定理.2.空间基底的要求是不共面的三个向量.例1训练1训练2例2训练3例3训练1

[多选]如图，在四面体

PABC

中，以下说法正确的有(

ABC

)ABC例1训练1训练2例2训练3例3

例1训练1训练2例2训练3例3

例1训练1训练2例2训练3例3命题点2

空间向量的坐标运算例2

(1)若向量

a

＝(1，1，

x

)，

b

＝(1，2，1)，

c

＝(1，1，1)，且(

c

－

a

)·(2

b

)＝-2，则

x

＝

⁠.[解析]

c

－

a

＝(0，0，1－

x

)，(

c

－

a

)·(2

b

)＝(0，0，1－

x

)·2(1，2，1)＝2(1－

x

)

＝－2，解得

x

＝2.2

例1训练1训练2例2训练3例3

例1训练1训练2例2训练3例3

依题意得

A

1(1，0，2)，

C

(0，0，0)，

B

1(0，1，2).

例1训练1训练2例2训练3例3方法技巧空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向

量的类比推广.例1训练1训练2例2训练3例3训练2

(1)[多选]已知空间向量

a

＝(2，－2，1)，

b

＝(3，0，4)，则下列说法正确的

是(

BC

)A.向量c＝(－8，5，6)与a，b垂直B.向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面D.向量a在向量b上的投影向量为(6，0，8)BC例1训练1训练2例2训练3例3

例1训练1训练2例2训练3例3

1

2

例1训练1训练2例2训练3例3

例1训练1训练2例2训练3例3命题点3

利用向量法证明平行与垂直问题例3

[2021浙江高考]如图，已知正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1，

M

，

N

分别是

A

1

D

，

D

1

B

的中点，则(

A

)AA.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1例1训练1训练2例2训练3例3

例1训练1训练2例2训练3例3解法二连接

AD

1，则易得点

M

在

AD

1上，且

AD

1⊥

A

1

D

.

因为

AB

⊥平面

AA

1

D

1

D

，所以

AB

⊥

A

1

D

，又

AB

∩

AD

1＝

A

，所以

A

1

D

⊥平面

ABD

1，所以

A

1

D

与

BD

1

异面且垂直，故B，C不正确.在△

ABD

1中，由中位线定理可得

MN

∥

AB

，又

MN

⊄

平面

ABCD

，

AB

⊂平面

ABCD

，所以

MN

∥平面

ABCD

，故A正确.易知直线

AB

与平

面

BB

1

D

1

D

成45°角，所以

MN

与平面

BB

1

D

1

D

不垂直，故D不正确.故选A.例1训练1训练2例2训练3例3方法技巧1.利用空间向量证明平行问题的方法线线

平行证明两条直线的方向向量共线.线面

平行(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.面面

平行(1)证明两个平面的法向量平行；(2)转化为线线平行、线面平行问题.例1训练1训练2例2训练3例32.利用空间向量证明垂直问题的方法线线

垂直证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零.线面

垂直(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线；(2)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直.面面

垂直(1)其中一个平面与另一个平面的法向量平行；(2)两个平面的法向量垂直.注意

用向量法证明平行与垂直问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行

时，需要说明一条直线在平面内，另一条直线在平面外.例1训练1训练2例2训练3例3训练3

如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝2

BC

，

P

，

Q

分别为线段

AB

，

CD

的中点，

EP

⊥平面

ABCD

.

求证：(1)

AQ

∥平面

CEP

；例1训练1训练2例2训练3例3[解析]

如图，连接

PQ

，因为四边形

ABCD

为矩形，且

P

，

Q

分别为线段

AB

，

CD

的中点，则

PQ

⊥

AB

.

易知

PA

，

PQ

，

PE

两两垂直，以

P

为坐标原点，分别以

PA

，

PQ

，

PE

所在直线为

x

轴、

y

轴、

z

轴建立如图所示的空间直角坐标系.设

AB

＝2，

PE

＝

a

，则

P

(0，0，0)，

A

(1，0，0)，

Q

(0，1，0)，

E

(0，0，

a

)，

C

(－1，1，0)，

D

(1，1，0).

又

AQ

⊄平面

CEP

，

PC

⊂平面

CEP

，(注意说明前提条件)所以

AQ

∥平面

CEP

.

例1训练1训练2例2训练3例3

(2)平面

AEQ

⊥平面

DEP

.

例1训练1训练2例2训练3例3

1232.[命题点1，2]已知向量

a

＝(2，－1，3)，

b

＝(－1，4，－2)，

c

＝(7，5，λ)，若

a

，

b

，

c

三向量共面，则实数λ＝

⁠.

123

123

设

CD

＝

a

，因为

P

为

BM

的中点，

AQ

＝3

QC

，

又平面

BCD

的一个法向量

n

＝(0，0，1)，

又

PQ

⊄平面

BCD

，所以

PQ

∥平面

BCD

.

123

1.以下各选项中的三个向量，不能构成空间基底的是(

A

)B.a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，2)C.a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，c＝(2，1，2)D.a＝(1，1，1)，b＝(0，1，0)，c＝(1，0，2)A1234567891011

12345678910112.已知直线

l

1的一个方向向量

a

＝(2，4，

x

)，直线

l

2的一个方向向量

b

＝(2，

y

，

2)，若｜

a

｜＝6，且

l

1⊥

l

2，则

x

＋

y

的值是(

A

)A.－3或1B.3或－1C.－3D.1

A12345678910113.已知

a

＝(1，2，－

y

)，

b

＝(

x

，1，2)，且(

a

＋2

b

)∥(2

a

－

b

)，则

(

B

)D.x＝1，y＝－1

B12345678910114.[多选/2024广东佛山一中校考]下列关于空间向量的命题中，正确的有(

BD

)A.直线l的一个方向向量是a＝(0，3，0)，平面α的一个法向量是u＝(0，－5，0)，则

l∥αB.若a，b，c可构成空间的一个基底，则向量a＋b，b＋c，c＋a也可构成空间的一

个基底C.若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥cBD1234567891011

1234567891011

1234567891011

1234567891011

A.－8D.1B1234567891011

1234567891011

12345678910117.[多选/2024浙江联考]如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝2，点

M

，

N

分别在棱

AB

和

BB

1上运动(不含端点)，若

D

1

M

⊥

MN

，则下列命题正确的是

(

AD

)A.MN⊥A1MB.MN⊥平面D1MCC.线段BN长度的最大值为1D.三棱锥D1－A1C1M体积不变AD1234567891011

1234567891011

12345678910118.[多选/2024广东清远模拟]如图，正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱长为2，点

O

为

底面

ABCD

的中心，点

P

为侧面

BB

1

C

1

C

内(不含边界)的动点，则(

AC

)A.D1O⊥ACB.存在点P，使得D1O∥B1PAC1234567891011[解析]以点

D

为坐标原点，

DA

，

DC

，

DD

1所在直线分别为

x

轴，

y

轴，

z

轴建立

如图所示的空间直角坐标系，则

A

(2，0，0)，

C

(0，2，0)，

D

(0，0，0)，

D

1(0，

0，2)，

B

1(2，2，2)，

C

1(0，2，2)，

O

(1，1，0)，设点

P

(

x

，2，

z

)，其中0＜

x

＜

2，0＜

z

＜2.1234567891011

1234567891011

12345678910119.如图，已知平行六面体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，底面

ABCD

是边长为1的正方

形，

AA

1＝2，∠

A

1

AB

＝∠

A

1

AD

＝120°.(1)求线段

AC

1的长；1234567891011

1234567891011

(2)求异面直线

AC

1与

A

1

D

所成角的余弦值；1234567891011(3)求证：

AA

1⊥

BD

.

123456789101110.[2024辽宁省辽东教学共同体联考]如图，已知四棱锥

P

－

ABCD

的底面是直角梯

形，

AB

∥

DC

，∠

DAB

＝90°，

PD

⊥底面

ABCD

，且

PD

＝

DA

＝

CD

＝2

AB

＝2，

M

点为

PC

的中点.(1)求证：

BM

∥平面

PAD

.

[解析]