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文档简介
第二章函数第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性课标要求命题点五年考情1.了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.函数的奇偶性2023新高考卷ⅠT11；2023新高考卷ⅡT4；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T13；2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T4；2021全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT13；2021新高考卷ⅡT8；2021新高考卷ⅡT14；2020全国卷ⅡT9；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅡT14；2019全国卷ⅢT11课标要求命题点五年考情1.了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.函数的周期性2022新高考卷ⅠT12；2022新高考卷ⅡT8；2022全国卷乙T12函数图象的对称性2022全国卷乙T12函数性质的综合
应用2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T12；2021新高考卷ⅡT8；2021全国卷甲T12；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅢT11命题分析预测本讲为高考命题重点，命题热点有函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求解析式、求函数值、解不等式等，函数周期性的判断及应用.题型以选择题、填空题为主，函数性质综合命题时难度中等偏大.预计2025年高考命题稳定，备考时注重常规题型训练的同时，关注命题角度创新试题及抽象函数性质的灵活运用.
1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特征特性单调性奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如∀x∈D，都有－x∈D，且①
，那么函数f(x)就叫做奇函数.关于②
对称.(1)如果定义域中包含0，那么
f(0)＝③
.(2)若函数在关于原点对
称的区间上有最值，则
f(x)max＋f(x)min＝④
.在关于原点对称的区间上单调性⑤
.f(－x)＝
－f(x)
原点
0
0
相同
奇偶性定义图象特征特性单调性偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且⑥
，那么函数f(x)就叫做偶函数.关于⑦
对称.f(x)＝f(｜x｜).在关于原点对称的区间上单调性⑧
.f(－x)＝f(x)
y轴
相反
注意
(1)只有函数在
x
＝0处有定义时，
f
(0)＝0才是
f
(
x
)为奇函数的必要不
充分条件；(2)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即
f
(
x
)＝0，
x
∈
D
，其中定义域
D
是关于原点对称的非空数集.规律总结1.常见的奇(偶)函数(1)函数
f
(
x
)＝
ax
＋
a
－
x
为偶函数，函数
g
(
x
)＝
ax
－
a
－
x
为奇函数；
2.函数奇偶性的拓展结论(1)若函数
y
＝
f
(
x
＋
a
)是偶函数，则
f
(
x
＋
a
)＝
f
(－
x
＋
a
)，函数
y
＝
f
(
x
)的图象关
于直线
x
＝
a
对称.(2)若函数
y
＝
f
(
x
＋
b
)是奇函数，则
f
(
x
＋
b
)＋
f
(－
x
＋
b
)＝0，函数
y
＝
f
(
x
)的图
象关于点(
b
，0)中心对称.2.函数的周期性(1)周期函数一般地，设函数
f
(
x
)的定义域为
D
，如果存在一个非零常数
T
，使得对每一个
x
∈
D
都有
x
＋
T
∈
D
，且⑨
，那么函数
f
(
x
)就叫做周期函数.非零
常数
T
叫做这个函数的周期.f
(
x
＋
T
)＝
f
(
x
)
(2)最小正周期如果在周期函数
f
(
x
)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫
做
f
(
x
)的⑩
正周期.注意
并不是所有的周期函数都有最小正周期，如
f
(
x
)＝5.最小
3.函数图象的对称性已知函数
f
(
x
)是定义在R上的函数，(1)若
f
(
a
＋
x
)＝
f
(
b
－
x
)
恒成立，则
y
＝
f
(
x
)
的图象关于直线⑪
对称.(2)若
f
(
a
＋
x
)＋
f
(
b
－
x
)＝
c
，则
y
＝
f
(
x
)的图象关于点⑫
对称.注意
(1)奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有
对称性.(2)注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内
x
的符号相同，对称性的表示中，括号内
x
的符号相反.
常用结论函数
f
(
x
)图象的对称性与周期的关系(1)若函数
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝
a
与直线
x
＝
b
对称，则函数
f
(
x
)的周期为2｜
b
－
a
｜；(2)若函数
f
(
x
)的图象既关于点(
a
，0)对称，又关于点(
b
，0)对称，则函数
f
(
x
)的周
期为2｜
b
－
a
｜；(3)若函数
f
(
x
)的图象既关于直线
x
＝
a
对称，又关于点(
b
，0)对称，则函数
f
(
x
)的
周期为4｜
b
－
a
｜.
A.－2B.0C.1D.2A123456
A.(0，0)B.(0，1)C.(1，0)D.(1，1)
B1234563.[多选]以下函数为偶函数的是(
AC
)A.f(x)＝x2－1B.f(x)＝x3C.f(x)＝x2＋cosxAC1234564.已知函数
f
(
x
)为R上的偶函数，且当
x
＜0时，
f
(
x
)＝
x
(
x
－1)，则当
x
＞0时，
f
(
x
)＝
.x
(
x
＋1)
1234565.已知定义在R上的函数
f
(
x
)满足
f
(
x
)＝
f
(
x
－2)，当
x
∈[0，2)时，
f
(
x
)＝
x
2－4
x
，则当
x
∈[4，6)时，
f
(
x
)＝
.[解析]设
x
∈[4，6)，则
x
－4∈[0，2)，则
f
(
x
－4)＝(
x
－4)2－4(
x
－4)＝
x
2－12
x
＋32.又
f
(
x
)＝
f
(
x
－2)，所以函数
f
(
x
)的周期为2，所以
f
(
x
－4)＝
f
(
x
)，所以当
x
∈[4，6)时，
f
(
x
)＝
x
2－12
x
＋32.x
2－12
x
＋32
.123456
[解析]由
f
(
x
)为奇函数，知
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，当
x
＞0时，可得－
x
＋
a
＝－
bx
＋
1，所以
b
＝1，
a
＝1.1
1
123456
命题点1
函数的奇偶性角度1
判断函数的奇偶性例1
(1)[全国卷Ⅰ]设函数
f
(
x
)，
g
(
x
)的定义域都为R，且
f
(
x
)是奇函数，
g
(
x
)是偶函
数，则下列结论中正确的是(
B
)A.f(x)g(x)是偶函数B.f(x)｜g(x)｜是奇函数C.｜f(x)｜g(x)是奇函数D.｜f(x)g(x)｜是奇函数B[解析]因为
f
(
x
)为奇函数，
g
(
x
)为偶函数，所以
f
(
x
)
g
(
x
)为奇函数，
f
(
x
)｜
g
(
x
)｜为奇函数，｜
f
(
x
)｜
g
(
x
)为偶函数，｜
f
(
x
)
g
(
x
)｜为偶函数，故选B.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
A.f(x－1)－1B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1D.f(x＋1)＋1B例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
故选B.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5方法技巧1.(1)函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；(2)若定义域关于原点对
称，则判断
f
(
x
)与
f
(－
x
)是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断
f
(
x
)＋
f
(－
x
)＝0(奇函数)或
f
(
x
)－
f
(－
x
)＝0(偶函数)是否成立.2.在公共定义域内有：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，奇函
数×奇函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数.注意
对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断
f
(－
x
)＝
f
(
x
)或
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)是
否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
A.－1B.0D.1
B例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5(2)[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数
f
(
x
)，
g
(
x
)分别是奇函数和偶函数，
且
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝
x
2－2
x
，则
f
(2)＋
g
(1)＝
.[解析]由
f
(
x
)是奇函数，
g
(
x
)是偶函数，得
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
g
(－
x
)＝
g
(
x
)，
∵
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝
x
2－2
x
，∴
f
(－
x
)＋
g
(－
x
)＝(－
x
)2－2(－
x
)＝
x
2＋2
x
，即－
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝
x
2＋2
x
，则有
f
(
x
)＝－2
x
，
g
(
x
)＝
x
2，则
f
(2)＋
g
(1)＝－4＋1＝－3.－3
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5方法技巧函数奇偶性的应用类型及解题策略(1)求函数解析式或函数值：借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数
值，或利用奇偶性构造关于
f
(
x
)的方程(组)求解析式.(2)求参数值：利用定义域关于原点对称或
f
(
x
)±
f
(－
x
)＝0列方程(组)求解，对于在
x
＝0处有定义的奇函数
f
(
x
)，可考虑列等式
f
(0)＝0求解.注意
利用特殊值法求参数时要检验.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5训练1
(1)[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递
增的是(
C
)A.f(x)＝xlnxC.f(x)＝ex＋e－xD.f(x)＝ex－e－xC例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5(2)[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R上的奇函数
f
(
x
)，当
x
≥0时，
f
(
x
)＝2
x
－
a
·3－
x
，当
x
＜0时，
f
(
x
)＝
.[解析]因为函数
f
(
x
)为奇函数，定义域为R，所以
f
(0)＝20－
a
×30＝0，解得
a
＝
1.若
x
＜0，则－
x
＞0，所以
f
(－
x
)＝2－
x
－3
x
，又
f
(
x
)为奇函数，所以当
x
＜0时，
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)＝3
x
－2－
x
，即当
x
＜0时，
f
(
x
)＝3
x
－2－
x
.3
x
－2－
x
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
A例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
A.－3B.－2C.0D.1A例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5方法技巧(1)利用函数的周期性可以将局部的函数性质扩展到整体.(2)判断抽象函数的周期一
般需要对变量进行赋值.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
A例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5(2)[2024云南部分名校联考]已知
f
(
x
)是定义在R上的偶函数，且
f
(
x
)＋
f
(4－
x
)＝
0，当0≤
x
≤2时，
f
(
x
)＝
a
·2
x
＋
x
2，则
f
(2024)＝
.[解析]因为
f
(
x
)是定义在R上的偶函数，且
f
(
x
)＋
f
(4－
x
)＝0，所以
f
(
x
)＝－
f
(4
－
x
)＝－
f
(
x
－4)，
f
(
x
－4)＝－
f
(
x
－8)，所以
f
(
x
)＝
f
(
x
－8)，故
f
(
x
)是以8为周
期的函数，则
f
(2024)＝
f
(0).令
x
＝2，则
f
(2)＋
f
(4－2)＝2
f
(2)＝8
a
＋8＝0，则
a
＝
－1，所以
f
(0)＝－20＝－1，即
f
(2024)＝－1.－1
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5命题点3
函数图象的对称性
A.0B.mC.2mD.4mB例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5(2)函数
f
(
x
)＝(
x
2－1)(e
x
－e－
x
)＋
x
＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为
M
，
N
，则
M
＋
N
的值为
.[解析]设
g
(
x
)＝(
x
2－1)(e
x
－e－
x
)＋
x
，则
f
(
x
)＝
g
(
x
)＋1.因为
g
(－
x
)＝(
x
2－1)(e－
x
－e
x
)－
x
＝－
g
(
x
)，且
g
(
x
)的定义域关于原点对称，所
以
g
(
x
)是奇函数.由奇函数图象的对称性知
g
(
x
)max＋
g
(
x
)min＝0，故
M
＋
N
＝[
g
(
x
)＋1]max＋[
g
(
x
)＋1]min＝2＋
g
(
x
)max＋
g
(
x
)min＝2.2
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的图象关于原点对称D.f(x)的最小值为2BC例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5(2)已知函数
f
(
x
)＝
x
3－3
x
2＋
x
＋1＋sin(
x
－1)，则函数
f
(
x
)在(0，2)上的最大值与
最小值的和为
.[解析]由三次函数图象的对称性可得，
y
＝
x
3－3
x
2＋
x
＋1的图象的对称中心为
(1，0)，因为
y
＝sin(
x
－1)的图象也关于(1，0)对称，所以函数
f
(
x
)在(0，2)上的图
象关于(1，0)对称，所以
f
(
x
)在(0，2)上的最大值与最小值的和为0.0
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
D例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜b＜aD.c＜a＜bA例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5方法技巧1.对于函数单调性与奇偶性的综合问题，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及
奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性求解.2.对于函数周期性与奇偶性的综合问题，常利用奇偶性及周期性将所求函数值的自
变量转换到已知函数解析式的自变量的取值范围内求解.3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在
一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的
单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5训练4
(1)已知函数
f
(
x
)是定义在R上的奇函数，且当
x
＞0时，
f
(
x
)＝e
x
＋
x
2＋
x
，
则不等式
f
(2－
a
)＋
f
(2
a
－3)＞0的解集为(
B
)A.(－1，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，1)[解析]易知
f
(
x
)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上，
f
(
x
)＞1.因为
f
(
x
)为R
上的奇函数，所以
f
(0)＝0，
f
(
x
)在(－∞，0)上单调递增，且在(－∞，0)上
f
(
x
)＜
－1，故
f
(
x
)在R上单调递增.原不等式可化为
f
(2－
a
)＞－
f
(2
a
－3)，即
f
(2－
a
)＞
f
(3－2
a
)，所以2－
a
＞3－2
a
，故
a
＞1，选B.B例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5(2)[2024湖北部分重点中学联考]已知函数
y
＝
f
(
x
)是R上的奇函数，∀
x
∈R，都有
f
(2－
x
)＝
f
(
x
)＋
f
(2)成立，则
f
(1)＋
f
(2)＋
f
(3)＋…＋
f
(2024)＝
.[解析]因为函数
f
(
x
)是R上的奇函数，所以
f
(0)＝0.因为∀
x
∈R，都有
f
(2－
x
)＝
f
(
x
)＋
f
(2)，所以令
x
＝2，得
f
(0)＝2
f
(2)，得
f
(2)＝0，所以
f
(2－
x
)＝
f
(
x
)，则函数
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝1对称.因为函数
f
(
x
)的图象关于原点对称，所以函数
f
(
x
)是
以4为周期的周期函数，且函数
f
(
x
)的图象关于点(2，0)中心对称，则
f
(1)＋
f
(3)＝
0，又
f
(2)＝0，
f
(4)＝
f
(0)＝0，所以
f
(1)＋
f
(2)＋
f
(3)＋
f
(4)＝0，所以
f
(1)＋
f
(2)＋
f
(3)＋…＋
f
(2024)＝506[
f
(1)＋
f
(2)＋
f
(3)＋
f
(4)]＝0.0
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
抽象函数问题的解题策略策略1
赋值法例6
[多选/2023新高考卷Ⅰ]已知函数
f
(
x
)的定义域为R，
f
(
xy
)＝
y
2
f
(
x
)＋
x
2
f
(
y
)，则
(
ABC
)A.f(0)＝0B.f(1)＝0C.f(x)是偶函数D.x＝0为f(x)的极小值点ABC例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5[解析]
解法一令
x
＝
y
，则有
f
(
x
2)＝2
x
2
f
(
x
).当
x
＝0时，可得
f
(0)＝0，A正确.当
x
＝1时，可得
f
(1)＝2
f
(1)，所以
f
(1)＝0，B正确.因为
f
((－
x
)2)＝2(－
x
)2
f
(－
x
)，即
f
(
x
2)＝2
x
2
f
(－
x
)，所以
f
(－
x
)＝
f
(
x
)，所以函数
f
(
x
)为偶函数，C正确.因为无法判断函数
f
(
x
)的单调性，所以无法确定
f
(
x
)的极值点，故D不正确，故选ABC.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5解法二取
x
＝
y
＝0，则
f
(0)＝0，故A正确；取
x
＝
y
＝1，则
f
(1)＝
f
(1)＋
f
(1)，所
以
f
(1)＝0，故B正确；取
x
＝
y
＝－1，则
f
(1)＝
f
(－1)＋
f
(－1)，所以
f
(－1)＝0，取
y
＝－1，则
f
(－
x
)＝
f
(
x
)＋
x
2
f
(－1)，所以
f
(－
x
)＝
f
(
x
)，所以函数
f
(
x
)为偶函
数，故C正确；因为
f
(0)＝0，且函数
f
(
x
)为偶函数，所以函数
f
(
x
)的图象关于
y
轴
对称，所以
x
＝0可能为函数
f
(
x
)的极小值点，也可能为函数
f
(
x
)的极大值点，也可
能不是函数
f
(
x
)的极值点，故D不正确.综上，选ABC.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5方法技巧赋值法是指利用已知条件，对变量赋值，从而得出抽象函数在某点处的函数值或抽
象函数的性质.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
A.－21B.－22C.－23D.－24D例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
A.f(0)＝0C.f(－1)＝f(4)D.g(－1)＝g(2)BC例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5方法技巧1.思路：利用题设中的条件等式，将其变形为满足函数某些性质的定义表达式，从
而利用这些性质转化求解.2.设函数
f
(
x
)及其导函数
f
'(
x
)的定义域均为R.(1)若
f
(
x
)的图象关于
x
＝
a
对称，则
f
'(
x
)的图象关于(
a
，0)对称；(2)若
f
(
x
)的图象关于(
a
，
b
)对称，则
f
'(
x
)的图象关于
x
＝
a
对称；(3)若
f
(
x
)是以
T
为周期的函数，则
f
'(
x
)也是以
T
为周期的函数.注意
利用函数图象的平移变换解决抽象函数性质问题时，注意在进行图象变换的
同时，函数图象的对称轴或者对称中心也进行了相应的变换.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5策略3
特殊函数模型法例8
定义在R上的函数
f
(
x
)满足
f
(
x
＋
y
)＝
f
(
x
)＋
f
(
y
)＋2
xy
(
x
，
y
∈R)，
f
(1)＝2，
则
f
(－3)＝(
C
)A.2B.3C.6D.9[解析]
解法一由函数
f
(
x
)满足
f
(
x
＋
y
)＝
f
(
x
)＋
f
(
y
)＋2
xy
(
x
，
y
∈R)，联想到
函数模型
f
(
x
)＝
x
2＋
bx
，由
f
(1)＝2，可得
b
＝1，则
f
(
x
)＝
x
2＋
x
，所以
f
(－3)＝
(－3)2＋(－3)＝6.C例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5解法二
f
(1)＝
f
(1＋0)＝
f
(1)＋
f
(0)＋2×1×0＝
f
(1)＋
f
(0)，得
f
(0)＝0；
f
(0)＝
f
(－1＋1)＝
f
(－1)＋
f
(1)＋2×(－1)×1＝
f
(－1)＋2－2＝
f
(－1)，得
f
(－1)＝0；
f
(－2)＝
f
(－1－1)＝
f
(－1)＋
f
(－1)＋2×(－1)×(－1)＝2
f
(－1)＋2＝2；
f
(－3)＝
f
(－2－1)＝
f
(－2)＋
f
(－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6.故选C.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5方法技巧常用函数模型抽象函数性质基本函数模型f(x±y)＝f(x)±f(y)∓b一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy二次函数f(x)＝x2＋bx幂函数f(x)＝xα指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5抽象函数性质基本函数模型对数函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)余弦函数f(x)＝cosωx(ω一般取满足要求
的最小正数)注意
应用特殊函数模型法解题时，要注意检验所选模型是否满足已知条件.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5训练5
(1)[新高考卷Ⅰ]若定义在R上的奇函数
f
(
x
)在(－∞，0)上单调递减，且
f
(2)＝
0，则满足
xf
(
x
－1)≥0的
x
的取值范围是(
D
)A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3][解析]由题意知
f
(
x
)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，且
f
(－2)＝
f
(2)＝
f
(0)＝0.当
x
＞0时，令
f
(
x
－1)≥0，得0≤
x
－1≤2，∴1≤
x
≤3；当
x
＜0时，令
f
(
x
－1)≤0，得－2≤
x
－1≤0，∴－1≤
x
≤1，又
x
＜0，∴－1≤
x
＜0；当
x
＝0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D.D例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5(2)[多选/2024安徽省阜阳市模拟]已知函数
f
(
x
)的定义域为R，对任意实数
x
，
y
满足
f
(
x
－
y
)＝
f
(
x
)－
f
(
y
)＋1，且
f
(1)＝0，当
x
＞0时，
f
(
x
)＜1.则下列选项正确的是
(
ACD
)A.f(0)＝1B.f(2)＝－2C.f(x)－1为奇函数D.f(x)为R上的减函数[解析]
解法一设
f
(
x
)＝
kx
＋1，因为
f
(1)＝0，所以
k
＝－1，所以
f
(
x
)＝－
x
＋
1，满足
x
＞0时，
f
(
x
)＜1，则易得A，C，D均正确，故选ACD.ACD例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5解法二对于A，取
x
＝
y
＝0，则
f
(0)＝
f
(0)－
f
(0)＋1，故
f
(0)＝1，A正确；对于B，取
x
＝0，
y
＝1，则
f
(－1)＝
f
(0)－
f
(1)＋1＝2，取
x
＝1，
y
＝－1，则
f
(2)
＝
f
(1)－
f
(－1)＋1＝－1，B错误﹔对于C，取
x
＝0，则
f
(－
y
)＝
f
(0)－
f
(
y
)＋1＝2－
f
(
y
)，
f
(－
y
)－1＝－[
f
(
y
)－1]，
则
f
(
y
)－1为奇函数，所以
f
(
x
)－1为奇函数，C正确；对于D，当
x
1＞
x
2时，
x
1－
x
2＞0，
f
(
x
1－
x
2)＜1，则
f
(
x
1)－
f
(
x
2)＝
f
(
x
1－
x
2)－1
＜0，故
f
(
x
)是R上的减函数，D正确，故选ACD.例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
例1例2训练1例3训练2例4训练3例5训练4例6例7例8训练5
1.[命题点1角度2/全国卷Ⅱ]设
f
(
x
)为奇函数，且当
x
≥0时，
f
(
x
)＝e
x
－1，则当
x
＜
0时，
f
(
x
)＝
(
D
)A.e－x－1B.e－x＋1C.－e－x－1D.－e－x＋1[解析]依题意得，当
x
＜0时，
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)＝－(e－
x
－1)＝－e－
x
＋1，故选D.D123456
A.－2B.－1C.1D.2
D
1234563.[命题点2，3/多选/2024江苏省兴化市名校联考]已知函数
f
(
x
)为R上的奇函数，
g
(
x
)＝
f
(
x
＋1)为偶函数，下列说法正确的有(
ABD
)A.f(x)图象关于直线x＝－1对称B.g(2023)＝0C.g(x)的周期为2D.对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)ABD123456[解析]因为函数
f
(
x
)为R上的奇函数，所以函数
f
(
x
)的图象关于点(0，0)中心对
称，因为
g
(
x
)＝
f
(
x
＋1)为偶函数，所以
f
(－
x
＋1)＝
f
(
x
＋1)，即函数
f
(
x
)的图象
关于
x
＝1对称，所以
f
(－
x
＋1)＝－
f
(－
x
－1)，所以
f
(
x
－1)＝
f
(－
x
－1)，所以函
数
f
(
x
)的图象关于
x
＝－1对称，故A正确；由
f
(－
x
＋1)＝
f
(
x
＋1)可得
f
(2－
x
)＝
f
(
x
)，故D正确；由
f
(2－
x
)＝
f
(
x
)可得
f
(2＋
x
)＝
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，所以
f
(4＋
x
)＝
f
(
x
)，即函数
f
(
x
)的周期为4，故C错误；因为
f
(
x
)的周期为4，所以
g
(2023)＝
f
(2024)＝
f
(0)＝0，故B正确.故选ABD.123456
A.3B.4C.6D.与m的值有关C123456
1234565.[思维帮角度1，2/2021新高考卷Ⅱ]设函数
f
(
x
)的定义域为R，且
f
(
x
＋2)为偶函
数，
f
(2
x
＋1)为奇函数，则(
B
)B.f(－1)＝0C.f(2)＝0D.f(4)＝0[解析]因为函数
f
(2
x
＋1)是奇函数，所以
f
(－2
x
＋1)＝－
f
(2
x
＋1)，所以
f
(1)＝
0，
f
(－1)＝－
f
(3).因为函数
f
(
x
＋2)是偶函数，所以
f
(
x
＋2)＝
f
(－
x
＋2)，所以
f
(3)＝
f
(1)，所以
f
(－1)＝－
f
(1)＝0.故选B.B1234566.[思维帮角度2/多选/2023四省联考]已知
f
(
x
)是定义在R上的偶函数，
g
(
x
)是定义
在R上的奇函数，且
f
(
x
)，
g
(
x
)在(－∞，0]上均单调递减，则(
BD
)A.f(f(1))＜f(f(2))B.f(g(1))＜f(g(2))C.g(f(1))＜g(f(2))D.g(g(1))＜g(g(2))BD123456[解析]因为
f
(
x
)与
g
(
x
)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(－∞，
0]上均单调递减，所以
f
(
x
)在[0，＋∞)上单调递增，
g
(
x
)在[0，＋∞)上单调递减，
即
g
(
x
)在R上单调递减，所以
f
(1)＜
f
(2)，
g
(2)＜
g
(1)＜
g
(0)＝0，(提示：定义在R
上的奇函数的图象必过原点)所以
f
(
g
(1))＜
f
(
g
(2))，
g
(
f
(1))＞
g
(
f
(2))，
g
(
g
(1))＜
g
(
g
(2))，故B，D正确，C不
正确.若
f
(1)＜
f
(2)＜0，则
f
(
f
(1))＞
f
(
f
(2))，故A不正确.综上所述，选BD.123456
1.[2024黑龙江省鸡西市第一中学模拟]下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递
减的是(
C
)A.f(x)＝tan(－x)B.f(x)＝2－xC.f(x)＝e－x－exC123456789101112131415
1234567891011121314152.若定义在R上的偶函数
f
(
x
)和奇函数
g
(
x
)满足
f
(
x
)＋
g
(
x
)＝e
x
，则
g
(
x
)＝(
D
)A.ex－e－x
D123456789101112131415
A.[－1，0)B.[0，1]C.[－1，1]D.[－2，2][解析]若
x
＜0，则－
x
＞0，
f
(－
x
)＝
x
2－2
x
＝
f
(
x
)，若
x
＞0，则－
x
＜0，
f
(－
x
)＝
x
2＋2
x
＝
f
(
x
)，故函数
f
(
x
)为偶函数，且当
x
≥0时，函数
f
(
x
)单调递增，由
f
(－
a
)＋
f
(
a
)≤2
f
(1)，得2
f
(
a
)≤2
f
(1)，即
f
(
a
)≤
f
(1)，所以｜
a
｜≤1，所以－1≤
a
≤1.故选C.C123456789101112131415
A.－1B.0C.1D.±1
C
1243567891011121314155.[2024安徽月考]已知函数
f
(
x
)＝2sin
x
＋
x
＋2，
x
∈[－2π，2π]，
f
(
x
)的最大值为
M
，最小值为
m
，则
M
＋
m
＝(
A
)A.4[解析]因为
y
＝2sin
x
＋
x
的图象关于原点对称，所以
f
(
x
)＝2sin
x
＋
x
＋2
的图象关于点(0，2)对称，所以
f
(
x
)在[－2π，2π]上的最大值与最小值的和
M
＋
m
＝4.故选A.A1234567891011121314156.[2023南京市、盐城市一模]若函数
f
(
x
)＝
x
3＋
bx
2＋
cx
＋
d
满足
f
(1－
x
)＋
f
(1＋
x
)
＝0对一切实数
x
恒成立，则不等式
f
'(2
x
＋3)＜
f
'(
x
－1)的解集为(
C
)A.(0，＋∞)B.(－∞，－4)C.(－4，0)D.(－∞，－4)∪(0，＋∞)C123456789101112131415解法一易得
f
'(
x
)＝3
x
2＋2
bx
＋
c
的图象的对称轴为直线
x
＝1，所以函数
f
'(
x
)在
(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则由
f
'(2
x
＋3)＜
f
'(
x
－1)，得｜2
x
＋3－1｜＜｜
x
－1－1｜，解得－4＜
x
＜0，故选C.
[解析]由
f
(1－
x
)＋
f
(1＋
x
)＝0可知，函数
f
(
x
)的图象关于点(1，0)中心对称.1234567891011121314157.[2024福州市一检]已知定义域为R的函数
f
(
x
)同时具有下列三个性质，则
f
(
x
)
＝
.(写出一个满足条件的函数即可)①
f
(
x
＋
y
)＝
f
(
x
)＋
f
(
y
)；②
f
(
x
)是奇函数；③当
x
＋
y
＞0时，
f
(
x
)＋
f
(
y
)＜0.[解析]因为
f
(
x
)是奇函数，且当
x
＋
y
＞0时，
f
(
x
)＋
f
(
y
)＜0，即
x
＞－
y
时，
f
(
x
)＜－
f
(
y
)＝
f
(－
y
)，所以
f
(
x
)是单调递减函数，再考虑到
f
(
x
＋
y
)＝
f
(
x
)＋
f
(
y
)，所以
f
(
x
)＝
kx
(
k
＜0)都符合题意.－
x
(答案不唯一)
7891011121314151234568.已知
f
(
x
)为R上的奇函数，当
x
＞0时，
f
(
x
)＝－2
x
2＋3
x
＋1，则
f
(
x
)的解析式f
(
x
)＝
.
789101112131415123456
B.(1，＋∞)D.(－∞，1)A789101112131415123456
789101112131415123456
78910111213141512345610.[2024黄冈模拟]已知函数
f
(
x
)及其导函数
f
'(
x
)的定义域均为R，记
g
(
x
)＝
f
'(
x
＋
1)，且
f
(2＋
x
)－
f
(2－
x
)＝4
x
，
g
(3＋
x
)为偶函数，则g'(7)＋
g
(17)＝(
C
)A.0B.1C.2D.3C789101112131415123456[解析]因为
g
(3＋
x
)为偶函数，
g
(
x
)＝
f
'(
x
＋1)，所以
f
'(
x
＋4)＝
f
'(－
x
＋4)，对
f
(2＋
x
)－
f
(2－
x
)＝4
x
两边同时求导，得
f
'(2＋
x
)＋
f
'(2－
x
)
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