北京市西城区名校2025届八年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

北京市西城区名校2025届八年级数学第一学期期末学业水平测试试题业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．一组不为零的数a，b，c，d，满足，则以下等式不一定成立的是（）A．＝ B．＝C．＝ D．＝2．下列全国志愿者服务标识的设计图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．在实数，，，中，无理数是（）A． B． C． D．4．如图，在中，与的平分线交于点，过点作DE∥BC，分别交于点若，则的周长为（）A．9 B．15 C．17 D．205．下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（）A． B．C． D．6．设△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=90° B．b2=a2-c2C．∠A：∠B：∠C=3：4：5 D．a：b：c=5：12：137．下列因式分解正确的是()A．x2–9=（x+9）（x–9） B．9x2–4y2=（9x+4y）（9x–4y）C．x2–x+=（x−）2 D．–x2–4xy–4y2=–（x+2y）28．x，y满足方程，则的值为（）A． B．0 C． D．9．如图，在长方形中，点，点分别为和上任意一点，点和点关于对称，是的平分线，若，则的度数是()A． B． C． D．10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（）A． B． C． D．11．下列计算正确的是（）A．3x﹣2x＝1 B．a﹣（b﹣c+d）＝a+b+c﹣dC．（﹣a2）2＝﹣a4 D．﹣x•x2•x4＝﹣x712．的相反数是（）A．9 B．-9 C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图在中，是的中线，是上的动点，是边上动点，则的最小值为______________．14．在一次对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解3(x+2)(x+8)；乙同学因看错了常数项而将其分解为3(x+7)(x+1)，则将此多项式进行正确的因式分解为____．15．若关于x的分式方程无解，则m的值是_____．16．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则xy的值_____．17．若关于x的不等式组有4个整数解，那么a的取值范围是_____．18．对于实数，，定义运算“”如下：．若，则_____．三、解答题（共78分）19．（8分）某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元．（1）该商店第一次购进这种水果多少千克？（2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？20．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．21．（8分）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形．（1）若，．求图②中阴影部分面积；（2）观察图②，写出，，三个代数式之间的等量关系．（简要写出推理过程）（3）根据（2）题的等量关系，完成下列问题：若，，求的值．22．（10分）列方程解应用题：为宣传社会主义核心价值观，某社区居委会计划制作1200个大小相同的宣传栏．现有甲、乙两个广告公司都具备制作能力，居委会派出相关人员分别到这两个广告公司了解情况，获得如下信息：信息一：甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天；信息二：乙公司每天制作的数量是甲公司每天制作数量的1.2倍．根据以上信息，求甲、乙两个广告公司每天分别能制作多少个宣传栏？23．（10分）已知：直线，点，分别是直线，上任意两点，在直线上取一点，使，连接，在直线上任取一点，作，交直线于点．（1）如图1，若点是线段上任意一点，交于，求证：；（2）如图2，点在线段的延长线上时，与互为补角，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由．24．（10分）父亲两次将100斤粮食分给兄弟俩，第一次分给哥哥的粮食等于第二次分给弟弟的2倍，第二次分给哥哥的粮食是第一次分给弟弟的3倍，求两次分粮食中，哥哥、弟弟各分到多少粮食？25．（12分）计算：（1）（3）26．（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是；②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．【详解】解：一组不为零的数，，，，满足，，，即，故A、B一定成立；设，∴，，∴，，∴，故D一定成立；若则，则需，∵、不一定相等，故不能得出，故D不一定成立．故选：．【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．2、C【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，

C中的图形是轴对称图形，

故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3、D【分析】无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．【详解】解：在实数，，，中，=2，=-3，π是无理数.故选D.【点睛】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有三类：①π类，②开方开不尽的数，③虽有规律但是无限不循环的数.4、A【分析】由与的平分线交于点，DE∥BC，可得：DB=DO，EO=EC，进而即可求解．【详解】∵BO是∠ABC的平分线，∴∠OBC=∠DBO，∵DEBC，∴∠OBC=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，同理：EO=EC，∴的周长=AD+AE+DO+EO=AD+AE+DB+EC=AB+AC=5+4=1．故选A．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定定理，掌握“双平等腰”模型，是解题的关键．5、B【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．6、C【分析】根据题意运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形，从而分别判定即可．【详解】解：A.∵∠A+∠B=90°，∴=90°，△ABC是直角三角形；B.∵b2=a2-c2∴△ABC是直角三角形；C.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴△ABC不是直角三角形；D.∵a：b：c=5：12：13∴，△ABC是直角三角形.故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、直角三角形的判定方法，灵活的应用此定理是解决问题的关键．7、D【分析】利用以及进行因式分解判断即可.【详解】A．原式=（x+3）（x–3），选项错误；B．原式=（3x+2y）（3x–2y），选项错误；C．原式=（x–）2，选项错误；D．原式=–（x2+4xy+4y2）=–（x+2y）2，选项正确．故选D．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关公式是解题关键.8、A【分析】利用整体法将两式相加，即可求得.【详解】解：，①＋②得：，，故选A.【点睛】本题考查代数式的求值，灵活运用加减消元的思想是关键.9、B【分析】根据对称的性质可得∠MEF的度数，再由是的平分线，可算出∠MEN的度数.【详解】解：由题意可得：∠B=90°，∵∠BFE=60°，∴∠BEF=30°，∵点和点关于对称，∴∠BEF=∠MEF=30°，∴∠MEC=180-30°×2=120°，又∵是的平分线，∴∠MEN=120÷2=60°.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质和角平分线的性质，根据已知角利用三角形内角和、角平分线的性质计算相关角度即可，难度不大.10、B【分析】首先设AD=xcm，由折叠的性质得：BD=AD=xcm，又由BC=8cm，可得CD=8-x（cm），然后在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求得方程，解方程即可求得答案．【详解】设AD=xcm，由折叠的性质得：BD=AD=xcm，∵在Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，∴CD=BC-BD=（8-x）cm，在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，即：62+（8-x）2=x2，解得：x=，∴AD=cm．故选：B．【点睛】此题考查了折叠的性质与勾股定理的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．11、D【分析】直接利用积的乘方运算法则以及去括号法则分别化简得出答案．【详解】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；B、a﹣（b﹣c+d）＝a﹣b+c﹣d，故此选项错误；C、（﹣a2）2＝a4，故此选项错误；D、﹣x•x2•x4＝﹣x7，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了积的乘方运算法则以及去括号法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．12、B【分析】先根据负指数幂的运算法则求出的值，然后再根据相反数的定义进行求解即可．【详解】=9，9的相反数为-9，故的相反数是-9，故选B．【点睛】本题考查了负整数指数幂、求一个数的相反数，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据等腰三角形“三线合一”得出BD的长和AD⊥BC，再利用勾股定理求出AD，利用“等面积法”结合垂线段最短进一步求出最小值即可.【详解】如图，作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，∵AB=AC=13，BC=10，AD是△ABC的中线，∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴M在AB上，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD=，∴，∴，∵E关于AD的对称点M，∴EF=FM，∴CF+EF=CF+FM=CM，根据垂线段最短可得：CM≥CN，即：CF+EF≥，∴CF+EF的最小值为：，故答案为：.【点睛】本题主要考查了几何图形中最短路线问题，关键是熟练运用轴对称性质找出相应的线段进行求解.14、【分析】分别将3(x+2)(x+8)和3(x+7)(x+1)展开，然后取3(x+2)(x+8)展开后的二次项和常数项，取3(x+7)(x+1)展开后的一次项，最后因式分解即可．【详解】解：3(x+2)(x+8)=3x2+30x+483(x+7)(x+1)=3x2+24x+21由题意可知：原二次三项式为3x2+24x+483x2+24x+48=3（x2+8x+16）=故答案为：．【点睛】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、提取公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．15、2【详解】解：去分母，得m﹣2=x﹣1，x=m﹣1．∵关于x的分式方程无解，∴最简公分母x﹣1=0，∴x=1，当x=1时，得m=2，即m的值为2．故答案为2．16、2﹣1【分析】根据可得，x＝2，y＝﹣2，代入求解即可．【详解】∵x是的整数部分，∴x＝2，∵y是的小数部分，∴y＝﹣2，∴yx＝2（﹣2）＝2﹣1，故答案为2﹣1．【点睛】本题考查了无理数的混合运算问题，掌握无理数大小比较的方法以及无理数混合运算法则是解题的关键．17、【分析】不等式组整理后，根据4个整数解确定出a的范围即可．【详解】解：不等式组整理得：，

解得：1＜x＜-a-2，

由不等式组有4个整数解，得到整数解为2，3，4，5，

∴5＜-a-2≤6，

解得：-8≤a＜-7，

故答案为：-8≤a＜-7【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18、【分析】根据题意列出方程，然后用直接开平方法解一元二次方程．【详解】解：根据题目给的算法列式：，整理得：，，，．故答案是：．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．三、解答题（共78分）19、（1）该商店第一次购进水果1千克；（2）每千克这种水果的标价至少是2元．【分析】（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元，列出方程求解即可；（2）设每千克水果的标价是y元，然后根据两次购进水果全部售完，利润不低于950元列出不等式，然后求解即可得出答案．【详解】（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进这种水果2x千克．由题意，得，解得x=1．经检验，x=1是所列方程的解．答：该商店第一次购进水果1千克．（2）设每千克这种水果的标价是y元，则（1+1×2﹣20）•y+20×0.5y≥10+2400+950，解得y≥2．答：每千克这种水果的标价至少是2元．【点睛】此题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解决问题的关键．20、﹣2≤x＜1，见解析【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．【详解】解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜1，∴不等式组的解集是﹣2≤x＜1，在数轴上表示为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组）和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．21、（1）；（2）或，过程见解析；（3）【分析】（1）根据图形可知，阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，写出即可求解；（2）根据完全平方公式的变形即可得到关系式；（3）根据，故求出，代入（2）中的公式即可求解．【详解】解：（1）∵阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，即阴影正方形的边长为13-3=10∴；（2）结论：或∵，∴∴或；（3）∵，∴∴由（2）可知∴∵，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，以及两个公式之间的关系，从整体与局部两种情况分析并写出面积的表达式是解题的关键．22、甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．【解析】设甲广告公司每天能制作x个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x个宣传栏，然后根据“甲公司单独制作完成这批宣传栏比乙公司单独制作完成这批宣传栏多用10天”列出方程求解即可．【详解】解：设甲广告公司每天能制作x个宣传栏，则乙广告公司每天能制作1.2x个宣传栏．根据题意得：1200x解得：x=1．经检验：x=1是原方程的解且符合实际问题的意义．∴1.2x=1.2×1=2．答：甲广告公司每天能制作1个宣传栏，乙广告公司每天能制作2个宣传栏．【点睛】此题考查了分式方程的应用，找出等量关系为两广告公司的工作时间的差为10天是解题的关键．23、（1）见解析；（2），见解析【分析】（1）以点E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM，证明△AEB≌△MEF，根据全等三角形的性质证明；

（2）在直线m上截取AN=AB，连接NE，证明△NAE≌△ABE，根据全等三角形的性质得到EN=EB，∠ANE=∠ABE，证明EN=EF，等量代换即可．【详解】（1）如图1，以点E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）．理由如下：如图2，在直线上截取，连接，∵，AB=BC，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24、第一次，哥哥分到80斤，弟弟分到20斤，第二次，哥哥分到60斤，弟弟分到40斤【分析】设哥哥第一次分到粮食为x斤，弟弟第二次分到的粮食为y斤，根据题中给出已知条件，找到等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可求解．【详解】设哥哥第一次分到粮食为x斤，弟弟第二次分到的粮食为y斤，依题意得：解得第一次弟弟分到：（斤）第二次哥哥分到：（斤）∴第一次，哥哥分到80斤，弟弟分到20斤，第二次，哥哥分到60斤，弟弟分到40斤故答案为：第一次，哥哥分到80斤，弟弟分到20斤，第二次，哥哥分到60斤，弟弟分到40斤．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找到题中等量关系列出方程组是解题的关键．25、（1）；（2）【分析】（1）先进行二次根式的乘除法运算，再将二次根式化简，同时求出立方根，最后合并化简；（2）根据二次根式的性质和乘