苏科版2024-2025学年八年级数学上册2.12将军饮马模型(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题2.12将军饮马模型（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．16【变式】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，DE上，连接，，，当的周长最小时，的度数为（

）

A． B． C． D．【变式】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时，度，的周长的最小值是．

【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（

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A． B．5 C．4 D．6【变式】（21-22八年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是．【考点4】两定两动型；【例4】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（）A． B． C． D．【变式】（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（

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A． B． C． D．【变式】（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时，．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2015·贵州遵义·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A．50° B．60° C．70° D．80°【例2】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，、在的同侧，点为线段中点，，，，若，则的最大值为（

）A．18 B．16 C．14 D．12【例2】（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，C是内部的一点，且，点D、E分别是上的动点，若周长的最小值等于3，则（

）A． B． C． D．专题2.12将军饮马模型（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．16【答案】C【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．解：连接，，∵是等腰三角形，点D是边的中点，∴，，∴，解得，∵是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点A，则，，∴的长为的最小值，∴周长的最小值为．故选：C．【变式】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为．【答案】5【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，是等边三角形，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，的最小值为5．故答案为：5．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，DE上，连接，，，当的周长最小时，的度数为（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长AB到点G使得，延长到点F使得，连接交、DE于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可．解：延长AB到点G使得，延长到点F使得，

∵，∴、DE垂直平分、，连接交、DE于点、，则，，∴，这时的周长最小，∵∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴，，∴，故选：B．【变式】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时，度，的周长的最小值是．

【答案】【分析】分别作出点关于，两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与，的交点即为所确定的点；连接，，，由轴对称的性质得：，，，证得是等边三角形，即可得到结论．解：①分别作点关于，的对称点，；连接，，分别交，于点、点，则此时的周长最小．连接，，，由轴对称的性质得：，，，，，是等边三角形，，，，∴，的周长，故答案为：，．【点拨】此题主要考查了轴对称最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（

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A． B．5 C．4 D．6【答案】A【分析】过点作于点，交于，此时，即的最小值，利用面积法可求出的值，即的最小值．解：过点作于点，交于，

，是的一条角平分线，点为底边的中点，，，点、关于对称，，，此时的最小值，，，，，，的最小值为．故选A．【点拨】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．【变式】（21-22八年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是．【答案】4【分析】作关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．解：作关于的对称点，是的角平分线，点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，的面积为12，长为6，，垂直平分，，，，的最小值是4，故答案为：4．【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线．【考点4】两定两动型；【例4】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题．解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，解:由轴对称的性质得，，，，，∴．故选：D．【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式】（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．【答案】50【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，∴，，∵，，∴，，∵，,∴，∴，故答案为：50．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（

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A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得，则，连接交于，在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，证明，根据全等三角形的性质得，过点作于，根据含角的直角三角形的性质求出，利用三角形的面积公式即可求解．解：过点作，使，连接，

∵，，，，，，在和中，，，，，连接交于，在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，∵，，在和中，，，，过点作于，，，的面积为．故选：C．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系、最短距离问题、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【变式】（2023·四川成都·一模）如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时，．【答案】【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到．解：在下方作，使，连接．则，．∴，即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2015·贵州遵义·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点A关于BC和CD的对称点分别为点G和点H，即可得出，，根据的内角和为，可得出；再根据四边形的内角和为可知，，即，建立方程组，可得到的度数，即可得出答案．解：作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，∵四边形的内角和为，∴，即①，由作图可知：，，∵的内角和为，∴②，方程①和②联立方程组，解得．故选：D．【点拨】本题考查轴对称变换、最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理、四边形的内角和及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E、F的位置是解题关键．【例2】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为．【答案】12【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS