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文档简介
专题1.1全等图形与全等三角形(知识梳理与考点分类讲解)第一部分【知识点归纳】【知识点一】全等图形的概念与性质(1)全等图形的概念:能够完全重合的图形叫做全等图形;(2)全等图形的性质:两个图形全等,它们的形状、大小相同.【要点提示】两个全等图形的周长和面积一定相等,但周长和面积相等的两个图形不一定全等。【知识点二】全等图形的概念(1)全等三角形:两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形;(2)全等三角形的对应元素:对应顶点,对应边,对应角;两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图,△ABC与△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点;AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.【知识点三】找对应边、对应角的方法(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;(3)有公共边的,公共边是对应边;(4)有公共角的,公共角是对应角;(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;(6)两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角),等等.【知识点四】全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.【要点提示】全等三角形对应边上的高相等,对应边上的中线相等,周长相等,面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【知识点五】全等变换
(1)全等变换:只改变图形的位置,而不改变其形状、大小的变化叫全等变换.(2)几种常见的全等几何变换类型第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】已知图形分割成几个全等图形与全等图形的识别【例1】(22-23八年级上·湖北荆州·阶段练习)沿着图中的虚线,用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形.
【变式1】下图所示的图形分割成两个全等的图形,正确的是()A. B. C. D.【变式2】(20-21七年级下·福建宁德·期末)在如图所示的网格图中,每个小正方形的边长都为1.沿着图中的虚线,可以将该图形分割成2个全等的图形.在所有的分割方案中,最长分割线的长度等于.【题型2】利用全等图形的性质求边或角【例2】如图所示,两个图形是全等图形,试根据所给的条件,求出两个图形中标出的a,b,c,∠α,∠β的值.【变式1】(22-23八年级上·江苏宿迁·期中)如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的,图形的各个顶点均为格点,则的度数为(
).A.30° B.45° C.55° D.60°【变式2】(23-24八年级上·福建福州·期中)如图,四边形与四边形是全等四边形,若,,,则.
【题型3】全等三角形及相关概念的认识【例3】(2023八年级上·全国·专题练习)如图所示,已知,指出它们的对应边和对应角.
【变式1】(23-24八年级上·广西南宁·期中)如图,,和,和是对应边,则的对应角是(
)A. B. C. D.【变式2】(22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习)如图,已知AB=AC,D为∠BAC的角平分线上的一点,连接BD,CD;如图2,已知AB=AC,D、E为∠BAC的角平分线上的两点,连接BD,CD,BE,CE;如图3,已知AB=AC,D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点,连接BD,CD,BE,CE,BF,CF;…,依次规律,第5个图形中有全等三角形的对数是.【题型4】利用全等三角形的性质求线段或角度【例4】(23-24八年级上·江苏宿迁·期末)如图,已知,点在上,与相交于点.
(1)当,时,线段的长为________;(2)已知,,求的度数.【变式1】(2024·山西吕梁·模拟预测)如图,用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形,,,则(
)A. B. C. D.【变式2】(23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图,,若,则BD的长为.【题型5】利用全等三角形的性质进行证明【例5】(23-24七年级下·全国·课后作业)如图,已知△,、、在同一直线上,试探究当时,与的位置关系,并证明.【变式1】(23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图,若,则下列结论中不一定成立的是(
)A. B.C. D.【变式2】(23-24七年级下·河北保定·期中)如图,已知,点是上一点,交于点.(1)与CF的位置关系是;(2)若,,则的长为.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】(2024·四川成都·中考真题)如图,,若,,则的度数为.【例2】(2023·四川成都·中考真题)如图,已知,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若,则的长为.
2、拓展延伸(动点问题、分类讨论思想)【例1】(23-24七年级下·河南郑州·期中)如图,在中,,,,为边上的高,直线上一点满足,点从点出发在直线上以的速度移动,设运动时间为秒,当秒时,能使与以点、、为顶点的三角形全等.【例2】(23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习)如图,在中,,,,点为的中点,点在线段上以秒的速度由点向点运动,同时,点在线段上由点向点运动.当点的运动速度为时,能够在某一时刻使与全等.专题1.1全等图形与全等三角形(知识梳理与考点分类讲解)第一部分【知识点归纳】【知识点一】全等图形的概念与性质(1)全等图形的概念:能够完全重合的图形叫做全等图形;(2)全等图形的性质:两个图形全等,它们的形状、大小相同.【要点提示】两个全等图形的周长和面积一定相等,但周长和面积相等的两个图形不一定全等。【知识点二】全等图形的概念(1)全等三角形:两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形;(2)全等三角形的对应元素:对应顶点,对应边,对应角;两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图,△ABC与△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点;AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.【知识点三】找对应边、对应角的方法(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;(3)有公共边的,公共边是对应边;(4)有公共角的,公共角是对应角;(5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;(6)两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角),等等.【知识点四】全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.【要点提示】全等三角形对应边上的高相等,对应边上的中线相等,周长相等,面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【知识点五】全等变换
(1)全等变换:只改变图形的位置,而不改变其形状、大小的变化叫全等变换.(2)几种常见的全等几何变换类型第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】已知图形分割成几个全等图形与全等图形的识别【例1】(22-23八年级上·湖北荆州·阶段练习)沿着图中的虚线,用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形.
【分析】根据全等图形的定义:对应边都相等,对应角都相等的图形进行构造即可.解:如图所示(任意两种方法,正确即可):
【点拨】本题考查全等图形的定义,熟练掌握相关概念是解题的关键.【变式1】下图所示的图形分割成两个全等的图形,正确的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案.解:图形分割成两个全等的图形,如图所示:故选B.【点拨】此题主要考查全等图形的识别,解题的关键是熟知全等的性质.【变式2】(20-21七年级下·福建宁德·期末)在如图所示的网格图中,每个小正方形的边长都为1.沿着图中的虚线,可以将该图形分割成2个全等的图形.在所有的分割方案中,最长分割线的长度等于.【答案】7【分析】沿着图中的虚线,可以将该图形分割成2个全等的图形,画出所有的分割方案,即可得到最长分割线的长度.解:分割方案如图所示:由图可得,最长分割线的长度等于7.故答案为:7.【点拨】本题主要考查全等形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质.【题型2】利用全等图形的性质求边或角【例2】如图所示,两个图形是全等图形,试根据所给的条件,求出两个图形中标出的a,b,c,∠α,∠β的值.【答案】a=3,b=5.4,c=7,∠α=105°,∠β=45°【分析】全等图形的对应边及对应角均相等,据此进行解答.解:根据全等多边形的对应角相等有∠α=105°.又由四边形的内角和,得第四个角为360°-(120°+90°+105°)=45°,所以∠β=45°.根据全等多边形的对应边相等有a=3,b=5.4,c=7.【点拨】本题考查了全等图形的性质.【变式1】(22-23八年级上·江苏宿迁·期中)如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的,图形的各个顶点均为格点,则的度数为(
).A.30° B.45° C.55° D.60°【答案】B【分析】根据网格特点,可得出,,,进而可求解.解:如图,则,,,∴,故选:B.【点拨】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质,会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键.【变式2】(23-24八年级上·福建福州·期中)如图,四边形与四边形是全等四边形,若,,,则.
【答案】/60度【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和,先根据全等图形的性质求得和,再由四边形的内角和求得即可;解:∵全等多边形的对应边和对应角相等,∴,,又∵四边形的内角和为,∴,故答案为:;【题型3】全等三角形及相关概念的认识【例3】(2023八年级上·全国·专题练习)如图所示,已知,指出它们的对应边和对应角.
【分析】根据全等三角形的概念,正确的确定对应边和对应角即可.解:∵,∴的对应边是,的对应边是,的对应边是,的对应角是,的对应角是,的对应角是.【点拨】本题考查全等三角形的概念.熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念,是解题的关键.【变式1】(23-24八年级上·广西南宁·期中)如图,,和,和是对应边,则的对应角是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】本题主要考查全等三角形的概念,根据已知条件,和,和是对应边,点与点对应点,点与点是对应点,由此即可得到的对应角,理解其概念是解题的关键.解:∵,∴∠的对应角是,故选:.【变式2】(22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习)如图,已知AB=AC,D为∠BAC的角平分线上的一点,连接BD,CD;如图2,已知AB=AC,D、E为∠BAC的角平分线上的两点,连接BD,CD,BE,CE;如图3,已知AB=AC,D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点,连接BD,CD,BE,CE,BF,CF;…,依次规律,第5个图形中有全等三角形的对数是.【答案】15【分析】根据图形得出当有1点D时,有1对全等三角形;当有2点D、E时,有3对全等三角形;当有3点D、E、F时,有6对全等三角形;根据以上结果得出当有n个点时,图中有个全等三角形,进而即可求解.解:当有1点D时,有1对全等三角形;当有2点D、E时,有3对全等三角形;当有3点D、E、F时,有6对全等三角形;当有4点时,有10个全等三角形;…当有n个点时,图中有个全等三角形.∴第5个图形中有全等三角形的对数是:.故答案为:15.【点拨】本题考查了全等三角形的概念,关键是根据已知图形得出规律,题目比较典型,但有一定的难度.【题型4】利用全等三角形的性质求线段或角度【例4】(23-24八年级上·江苏宿迁·期末)如图,已知,点在上,与相交于点.
(1)当,时,线段的长为________;(2)已知,,求的度数.【答案】(1)4(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质,三角形的内角和定理,解题的关键是熟练掌握全等三角的性质;(1)根据全等三角形的对应边相等,即可求解;(2)根据全等三角形的对应角相等,以及三角形的内角和为,即可求解.(1)解:,≌,,故答案为:4;(2)解:,,,.【变式1】(2024·山西吕梁·模拟预测)如图,用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形,,,则(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理,根据题意得出,然后进行等量代换求解即可,熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键解:∵,,∴,∴,故选:B【变式2】(23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习)如图,,若,则BD的长为.【答案】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质.根据全等三角形的性质得出,再求出答案即可.解:∵,,∴,∵,∴,故答案为:.【题型5】利用全等三角形的性质进行证明【例5】(23-24七年级下·全国·课后作业)如图,已知△,、、在同一直线上,试探究当时,与的位置关系,并证明.【答案】,证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质;根据全等三角形的性质可得根据平行线的性质可得,则,进而根据平角的定义,即可得出,即可得证.解:.证明如下:,.,,.,,.【变式1】(23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图,若,则下列结论中不一定成立的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质,根据全等三角形的性质逐项判断即可,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.解:、∵,∴,原选项成立,不符合题意;、∵,∴,原选项成立,不符合题意;、∵,∴,∴,∴,原选项成立,不符合题意;、∵,∴,原选项不一定成立,符合题意;故选:.【变式2】(23-24七年级下·河北保定·期中)如图,已知,点是上一点,交于点.(1)与CF的位置关系是;(2)若,,则的长为.【答案】【分析】本题考查了全等三角形的性质,平行线的判定,掌握全等三角形的性质是解题的关键.(1)由,得到,即可得出;(2)由,得到,即可求解.解:(1)∵,∴,∴,故答案为:;(2)∵,∴,∵,,∴,故答案为:.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】(2024·四川成都·中考真题)如图,,若,,则的度数为.【答案】/100度【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质,先利用全等三角形的性质,求出,再利用三角形内角和求出的度数即可.解
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