苏科版2024-2025学年七年级数学上册专练习2.8有理数的加法与减法(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题2.8有理数的加法与减法（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号．【知识点二】有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．特别强调：（1）任意两个数都可以进行减法运算；（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．特别强调：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．【知识点三】有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的加法运算【例1】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下列各式计算正确的是（）A． B．C． D．【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）若a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3，则的值为．【题型2】有理数的加法运算律【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：．【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（

）A． B．C． D．【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为．【题型3】有理数的减法运算【例3】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：；(2)；；(4)．【变式1】已知，，且，则的值为（

）A．和 B．或 C．或7 D．或【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：（1）．（2）．【题型4】有理数的加减混合运算【例4】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：；(2)．【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列算式的和为4的是（

）A． B．C． D．【变式2】若，且，则．【题型5】有理数加减中的简便运算【例5】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算(1)；(2)；(3)；(4)【变式1】（21-22七年级·全国·假期作业）嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（）A． B．C． D．【变式2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：．【题型6】有理数加减混合运算的应用【例6】（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）012回答下面问题：（1）这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克．（2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？（3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？【变式1】（23-24七年级上·山西阳泉·期中）下面是小王存折存取记录的一部分，根据其中提供的信息，截止2023年8月20日，此张存折的余额为（

）日期存入（）/支出（）余额20230630135002023071520230820A．19450元 B．8550元 C．7650元 D．7550元【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）对于任意有理数，，定义新运算：，则．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是．（写出一个符合题意的数即可）【例2】（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是(

) B． C． D．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题：（1）根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）：①_________；②_________；（2）当时，_________；当时，_________．（3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（

）A． B． C． D．（4）合理的方法计算：．【例2】（23-24七年级上·河南商丘·期末）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）．第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次0（1）除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米；（2）在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？（3）把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？专题2.8有理数的加法与减法（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．3.运算律：有理数加法运算律加法交换律文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变符号语言a+b＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言(a+b)+c＝a+(b+c)重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号．【知识点二】有理数的减法1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．特别强调：（1）任意两个数都可以进行减法运算；（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．特别强调：将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．【知识点三】有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】有理数的加法运算【例1】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了有理数的加法运算；（1）——（4）根据有理数的加法进行计算即可求解；（1）解：；（2）解：；（3）解：（4）解：【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下列各式计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键．解：A．，原计算错误，不符合题意；B．，原计算正确，符合题意；C．，原计算错误，不符合题意；D．，原计算错误，不符合题意；故选：B．【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）若a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3，则的值为．【答案】【分析】本题考查了有理数的运算，先确定字母的值，再运算即可．解因为a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3，所以，，，故答案为：．【题型2】有理数的加法运算律【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：．【答案】【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可．解：原式．【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键．解A.，符合交换律，不符合题意；

B.，符合交换律，不符合题意；C.，不符合结合律，符合题意；

D.，符合结合律，不符合题意；故选C．【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为．【答案】7【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算．解：计算时，先把减法转化为加法可得，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为．故答案为：①，②，③，④7，⑤．【点拨】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．【题型3】有理数的减法运算【例3】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：；(2)；；(4)．【答案】(1)(2)10(3)8(4)0【分析】根据有理数加减运算法则求解即可得到答案．解（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点拨】本题考查有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．【变式1】已知，，且，则的值为（

）A．和 B．或 C．或7 D．或【答案】D【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的减法．根据绝对值的性质求出x，y的值，再判断出x，y的对应情况，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可解答．解：∵，，∴，，∵，∴，∴，或，，当，时，，当，时，，∴的值为或．故选：D【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：（1）．（2）．【答案】【分析】根据有理数减法运算法则和绝对值的意义进行计算即可．解：（1）；故答案为：；（2）．故答案为：．【点拨】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数减法运算法则，准确计算．【题型4】有理数的加减混合运算【例4】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算：；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；（1）解：；（2）解：．【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列算式的和为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据有理数的加减混合运算可进行求解．解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键．【变式2】若，且，则．【答案】0或2/2或0【分析】此题考查的是有理数的混合运算，绝对值的性质，能够正确的判断出a、b、c的值是解答此题的关键．根据绝对值的性质和求出a、b、c的值，然后代入求解即可．解：∵，∴；∵，∴；当时，；当时，．故的值为0或2．故答案为：0或2．【题型5】有理数加减中的简便运算【例5】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算：（1）根据有理数的加法计算法则求解即可；（2）-（4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可；（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【变式1】（21-22七年级·全国·假期作业）嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可．解：嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是．故选：C．【点拨】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律与加法结合律是解本题的关键．【变式2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：．【答案】/【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握裂项相加是解题的关键．解：，故答案为：．【题型6】有理数加减混合运算的应用【例6】（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）012回答下面问题：（1）这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克．（2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？（3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？【答案】(1)千克(2)不足千克(3)元【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算．（1）根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解，然后作答即可；（3）根据，计算求解即可．（1）解：千克，答：第8筐白萝卜实际质量为千克．（2）解：千克，答：10筐白萝卜总计不足千克．（3）元，答：售出这筐白萝卜可得元．【变式1】（23-24七年级上·山西阳泉·期中）下面是小王存折存取记录的一部分，根据其中提供的信息，截止2023年8月20日，此张存折的余额为（

）日期存入（）/支出（）余额20230630135002023071520230820A．19450元 B．8550元 C．7650元 D．7550元【答案】D【分析】本题考查了正负数的意义，以及有理数的加减运算的应用，根据题意列式计算，即可求解．解：，（元）．答：此张存折的余额为7550元．故选：D．【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）对于任意有理数，，定义新运算：，则．【答案】【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解的运算方法，列出算式是解题的关键．根据的运算方法列出算式，再根据加减运算进行计算即可．解：根据定义新运算：，可得．故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是．（写出一个符合题意的数即可）【答案】0【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．解：由题意，填写如下：，满足题意；故答案为：0．【例2】（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据有理数的加减法则计算即可．解A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【点拨】本题主要考查有理数的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题：（1）根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）：①_________；②_________；（2）当时，_________；当时，_________．（3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（

）A． B． C． D．（4）合理的方法计算：．【答案】(1)①；②(2)；(3)C(4)【分析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0，然后根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简．（1）先比较有理数的大小，然后结合绝对值的性质即可化简；（2）根据绝对值的性质即可求解；（3）由数轴可知，，然后根据绝对值的性质即可求解；（4）根据绝对值的性质和有理数运算，化简绝对值并进行加减运算，即可获得答案．