浙江省衢州市开化县2023-2024学年八年级下学期能力测试数学试题

2023-2024学年浙江省衢州市开化县八年级（下）能力测试数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知的三边长分别为3、4、5，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，而另一个不是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条.A.4 B.5 C.6 D.72.把多项式分解因式的结果是（）A. B.C. D.3.关于x的整系数一元二次方程中，若是偶数，c是奇数，则（）A.方程没有整数根 B.方程有两个相等的整数根C.方程有两个不相等的整数根 D.不能判定方程整数根的情况4.若实数a，b满足，则a的取值范围是（）A. B. C.或 D.5.已知的三边长分别为a，b，c，且，则一定是（）A.等边三角形 B.腰长为a的等腰三角形C.腰长为b的等腰三角形 D.腰长为c的等腰三角形6.如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，是等边三角形.，，，则CD的长为（）A. B.4 C. D.4.5二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。7.已知点与点关于y轴对称，则点的坐标为______.8.如图，在梯形ABCD中，，已知的面积为4，的面积为9，则梯形ABCD的面积为______.9.的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围______.10.我们规定表示不超过x的最大整数，已知函数，若，则y的所有可能取值为______.11.如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点，的直线与曲线相交于点M、N，则的面积为______.12.如图，已知矩形ABCD，，，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则的最小值为______.三、计算题：本大题共1小题，共12分。13.如图①，底面积为的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示.请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）圆柱形容器的高为______cm，匀速注水的水流速度为______；（2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱的高和底面积.四、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.（本小题12分）（1）解方程.（2）已知表示不大于x的最大整数，解方程.15.（本小题14分）如图，中，，，.求证：.16.（本小题14分）给出如下n个平方数：，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为.（1）当时，试设计一种可行方案使得最小.（2）当时，试设计一种可行方案使得最小.

答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图所示：，，，∵，∴是直角三角形，.当，，，，，（舍去）都能得到符合题意的等腰三角形.故选：B.首先根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据等腰三角形的性质分别利用AC、BC为腰以及AB，AC、BC为底得出符合题意的图形即可.2.【答案】C【解析】解：，故选：C.先把多项式中的前三项分成一组，用完全平方公式分解因式，第四和第五项分成一组，提取公因式2，最后用十字相乘法分解因式即可.3.【答案】A【解析】解：∵是偶数，c是奇数，∴、b是偶数，c是奇数，或者a、b、c都是奇数；①a、b是偶数，c是奇数.当方程有奇数解时，方程，左边=奇×（偶×奇+偶）-奇=奇≠0=右边；当方程有偶数解时，方程，左边=偶×（偶×偶+偶）+奇=奇≠0=右边.∴方程没有整数解.②a、b、c都是奇数.当方程有奇数解时，方程，左边=奇×（奇×奇+奇）-奇=奇≠0=右边；当方程有偶数解时，方程，左边=偶×（奇×偶+奇）-奇=奇≠0=右边.∴方程没有整数解.综上所述，方程没有整数根；故选：A.假设出方程解的情况，当有奇数时与有偶数时，分别讨论即可求出.4.【答案】C【解析】解：把看作是关于b的一元二次方程，因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式，即，，，解得或.故选C.把看作是关于b的一元二次方程，由，得关于a的不等式，解不等式即可.5.【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，，，，，，或，或，∴一定是腰长为b的等腰三角形，故选：C.根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答.6.【答案】B【解析】解：如图，以CD为边作等边，连接.∵，∴在和中，，∴，∴.又∵，∴.在中，，，于是，∴.故选：B.首先以CD为边作等边，连接AE，利用全等三角形的判定得出，进而求出DE的长即可.7.【答案】【解析】解：由题意得：，解得，∴点的坐标为.故答案为：.根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得x、y的值，进而可得答案.8.【答案】25【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，∴梯形ABCD的面积=4+9+6+6=25.故答案为：25.先证明，则根据相似三角形的性质得，所以，然后根据三角形面积公式计算出，，最后计算出梯形ABCD的面积.9.【答案】【解析】解：由根与系数的关系可得：，，又有三角形的三边关系可得：，则，即，解得：；既然方程有两个实根，则，解得.故本题答案为：.根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围.10.【答案】0，1，4【解析】解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；∴的所有可能取值为0，1，4.故答案为：0，1，4.由题意的规定，分情况讨论，即可求解11.【答案】8【解析】解：∵，，∴，建立如图新的坐标系，OB为轴，OA为轴.在新的坐标系中，，，∴直线AB解析式为，由，解得或，∴，，∴，故答案为8.由题意，，可知，建立如图新的坐标系（OB为轴，OA为轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据计算即可.12.【答案】【解析】解：将绕点A逆时针旋转60°得到，由性质的性质可知：，和均为等边三角形，∴，∴，∴、、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当时最短，此时易求得，∴的最小值为.将绕点A逆时针旋转60°得到，则，和均为等边三角形，推出可得，共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值；13.【答案】（1）14；5（2）“几何体”下方圆柱的高为a，则，解得，所以“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得，解得，即“几何体”上方圆柱的底面积为.【解析】解：（1）根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42s-24s=18s，这段高度为14-11=3cm，设匀速注水的水流速度为，则，解得，即匀速注水的水流速度为；故答案为：14，5；（2）见答案【分析】（1）根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s-18s=6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s-24s=18s，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；（2）根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可.本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题.14.【答案】解：（1），②-①得，，即，∴，代入①得，，解得，把代入得，，∴原方程组的解为；（2）∵，∴.∵表示不大于x的最大整数，又表示数x的整数部分，∴，即，解得：，∴，∴.【解析】（1）根据解二元一次方程组的方法求解即可；（2）先将方程变形为，再根据的定义，建立不等式组求解即可.15.【答案】证明：如图，过C作于E，过D作于.∵，∴，且，∵，，∴，∴，，在和中，∴，∴，∴.∴，∴.【解析】可过C作于E，过D作于F，依据题意可得，由角平分线到角两边的距离相等可得，进而得，由对应边又可得，进而可得出结论.16.【答案】解：（1）∵，或，∴最小且最小值为0；（2）设第一个数为k，则，或，∴对于4个连续正整数的平方数的代数和的绝对值总为4，或对于8个连续正整数的平方数的代数和可以为0.∵2021÷8=252……5，为了尽量让最小，∵，故还剩2021-5=2016（个数），而对于4个连续正整数的平方数的代数和的绝对值总为4，故后面16个数：，它们的和可以为16，故前面21个数的和为1，又对