2.6.2函数的极值课件高二下学期数学北师大版选择性

第二章导数及其应用6.2函数的极值北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引

基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.基础落实·必备知识一遍过知识点1

极值的概念

极值是函数的一种局部性质1.如图(1),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的

,其函数值f(x0)为函数的

.

(1)极大值点极大值2.如图(2),在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值,称点x0为函数y=f(x)的

,其函数值f(x0)为函数的

.

3.函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.

极值点在区间的内部

(2)极小值点极小值名师点睛1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.2.极大值与极小值无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.思考辨析函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗?提示

可以,如函数f(x)=sin

x,g(x)=cos

x在R上有无数多个极大值和极小值.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数的极大值一定大于极小值.(

)(2)函数y=f(x)一定有极大值和极小值.(

)××2.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是(

)A.在(1,2)内函数f(x)单调递增B.在(3,4)内函数f(x)单调递减C.在(1,3)内函数f(x)有极大值D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点D解析

根据导函数图象知,x∈(1,2)时,f'(x)>0;x∈(2,4)时,f'(x)<0,x∈(4,5)时,f'(x)>0.∴f(x)在(1,2),(4,5)内单调递增,在(2,4)内单调递减,x=2是f(x)在[1,5]上的极大值点,x=4是极小值点.知识点2

求函数y=f(x)极值点、极值的方法1.求出导数f'(x).2.解方程f'(x)=0,得出方程的所有实数根.3.对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性),确定极值点和极值:从左到右,导函数f'(x)的符号变化.如果f'(x)的符号由正变负,此时x0是极大值点,f(x0)是极大值;如果由负变正,此时x0是极小值点,f(x0)是极小值,如果在f'(x)=0的根x=x0的左、右侧,f'(x)的符号不变,则f(x0)不是极值.名师点睛导数等于0的解不一定是极值点;反之,极值点一定是导数等于0的解,故须对f'(x)=0的解进行检验.思考辨析对于可导函数f(x),“f(x)在x=x0处的导数f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的什么条件?提示

必要不充分条件.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若函数y=f(x)在区间(a,x0)内单调递增,在区间(x0,b)内单调递减,则x0是函数y=f(x)的极大值点.(

)(2)对于函数y=f(x)=x3,因为f'(0)=0,所以x=0是它的极值点.(

)√×2.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于(

)

A.-4 B.-2 C.4 D.2D解析

∵f(x)=x3-12x,∴f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)的极小值点为2.3.[人教B版P93例1]已知f(x)=x3,求所有使得f'(x)=0的x,并判断所求得的数是否为函数的极值点.解

因为f'(x)=3x2,令f'(x)=0,可知3x2=0,由此可解得x=0.但0不是f(x)=x3的极值点,因为f(0)=0,而0左侧的点的函数值总是小于0,且0右侧的点的函数值总是大于0.这也可以从函数f(x)=x3的图象看出来.重难探究·能力素养速提升探究点一求函数的极值角度1.求不含参数的函数的极值【例1】

求函数f(x)=+ln

x的极值.当x变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘1↗∴当x=1时f(x)有极小值,即f(1)=1,无极大值.变式探究求函数f(x)=的极值.x(0,e)e(e,+∞)f'(x)+0-f(x)↗↘因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)=,没有极小值.规律方法

1.讨论函数的性质时,要树立定义域优先的原则.2.求可导函数f(x)的极值的步骤变式训练1求下列函数的极值点和极值.(1)f(x)=x3-x2-3x+3;(2)f(x)=x2e-x.解

(1)函数f(x)的定义域为R.f'(x)=x2-2x-3.令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗由上表可以看出,-1为函数f(x)的极大值点,极大值为f(-1)=,3为函数f(x)的极小值点,极小值为f(3)=-6.(2)函数f(x)的定义域为R.f'(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘由上表可以看出,0为函数f(x)的极小值点,极小值为f(0)=0.2为函数f(x)的极大值点,极大值为f(2)=4e-2.角度2.求含有参数的函数的极值【例2】

设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1.(1)求f(x)的单调区间;(2)讨论f(x)的极值.解

由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)],令f'(x)=0,解得x1=0,x2=a-1,(1)当a=1时,f'(x)=6x2≥0,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.当a>1时,f'(x)=6x[x-(a-1)],当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,a-1)a-1(a-1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗从上表可知,函数f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,a-1)内单调递减,在(a-1,+∞)内单调递增.综上,当a=1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a-1,+∞),单调递减区间为(0,a-1).(2)由(1)知,当a=1时,函数f(x)没有极值.当a>1时,函数在x=0处取得极大值1,在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.规律方法

讨论参数应从f'(x)=0的根所在的范围与大小关系入手进行.变式训练2已知函数f(x)=x-aln

x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解

函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2ln

x,f'(x)=1-(x>0),因而f(1)=1,f'(1)=-1.所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.又因为当x∈(0,a)时,f'(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln

a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln

a,无极大值.探究点二根据函数的极值求参数【例3】

[2024陕西咸阳期中]已知函数f(x)=x3-ax2+12x+b在x=3处取得极小值-2.(1)求实数a,b的值;(2)若函数y=f(x)-λ有三个零点,求实数λ的取值范围.解

(1)f'(x)=4x2-2ax+12,因为f(x)在x=3处取得极小值-2,所以f'(3)=36-6a+12=0,得a=8,此时f'(x)=4x2-16x+12=4(x-1)(x-3),所以f(x)在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增,所以f(x)在x=3时取得极小值,符合题意,所以a=8,f(x)=x3-8x2+12x+b.又f(3)=b=-2,所以b=-2.(2)由(1)知y=f(x)-λ=x3-8x2+12x-2-λ,所以y'=4(x-1)(x-3),列表如下:x(-∞,1)1(1,3)3(3,+∞)y'+0-0+y↗极大值

-λ↘极小值-2-λ↗规律方法

已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组,用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值为0的解不一定就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.变式训练3设x=1与x=2是函数f(x)=aln

x+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0.故x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.探究点三由函数图象分析函数的极值【例4】

已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增;②函数f(x)在x=-1处取得极大值;③函数f(x)在x=-处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值,其中正确的说法有

.(填所有正确的序号)

①②④

解析

从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,于是f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,①正确;当x∈(-∞,-1)时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,故函数f(x)在x=-1处取得极大值,②正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,③错误;当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,于是f'(x)<0,故f(x)在区间(0,1)内单调递减,而在区间(1,+∞)内单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,④正确.规律方法

由函数图象研究极值的方法利用导数研究函数极值问题是较为常见的一种题型,解答这类问题的关键是选准出发点.对于导函数的图象,我们重点考查其在哪个区间上为正、哪个区间上为负、在哪个点处与x轴相交(在该点处,导函数的值是怎样变化的,若是由正值变为负值,则在该点处取得极大值;若由负值变为正值,则在该点处取得极小值).变式训练4已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,给出以下结论:①函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)内单调递增;②函数f(x)在(-2,0)内单调递增,在(0,2)内单调递减;③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;④函数f(x)在x=0处取得极大值.其中真命题的序号是

.(填所有真命题的序号)

②④

解析

函数f(x)在(-2,-1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,故①错误;因为f'(x)在(-2,0)内大于0,所以函数f(x)在(-2,0)内单调递增,同理f(x)在(0,2)内单调递减,故②正确;③错误;当-2<x<0时,f'(x)>0,当0<x<2时,f'(x)<0,故函数f(x)在x=0处取得极大值,④正确.本节要点归纳1.知识清单:(1)求函数的极值.(2)根据函数的极值求参数.(3)由函数的图象分析函数的极值.2.方法归纳:待定系数法、数形结合法.3.常见误区:求极值时忽略f'(x)=0的根的左右两侧符号的判断.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练ABC12345678910111213141516172.[探究点二]若函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间为(

)A.(-1,1) B.(-∞,-1)C.(1,+∞) D.(-∞,-1)和(1,+∞)A12345678910111213141516173.[探究点二]函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10,则a,b的值为(

)A.a=3,b=-3或a=-4,b=11B.a=-4,b=2或a=-4,b=11C.a=-4,b=11D.以上都不对C12345678910111213141516174.[探究点一(角度1)](多选题)

已知函数f(x)=2ex-x的极值点为x0,则(

)A.x0∈(-2,-1) B.x0∈(0,2)C.f(x0)∈(-1,0) D.f(x0)∈AD1234567891011121314151617解析

对于A选项,由已知可得,f'(x)=2ex-,令f'(x)=0,则x0=-ln

4,当x<-ln

4时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-ln

4)内单调递减,当x>-ln

4时,f'(x)>0,所以f(x)在(-ln

4,+∞)内单调递增,所以,f(x)在x=-ln

4时,有极小值,且x0=-ln

4∈(-2,-1),故A选项正确;对于B选项,由A知x0=-ln

4∈(-2,-1),故B选项错误;故选AD.12345678910111213141516175.

[探究点二](多选题)已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,则a=(

)A.3 B.1 C.-3 D.-1AD解析

因为f(x)=x3-ax2-a2x+3,故f'(x)=3x2-2ax-a2,由函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,可得f'(-1)=3+2a-a2=0,解得a=3或a=-1,当a=3时,f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,3)时,f'(x)<0,则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意;当a=-1时,f'(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),此时当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈

时,f'(x)<0,则函数f(x)=x3-ax2-a2x+3在x=-1处取得极大值,符合题意,故a=3或a=-1,故选AD.123456789101112131415161712345678910111213141516176.[探究点一(角度1)]函数y=xex在其极值点处的切线方程为

.

12345678910111213141516177.[探究点一(角度1)]设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,则函数f(x)的极大值为

,极小值为

.

π+212345678910111213141516178.[探究点二]若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,则函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为

.

-5解析

∵函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=2处有极值,且f'(x)=(x2+c)+2x(x-2),∴f'(2)=0,∴(c+4)+(2-2)×4=0,∴c=-4,∴f'(x)=(x2-4)+2x(x-2).∴函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为f'(1)=(1-4)+(1-2)×2=-5.12345678910111213141516179.[探究点一(角度2)]已知函数f(x)=+x+1,求函数f(x)的极值.①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在R上为增函数,f(x)无极值.②当a>0时,令f'(x)=0,得ex=a,x=ln

a.当x∈(-∞,ln

a)时,f'(x)<0;当x∈(ln

a,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,ln

a)内单调递减,在(ln

a,+∞)内单调递增,f(x)在x=ln

a取得极小值,极小值为f(ln

a)=ln

a+2,无极大值.综上所述,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)有极小值ln

a+2,无极大值.1234567891011121314151617B级关键能力提升练10.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(

)A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)D解析

由函数的图象可知,f'(-2)=0,f'(2)=0,并且当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<1时,f'(x)<0;当1<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0,故函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).123456789101112131415161711.若函数f(x)=x2-4x+alnx有唯一的极值点,则实数a的取值范围为(

)A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪{2}C.(-∞,0] D.(-∞,0]∪{2}C若f(x)有唯一的极值点,则令g(x)=2x2-4x+a,g(x)图象的对称轴为x=1,∴g(0)≤0,解得a≤0.故选C.123456789101112131415161712.(多选题)已知函数f(x)=sinx-cosx,则下列说法正确的是(

)AD1234567891011121314151617123456789101112131415161713.(多选题)函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(

)A.f(-2)>f(-1)B.x=1是f(x)的极小值点C.函数f(x)在(-1,1)内有极大值D.x=-3是f(x)的极大值点AD解析

由y=f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增;当x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)单调递减,因此有f(-2)>f(-1),x=-3是f(x)的极大值点,所以选项A,D正确;当x∈(-1,1)或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增,因此函数f(x)在(-1,1)内没有极大值,且x=1不是f(x)的极小值点,所以选项B,C不正确,故选AD.1234567891011121314151617123456789101112131415161714.(多选题)如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是(

)A.f(x)在(-2,-1)内是单调递增函数B.f(x)在(2,4)内是单调递减函数C.当x=-1时,f(x)取得极小值D.当x=1时,f(x)取得极大值BC解析

从导函数图象可以看出函数f(x)在(-2,-1),(2,4)内为单调递减函数;f(x)在(-1,2),(4,5)内为单调递增函数,故A错误,B正确,f(x)在x=-1处取得极小值,f(x)在x=2处取得极大值,C正确,D错误.故选BC.123456789