3.7　二次函数与一元二次方程第2课时课件数学九年级上册

11117二次函数与一元二次方程第2课时基础主干落实重点典例研析素养当堂测评基础主干落实一元二次方程的图象解法二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的____________就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的________.

判一判:1.根据抛物线y=x2+3x-1与x轴的交点的坐标,可以求出方程x2-1=-3x的解.()2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是x<-1或x>3.()

横坐标

根

√×【小题快练】1.在求解方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,先在平面直角坐标系中画出函数y=ax2+bx+c的图象,观察图象与x轴的两个交点,这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解,分析图中的信息,方程的近似解是()A.x1=-3,x2=2 B.x1=-3,x2=3C.x1=-2,x2=2 D.x1=-2,x2=3D2.下表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值:根据表中数据判断,方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是()A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.06C3.(2024·湛江期末)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图,当y>0时,x的取值范围为()A.-1<x<3 B.x<1或x>3C.x<-1或x>3 D.x>2C重点典例研析重点1利用二次函数求一元二次方程的近似根(数形结合思想)【典例1】已知二次函数y=x2-2x-3.(1)请你把已知的二次函数化成y=(x-h)2+k的形式,并在平面直角坐标系中画出它的图象;【解析】(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,抛物线的顶点坐标为(1,-4),当x=0时,y=x2-2x-3=-3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3),当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),如图,【典例1】已知二次函数y=x2-2x-3.(2)如果A(a1,y1),B(a2,y2)是(1)中图象上的两点,且a1<a2<1,请直接写出y1,y2的大小关系为________;

【解析】(2)抛物线的对称轴为直线x=1,且函数在对称轴左侧为减函数,∵a1<a2<1,∴y1>y2.答案:y1>y2【典例1】已知二次函数y=x2-2x-3.(3)利用(1)中的图象表示出方程x2-2x-1=0的根,画在(1)的图象上即可,要求保留画图痕迹.【解析】(3)如图,x1,x2为方程x2-2x-1=0的两根.【举一反三】1.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,你能确定关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解吗?【解析】根据图象可知,二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点(3,0),对称轴为x=1,所以二次函数的图象与x轴另一交点的横坐标为x=1-(3-1)=-1,所以一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x1=3,x2=-1.2.已知二次函数y=x2-x-2.(1)求函数图象与x轴的交点坐标.【解析】(1)令x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,∴函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0)和(2,0).(2)利用函数图象直接写出不等式x2-x-2<0的解集.【解析】(2)∵该函数二次项系数大于0,∴其图象开口向上,∴不等式x2-x-2<0的解集为-1<x<2.【技法点拨】求一元二次方程近似根的四步法重点2二次函数与不等式(数形结合思想)【典例2】已知二次函数y=-x2+2x+3.(1)作出该函数的图象;【思维切入】(1)根据解析式列表→描点法画函数图象;【自主解答】(1)列表:描点,连线,如图:x…-10123…y=-x2+2x+3…03430…【典例2】已知二次函数y=-x2+2x+3.(2)结合图象,①直接写出函数图象与x轴的交点坐标;②直接写出不等式-x2+2x+3<0的解集.【思维切入】(2)①根据函数图象→与x轴的交点坐标;②根据函数图象与x轴的相对位置→不等式解集.【自主解答】(2)由函数图象知,①该二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0);②不等式-x2+2x+3<0的解集是:x<-1或x>3.【举一反三】(2024·广州期中)如图,利用函数y=x2-4x+3的图象,解决下列问题:(1)当y随x的增大而减小时,x的取值范围是_________;

(2)当-1<x<4时,y的取值范围是___________;

(3)当y≥3时,x的取值范围是______________.

x<2

-1≤y<8

x≤0或x≥4

【技法点拨】示例说明二次函数与方程及不等式的关系如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的公共点为A(m,0),B(n,0),那么(1)ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x1=m,x2=n.(2)ax2+bx+c>0(a≠0)的解为x<m或x>n.(3)ax2+bx+c<0(a≠0)的解为m<x<n.特别提醒:y1>y2说明函数y1的图象在函数y2的图象上方;y1<y2说明函数y1的图象在函数y2的图象下方.(10分钟·16分)1.(4分·几何直观)已知函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则不等式x2-bx-c>0的解集是()A.-4<x<1 B.-2<x<1C.-3<x<1 D.x<-3或x>1素养当堂测评D2.(4分·几何直观)如图,已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A(-5,-3),B(3,4),则关于x的方程ax2+bx+c=kx+m的解是()A.x1=-5,x2=-3B.x1=-3,x2=4C.x1=3,x2=4D.x1=-5,x2=3D3.(4分·抽象能力)一元二次方程2x2-x-2=0的近似根可以看成是下列哪两个函数图象交点的横坐标()A.y=2x2和y=x+2B.y=2x2和y=-x-2C.y=-2x2和y=x+2D.y=-2x2和y=-x+2A4.(4分·抽象能力)已知二次函数y=ax2+bx+c中,y与x的部分对应值如表:则一元二次方程ax2+