第二章导数及其应用章末总结提升课件高二下学期数学北师大版选择性

第二章导数及其应用章末总结提升北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引

知识网络·整合构建专题突破·素养提升易错易混·衔接高考知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一导数几何意义的应用1.导数的几何意义的应用,主要体现在与切线方程相关的问题,是高考的热点内容之一,呈现形式为选择、填空、解答,一般中等难度.2.导数几何意义考查的核心素养是数学运算和直观想象.D规律方法

利用导数求切线方程的关键是找到切点,若切点未知需设出.常见的类型有两种:一类是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,易求斜率进而写出直线方程;另一类是求“过某点的切线方程”,点(x0,y0)不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),由

=f'(x1)和y1=f(x1),求出x1,y1的值,再转化为第一种类型.变式训练1过点(0,-1)作曲线f()=ln

x(x>0)的切线,则切点坐标为

.

专题二函数的单调性、极值、最值问题1.函数的单调性、极值、最值是函数的重要性质,也是高考的热点,利用导数研究函数的单调性是研究此类问题的根本.2.掌握函数的单调性、极值、最值,重点提升数学运算和直观想象素养,运用数形结合、分类讨论等数学思想.角度1.利用导数求函数的单调区间【例2】

已知函数f(x)=e2x+(1-2m)·ex-mx(m∈R),讨论f(x)的单调性.解

f(x)的定义域为R,f'(x)=2e2x+(1-2m)ex-m=(2ex+1)(ex-m),∴当m≤0时,f'(x)>0,即f(x)在R上单调递增;当m>0时,令f'(x)=0,解得x=ln

m,∴在区间(-∞,ln

m)上,f'(x)<0,在区间(ln

m,+∞)上,f'(x)>0,∴f(x)在区间(-∞,ln

m)内单调递减,在区间(ln

m,+∞)内单调递增.综上所述,当m≤0时,f(x)在R上单调递增;当m>0时,f(x)在区间(-∞,ln

m)内单调递减,在区间(ln

m,+∞)内单调递增.规律方法

利用导数求函数的单调区间转化为解不等式问题,常见的有解二次不等式、指数不等式、对数不等式.当解含参不等式时需要进行分类讨论,注意要做到不重不漏.变式训练2已知函数f(x)=x2-ax+2ln

x.(1)若a=1,求f(x)在(1,0)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调区间.①当Δ≤0,即-4≤a≤4时,p(x)≥0,即f'(x)≥0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.②当Δ>0,即a<-4或a>4时,当a<-4时,p(0)=2,则p(x)>0,即f'(x)>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.由f'(x)>0,即p(x)>0,得0<x<x1或x>x2;由f'(x)<0,即p(x)<0,得x1<x<x2.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,x1),(x2,+∞),单调递减区间为(x1,x2).综上所述,当a≤4时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;角度2.构造法的应用【例3】

已知定义在(0,)内的函数f(x),f'(x)是它的导函数,且恒有sin

x·f'(x)>cosx·f(x)成立,则(

)D【例4】

已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2ex的解集为(

)A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞)C∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,即函数g(x)在定义域上为减函数.∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,则不等式等价于g(x)<g(0).∵函数g(x)为减函数,∴x>0,∴不等式f(x)<2ex的解集为(0,+∞),故选C.规律方法

导数问题中的构造方法主要用于解决比较函数值大小或求解不等式.解决比较函数值大小的题目关键是构造出恰当的函数,求出该函数的导数,利用单调性进而确定函数值的大小;对于求解不等式则需构造恰当的函数并判断其单调性,利用单调性求解不等式.变式训练3已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),当x≠0时,,则a,b,c的大小关系正确的是(

)A.a<c<b B.b<c<aC.a<b<c D.c<a<bB解析

令g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x)=xf(x),∴g(x)是偶函数.g'(x)=f(x)+xf'(x),专题三导数的综合应用【例5】

设函数f(x)=(x+a)ln

x-x+a,a∈R.(1)设g(x)=f'(x),求函数g(x)的极值;(2)若a≥,试讨论函数f(x)=(x+a)ln

x-x+a的零点个数.解

(1)∵f(x)=(x+a)ln

x-x+a,a∈R,∴g(x)=f'(x)=ln

x+,定义域为(0,+∞).①当a≤0时,g'(x)>0恒成立,g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,无极值.②当a>0时,令g'(x)=0,解得x=a,∴当x∈(0,a)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)的极小值g(a)=ln

a+1,无极大值.规律方法

利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时,注意运用构造函数和转化思想,确定零点个数时多用零点存在定理.变式训练5[2024山东潍坊期末]已知函数f(x)=a(ex+a)-2lnx(a>0),f(x)的导函数为f'(x).(1)当a=1时,解不等式f(x)>ex;(2)判断f'(x)的零点个数;(3)证明:f(x)≥4+a2+ln.令g(x)=axex-2(x>0),又a>0,则g'(x)=a(x+1)ex>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.所以f'(x)在区间(0,+∞)内有且只有一个零点x0.

专题四导数在实际问题中的应用1.利用导数解决实际问题,多考查实际问题中的最优解问题,主要体现在“多”“快”“好”“省”几个方面,根据题目的情境建立函数模型是关键.2.利用导数解决实际问题考查的核心素养是数学建模.【例6】

某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解

(1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的建造成本为160πr2,所以蓄水池的总建造成本为(200πrh+160πr2)元,令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在区间(0,5)内单调递增;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在区间(5,5)内单调递减.由此可知,V(r)在r=5处取得极大值也为最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.规律方法

1.应用导数解决实际问题的关键是认真分析题意,建立函数模型.由于是实际问题,要注意根据问题实际确定函数的定义域.2.根据所建立的函数模型,用导数求最大、最小值.变式训练6如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得点D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥的体积最大为

cm3.

易错易混·衔接高考12345671.[2024全国新高考卷Ⅱ,6]设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=(

)A.-1 B.

C.1 D.2D(方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos

x.又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故选D.123456712345672.[2024安徽宣城模拟]已知实数a,b分别满足ln(a+1)=0.01,eb=1.01,且则(

)A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.b<a<cC12345671234567B.f(x)有两个不同的零点C.f(4)<f(π)<f(3)D.π4<4πAC1234567解析

对于A,f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=,令f'(x)<0,得x>e,令f'(x)>0,得0<x<e.所以f(x)在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减,所以f(x)在x=e处取得极大值f(e)=,故A正确;对于B,令f(x)=0,解得x=1,又当x>1时,f(x)>0,所以函数f(x)有且仅有一个零点,故B错误;对于C,由f(x)在(e,+∞)内单调递减,得f(4)<f(π)<f(3),故C正确;对于D,因为f(4)<f(π),即所以ln

4π<ln

π4,则4π<π4,D错误.故选AC.12345674.(多选题)[2024河北邢台二模]若关于x的不等式ex-2+x≥2ax2-xlnx在(0,+∞)内恒成立,则实数a的值可以是(

)AB1234567令h(t)=et-t-1,h'(t)=et-1,故当t∈(-∞,0)时,h'(t)<0,h(t)单调递减,当t∈(0,+∞)时,h'(t)>0,h(t)单调递增,故h(t)≥h(0)=0,故ex-2-ln

x+1-x+ln

x≥0,则不等式成立;当a>时,令u(x)=x-2-ln

x,因为u(1)=-1<0,u(4)=2-2ln

2>0,故u(x)在(1,4)内必有零点,设为x0,故选AB.12345675.[2024广东惠州检测]设满足方程(2alna-b)2+(c2-mc+3+d)2=0的点(a,b),(c,d)的运动轨迹分别为曲线M,N,若在区间

上,曲线M,N有两个交点(其中e=2.71828…是自然对数的底数),则实数m的最大值为

.

1234567解析

∵(2aln

a-b)2+(c2-mc+3+d)2=0,∴2aln

a-b=0,c2-mc+3+d=0.123456712345676.[2024全国新高考卷Ⅰ,18]已知函数f(x)=+ax+b(x-1)3.(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;(3)若f(x)>-2,当且仅当1<x<2,求b的取值范围.12345671234567(2)证明∵f(2-x)=ln(2-x)-ln

x+a(2-x)+b(1-x)3,∴f(2-x)+f(x)=2a,∴函数f(x)的图象关于点(1,a)对称.故曲线y=f(x)是中心对称图形.(3)解

由(2)知,f(x)的图象关于点(1,a)对称.若f(x)>-2,当且仅当1<x<2,则f(1)=-2,∴a=-2.1234567123456712345677.[202