江苏高考数学复习指南

江苏高考数学复习指南

刘蒋巍编著

序

随着新课程标准的实施，新高考主要解决三个问题：一是，扩大学生和高校双向选择

权。二是，推进综合评价选拔。力求做到高考与学业水平考试、必考与选考相结合。三是,

弱化一考定终身现象，实现“考其所长，考其所好”。

新课程标准的修订，强调中国学生发展的核心素养。在数学学科方面，基于核心素养

的高考教学命题要求学生应具备数学的眼光（包括数学抽象、直观想象）、数学的思维思

考（包括：逻辑推理、数学运算）、数学的语言表达（包括数学建模、数据分析）。

江苏高考自2004年自主命题以来，命题工作经历了探索与发展之路，命题质量和水

平逐年提高。2018年是江苏省高考自主命题的第15年，为帮助考生复习备考，应邀在CNKI

大成讲坛开设了《高考数学复习系列讲座——热点、难点、易错点各个击破》，本书由该

系列讲座讲稿整理而成。

本书的编写依据最新的高考考试说明，力求每一章节、每一道试题的分析能够渗透数

学核心素养。本书的主要内容有：高考数学题型分析、重难点讲解、考点解析、真题讲析

以及应考方法。题型分析部分包括命题指导思想、具体题型按难易度分析。重难点讲解部

分包括高考数学的六大专题：函数与导数、向量与三角、数列与不等式、平面解析几何、

空间向量与立体几何、概率统计。考点解析部分包括高中数学教学进度、高考数学考点解

析。真题讲析部分，采取定性分析与定量分析相结合的方法，介绍了每道题的命题立意、

考察的知识内容、解题思路等，并给出了复习建议。应考方法部分包括草稿纸的使用、难

题破解的方法以及解题三部曲，其中渗透讲解了心理疏导的有关内容。

本书主要面向准备参加高考的学生、中学教师以及基础教育教学研究人员。希望广大

师生通过研读本书，进一步了解和熟悉学科命题思路，准确理解命题意图，把握高考试题

的考查目标和要求，加强对学科知识、学科关键能力的理解与运用，提高复习课效率，改

进教学工作，举一反三，触类旁通。

总之，高考数学是对学生知识、逻辑、心理、答题策略的综合考察。本书帮助学生细

化高考数学考点，辨析高考数学易错点，分析高考数学难点，把握高考数学热点，了解试

题来源，理解命题背景，调整考试心理，优化答题策略，以最佳竞技状态去面对高考。限

于精力与水平，不妥之处，敬请指正。

刘蒋巍

2018年4月于常州

目录

第一章江苏高考数学题型分析.................................................4

1.命题指导思想............................................................4

2.题型分析................................................................4

第二章江苏高考数学重难点讲解..............................................18

1.专题复习的相关内容.....................................................18

2.专题重难点讲解.........................................................18

2.1函数与导数...........................................................18

2.2向量与三角..........................................................22

2.3数列与不等式........................................................23

2.4平面解析几何........................................................25

2.5空间向量与立体几何..................................................25

2.6概率统计............................................................26

第三章江苏高考数学考点解析................................................28

1.高中数学教学进度.......................................................28

2.高考数学考点解析.......................................................28

第四章江苏高考数学真题讲析................................................36

1、培养学生代数式的变形与转化能力.........................................36

2、引导学生关注教材中的基本模型...........................................37

3、注重学生运算能力的培养，引导学生思考简捷的算法.........................39

4、掌握通性通法的同时，了解试题的高等数学背景.............................40

5、抓住基本概念，破解新定义题.............................................43

6、复习建议...............................................................45

第五章江苏高考数学应考方法................................................46

1、用好草稿，规范答题.....................................................46

L1草稿纸书写三步骤.....................................................46

1.2草稿纸上重新绘图.....................................................47

2、难题破解的方法——回归简单.............................................47

3、高考数学解题三步曲.....................................................48

第一章江苏高考数学题型分析

了解命题指导思想，分析高考数学题型，熟悉难度梯度，合理选择复习方法，对高三

复习大有裨益！

1.命题指导思想

2018年江苏高考数学命题指导思想：

（1）突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查；做到支撑学科知识体系的重

点内容在试卷中要占有较大的比例，但不刻意追求知识的覆盖面。

（2）重视数学基本能力和综合能力的考查；能够根据法则、公式进行正确运算、变形和

数据处理。

（3）注重数学的应用意识和创新意识的考查。能够发现问题、提出问题。

2.题型分析

高考是应试考试。应试考试是针对高考必考的知识点与方法进行有针对性和有效性的

训练，而不是反复地、大量地做练习，却不需栗考虑练习题的质量，作低水平的重复。因

此，了解高考数学题型的难易度显得尤为重要。

第一级难度

江苏高考数学填空题前6题，属于送分题，为第一级难度，仅作单一知识点的考查。

考查的知识点覆盖了集合基本运算（如2017年江苏卷第1题，为2010年江苏高考数学第

1题的改编）、复数运算（如2017年江苏卷第2题，考查复数的模。2015年考查复数的

模，2016年考察复数的实部，2017年还回归复数模的考察。）、统计知识（如2017年江苏

卷第3题，考查样本关系。该类问题，初中生也会解答，2012年江苏卷也考过类似问题一

—2012年江苏卷第2题。）、流程图（如2017年江苏卷第4题，考查流程图，考查的比较

纯粹。Yes或No,选一个解析式带入即可。比往年考循环语句较容易。）、函数基本性质

或公式（如2017年江苏卷第5题为单一公式的考查，考查内容：两角差的正切公式，直接

套用公式即可得解）、立体几何中的体积计算（如2017年江苏卷第6题，考查圆柱体积公

式、球的体积公式）等知识点。当然前6题还可能考查统计知识（直方图）、简单概率计

算。2017年没有考直方图，概率放到了第7题，与函数的定义域、一元二次不等式综合考

查，属于第二级难度。

案例分析：

(2017.1).已知集合A={1,2},8=伍,/+3},若AcB={l},则实数a的值为

解析：Ac8={l},而显然"+3N3,所以只能a=l

题源分析：研究者可以从教材找到本题的影子。但我认为，本题也可能是2010年江苏高

考数学第1题的改编，因为它们有相同的考法。

【2010年江苏高考第1题】设集合A={—1,1,3},8={a+2,/+4},Ac8={3},则实数

a=_____

解法类似，显然/+424,只能a+2=3,所以a=l

至此，读者可能发现连答案都是一样的。所以，改编关系不言而喻。

(2016.1)已知集合4={-1,2,3,6},B={x]-2<x<3},则ACB=.

解析：由交集的定义可得ACB={_1,2}.

【题源分析】(苏教版教材必修1第14页思考运用第11题)设。=/?,A={x|l<x<3},

8={x|2<x<4},分别求AcB,ADB,AUCUB

【改编设计】(改编1)已知集合4={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则;

Q(AnB)=;Cfi(AnB)=;

(改编2)已知集合4={-1,2,3,6},B={x\-2<ex<3},则ACB=

其中，集合8中的/可以换成其他符合条件的函数，只要你喜欢都可以。

(改编3)已知集合4={-1,2,3,6},B={X|X2-X-6<0},则ACB=

(2017.2)已知复数2=(1+i)(l+2i),其中i是虚数单位，则z的模是

解析：积的模，等于模的积。所以，z=g^=如

题源分析：本题可以说是课本选修2-2第108页练习题第2题的改编；也可以说是2016

年第2题的改编。【2016年江苏高考第2题】复数z=(l+2i)(3-i),其中i为虚数单位，则

z的实部是

注：不可能连续几年考虚数的实部；2015考的模，2016考实部，2017还回归模。

(2016.2).复数z=(l+2D(3-i),其中i为虚数单位，则z的实部是.

5

解析：Z的实部为l+2i与3-i实部之积与虚部之积的和，为lx3+(2i)x(-i),为5,则z的实

部是5.

【题源分析】

(苏教版教材选修系列数学2-2P128复习题感受理解1(3))(-3+/)(2-4/)

【改编设计】

(改编1)复数z=(l+2i)(3-i),其中i为虚数单位，则z的虚部是.

(改编2)复数z=(l+2i)(3-i),其中i为虚数单位，则z的模是.

(改编3)复数z=(l+2i)(3-i),其中i为虚数单位，则的值为.

(2017.3).某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件,

为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应

从丙种型号的产品中抽取件

解析：分层抽样，18件。该类问题，初中生也会解答，这里不作过多解释。2012年江苏

卷也考过类似问题——2012年江苏卷第2题。

(2016.4).已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.

解析：7=5.1,52=-(0.42+0.32+02+0.32+0.42)=0.1.

【题源分析】苏教版教材必修3P70例4

【改编设计】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的标准差是.

(2017.4).右图是一个算法流程图，若输入x的值为工，则输出的y的值是

16

解析：y=2+\og^-)=2-4=-2

16

该题放在第4题考查的比较纯粹，Yes或No,选

一个解析式带入即可。比往年考循环语句较易。

6

(2016.6).如图是一个算法的流程图，则输出°的值是.

(开始)

«<—1

_A_

b—9

<b-b—2

\N*

a>b—a<—〃+4

输出a

丁

结束

解析：流程图显示，a以4为步长递增，匕以2为步长递减，9,7,5,...o当a>b时,

输出a=9

【题源分析】2013年江苏高考第5题改编。

【改编设计】将“8―9”改为“人―2017”，则输出a的值是

改编1解题思路：。=4〃+1;/?=-2/1+2017;a>h,即4〃+1>—2/+2017;解得：n>336,

故〃=337,此时a=1349,b=1343;故，输出a的值是1349

jrI

(2017.5)用tan(a—J)=±〃tana=

46

解析：两角差的正切公式，tan(a_M)」anaT=L解得：tana=二

41+tana65

也可以将a看成a-生与巳的和，进行计算，运算均不复杂。

44

题源分析：苏教版必修4第115页练习1.(1)有类似问题：

、71

已知tana=3,求tan(a---);

4

编题思路：将条件与结论互换，再把数据改一下。这种命题方法，称为：改题。

(2017.6)如图，在圆柱0/02内有一个球O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切。记圆

柱0/。2的体积为力，球O的体积为丫2,则乜的值是

解析：考查体积公式，圆柱体积公式乃"2x〃，

球体积公式&万这里〃=2r,所以乜值为3

3匕2

7

第二级难度

第7至第9题以及解答题的第15题、第16题属于基本题，其中的立体几何题(第15

题，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系)也是容易题，是期望所有的考

生可以准确解答的问题。如2017年江苏卷第7题为“二次根式有意义的条件、一元二次

不等式、几何概型”的综合，如2017年江苏卷第8题为“双曲线的准线和渐进线方程”

的综合，如2017年江苏卷第9题为“等比数列”，如2017年江苏卷第16题为“向量平

行，向量的数量积；两角和的余弦公式”的综合。

(2017.7.)记函数/(x)=j6+x-x2的定义域为D.在区间［-4,5］上随机取一个数x,则xeD

的概率是

解析：该题是用“移花接木、组合嫁接”的方法命制的一道题。考查二次根式有意义的条

件、一元二次不等式、几何概型；xeD的概率为°

9

题源分析：【2016年江苏高考第5题】函数y=j3-2x-f的定义域是

第7题为2016年江苏高考第5题与另一道教材习题的组合嫁接。

(2016.5).函数y=j3-2x-f的定义域是.

解析：3-2X-X2^O,解得-因此定义域为［-3』］.

【题源分析】(苏教版教材必修5P80习题3.2感受理解第4题第(2)题)求下列函数的

定义域：(2)y=J12+X-/

【改编设计】

(改编1)函数y=y］3-2x-x2的值域是.

(改编2)函数y=03-2x+o?的值域为［0,2］,则。的值为

改编2解题思路：(1)若a=0,则yf_2x值域为［0,+8),不符合题意；

(2)若。>0,而此二次函数"=3-2x+ax2开口方向向上，不存在最大值，不符合题意

(3)若a<0,此二次函数〃=3-2%+以2开口方向向下，值域为02］,则此二次函数最大

值3-工等于4,故。=-1

a

(2016.7).将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具)先

后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.

解析：将先后两次点数记为(x,y),则共有6x6=36个等可能基本事件，其中点数之和大于

等于10有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5卜(6,6)六种,则点数之和小于10共有30种,概率为

8

30_5

36~6,

【题源分析】（苏教版教材必修3P120复习题感受理解第8题）连续抛掷1颗骰子2次,

分别求掷出的点数和为2,3,12的概率.

2

（2017.8）.在平面直角坐标系My中，双曲线、r一丁=1的右准线与它的两条渐近线分别交

于点P,Q,其焦点是Fi,F2,则四边形FiPF2Q的面积是

2Q2।

解析：右准线％=2=义，渐近线土一丁=0,即：y=+_LX

cV103V3

题目中描述的四边形FiPF2Q为类似菱形的图形，

故它的面积为工x2J15x（2xxJ=r）=2-V3

2V10V3

22

（2016.3）.在平面直角坐标系xOy中，双曲线/-q=1的焦距是

解析：c=+护=>/10,因此焦距为2c=2JiO.

【题源分析】（苏教版教材选修2-1P46练习1）双曲线］=1的实轴长为;虚轴长为

;焦点坐标是;顶点坐标是;离心率是;渐进线方程为.

【改编设计】

•>2

（改编1）在平面直角坐标系X0X中，双曲线三一21=1的实轴长为;虚轴长为;

■73

焦点坐标是;顶点坐标是;离心率是;渐进线方程为;准线方程为

（改编2）在平面直角坐标系xO），中，椭圆］+千=1的焦距是;长轴长为;短轴

长为;焦点坐标是;长轴端点坐标为;短轴端点坐标为；离心率是;

准线方程为.

（改编3）在平面直角坐标系xOy中，抛物线土-f=l的焦点坐标是；顶点坐标是

73

离心率是；准线方程为.

9

22•

（2016.10）.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆「+春■=l（a>b>0）的右焦点，直线y=g

与椭圆交于8,C两点，且NW7c=90。，则该椭圆的离心率是.

/鱼

力

解析：由题意得尸（c,0）,直线y=g与椭圆方程联立可得华］H-

由NBFC=90°可得8广CF=O,BF=|c+—CF=\c--.--\,

I22JI22J

则d—3〃+_!_廿=0由从=/-c2可得3c2=_L/则e=£=、E=@.

4442aV33

【题源分析】（苏教版教材选修2-1P37习题2.2（2）思考运用第10题第（1）问）已知

椭圆与+方=1（。>方>°）的两个焦点分别为6，E，短袖的一个端点为P.（1）若/片尸乙为

直角，求椭圆的离心率：

【改编设计】

22

（改编1）在平面直角坐标系xOy中，F是双曲线「一斗=1（。>人>0）的右焦点，直线y=2Z?

a~b~

与双曲线交于8,C两点，_ELZBFC=90°,则该双曲线的离心率是.e=-y-

（改编2）在平面直角坐标系xQy中，F是椭圆J+/=l（a>6>0）的右焦点，直线y=g与

椭圆交于民C两点，且NB尸。为钝角，则该椭圆的离心率取值范围为_・（0,竽）

22

（改编3）在平面直角坐标系xQy中，尸是双曲线斗-与=l（a>b>0）的右焦点，直线y=2/>

a~b~

与双曲线交于3,C两点，且N8产。为钝角，则该双曲线的离心率取值范围为（1,1）

（2017.9）等比数列｛%｝的各项均为实数，其前n项的和为S“，已知邑=?,56=—,则%=

10

33

解析：S6=S3(1+^);即：—=-(1+7)；9=1+夕3,4=2;又q(l+q+/)=N；

444

71?7

所以7。［=),q=a；6=4=2、=32

(2016.8).已知｛〃〃｝是等差数列，S”是其前〃项和.若4+〃；=-3,S5=10,则为的值是.

解析：设公差为d,则由题意可得q+(%+d)2=-3,54+104=10,解得q=T,d=3,则

%=—4+8x3=20.

【题源分析】原创

【改编设计】已知数列｛%｝,S,,是其前”项和.若q+W=-3,S5=10,求证：｛叫不能构

成等比数列。

第三级难度

第三级难度题是第10和11题，解答题的第17题；如2017年江苏卷第10题为“基本

不等式的应用”；如2017年江苏卷第11题为“导数、函数的单调性与奇偶性、一元二次

不等式的解法”的综合；如2017年江苏卷第17题为“直线方程、直线与直线的位置关系、

椭圆方程、椭圆的几何性质”的综合；

(2017.10).某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存

储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x的值是

解析：总运费与总存储之和0)=旦？x6+4x>—X6x4x,

当且仅当竺9X6=4X,即：x=30

x

(2017.11).已知函数/(x)=x3-2x+e*-L,其中e是自然数对数的底数，若

ex

f(a-1)+/(2«2)<0,则实数。的取值范围是o

解析：易得/(x)为奇函数，且为增函数。(因为广(%)=/-2+/+二20,当且仅当x=0

取等号)

利用奇偶性、单调性去掉“/"，转化为一元二次不等式求解。

/(a-1)<-f(2a2)=/(-2«2),即〃一14一2a2,解得：-iMawg,即

11

(2017.17).(本小题满分14分)

22

如图，在平面直角坐标系X。)，中，椭圆E:=+2=l(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,

ab~

F2,离心率为,，两准线之间的距离为8。点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点Fi作

2

直线PFi的垂线力过点F2作直线PF2的垂线在

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线4，/2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

解析：

22

(1)由基本量法，可得：土+匕=1

43

(2)点P的坐标为(随,土互)

77

思考：将第(2)问改为：若直线/i,/2的交点Q,点P为在椭圆E上一动点，求点Q的

轨迹方程。

题源分析：2014全国高中数学联赛山西省预赛第11题。

第四级难度

第四级难度题是第12,13题，第18题；第12题为“向量、两角和的正余弦公式、正

余弦定理”的综合；第13题为“向量的数量积，圆的方程，线形规划”；第18题为“正

棱柱、正棱台的概念，正弦定理、余弦定理”的应用题。

(2017.12)如图，在同一个平面内，向量/，而，万，的模分别为1,1,V2,而与灰的夹

角为a,且tan=7,5与%的夹角为45°0若■OC=m0A弋nOB(m,neR),则m+n=

解析：将“如平移，与加小、0c构成一个三角形。

用正弦定理，求解即可。

tana=7,

V505V25V2

V2_m_n

sin(45"+a)sin45〃sina

12

V^{sin45°+sina)A/2-(sin45°+sina)

则m十n==3

sin(45°+a)sin45°cosa+cos450sina1.71、

/雅运)

（2016.13）.如图，在△ABC中，£）是BC的中点，E,尸是4）上两个三等分点，BACA=4,

BFCF=-\,则8必CE的值是

7

解析：-

8

【试题命制】（1稿）如图，在A4BC中，。是8c的中点，E,尸是4）上两个三等分点,

AD1BC,BACA=4,BFCF=-\,则屁.段的值是.

（2稿）删除“ADLBC”

(2017.13).在平面直角坐标系xO)，中，A(-12,0),B(0,6)，点P在。O:%2+/=50±,

若丑4.图＜20,则点P的横坐标的取值范围是:

解析：设P(x,y),病=50

则R4.P8=(-i2-x,-y)-(-x,6-y)=x2+y2+12x-6y^l2x-6y+50＜20

2x—y+5-0,

即：2x—y+5K0,联立＜,,消y,整理得：f+4x-5=0,解得：x,=l,x,=-5;

x+y~=50

结合同=5后得：一5五WxWl,即：[一5五,1]

（2017.18）.（本小题满分16分）

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器H的高均为32cm,容器I

的底面对角线AC的长为1077cm,容器II的两底面对角线EG,E/G/的长分别为14cm和

62cm.分别在容器I和容器H中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒/，其长度为40cm.

（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

13

(1)将/放在容器I中，/的一端置于点A处，另一端置于侧棱CG上，求/没入水中部

分的长度；

(2)将/放在容器H中，/的一端置于点£处，另一端置于侧棱GGi上，求/没入水中部

分的长度.

容SHI

图6

分析：(1)玻璃棒与CG的交点记为M,与水面的交点记为N,过N作CG平行线，构造

相似，由初中平面几何知识，得：/没入水中部分的长度为16c、加

(2)构造三角形，辅助线如右图，

运用正弦定理与两角和的正弦公式

或者余弦定理均可得：

/没入水中部分的长度为20cm。

点评：本题来源于生活，背景对学生来说非常熟悉、公平，也符合新课程标准中倡导的“发

展学生的数学应用意识”的理念，使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常

生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。

复习建议：(1)强化审题能力。数学应用题一般文字叙述较多，应该抓住题目中的关键

字、词、句，弄清题目中的已知事项，将题目中的条件、一些量之间的关系标注在图形中，

了解题中叙述的是什么事情，要求的结果是什么。

(2)注重模型的选择。解数学应用题就是一个建模、解模的过程，建模的过程就是将文

字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言的过程。一道题目可能有较多的建模思路，

应选择自己最熟悉或运算过程少、技巧性不太强的数学模型。

(3)注重表达的严谨。要注意实际问题的限制条件，注意解的严谨性和完备性。

(4)注意总结应用题中一些常见的数学模型和解题方法。

14

第五级难度

第五级难度题是第14题，第19和20题，这里是从题目的整体性来说的。第14题为

“周期函数、分段函数”的综合。需要特别指出的是：第18题的前一半的问题(考察正

棱柱的概念、三角函数或相似三角形)、第19题与第20题中第一问的难度(第19题第

(1)问考察等差数列的定义、通项公式；第20题第(1)问考察利用导数研究初等函数

的单调性、极值点及零点问题)仅是第三级难度，一般仅需认真读题，将题干中的基本数

据代入便可得到解答。

xEiD

(2017.14).设/(幻是定义在R上且周期为1的函数，在区间［0,1)上，/1)='其

任D

中集合D={x|x=H.,〃eN+1,则方程/(x)—lg(x)=0的解的个数是

123456789

解析:由题意。={0,

2,3,4,5,6,7,8,9，10

因为/(x)是定义在R上且周期为1的函数，

所以，当攵eZ时，左也是函数f(x)的周期。若用人表示区间伙,Z+1),则表示区间OD；

因为xe4时，X-Ze/(),所以/(x)=/(x-女)=<"k)‘xkeD

x-k,x-k^D

因为当XE/。时，即工£[0,1)时，1gx<0,而/(x)N0,方程/(x)-lg(x)=0无解；

当x"时，即：X€[l,2)时，/(尤)='一1)'le，

x—1,x-1任D

又因为/⑴=0,1g1=0,所以x=l是方程/(x)—lg(x)=O的一个根。

(V—9)2x—9£D

当xe/g时，即：xe[9,10)时，f(x)=<',且/(x)<l

x—9,x—9eD

又因为/(10)=0,lgl0=l>0,所以反映在4区间上为“1。一9,10-9定。“但％=10取不

到，所以A舍去。

又因为Igx为定义域内连续的增函数，

所以在，2、八、4、15、，6、乙、A上方程/(幻―lg(X)=O均有且仅有一根。

综上，方程/(X)-lg(x)=O的解的个数是8个.

x+a,-1<x<0,

(2016.11).设〃x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1)上I

——x,0n«x<1,

,图,则”5。)的值是.

其中a£R,若/

解析：由题意得/•(一|)=f(一£)=_；+〃,

15

由d-升佃可得-”卡则吗

32

则/(5a)=/(3)=/(-l)=-l+a=-l+1=--.

【题源分析】原创。

(2017.19)对于给定的正整数Z,若数列满足

+...+a“_i+a”+i+…++&+*=23对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列

｛%｝是“P(k)数列”.

(1)证明：等差数列｛«„)是“P(3)数列“；

(2)若数列｛。“｝既是“P(2)数列“，又是“P(3)数列“，证明：｛《,｝是等差数列.

解析：(1)因为｛%｝是等差数列，

所以，时，％_3+4+3=2。"(*),4.2+/+2=2。〃(**),a,i+/+i=2a,(***);

(*)、(**)、(***)三式相加，得：an_3+an_2+an_x+an+i+an+2+an+3=6a„

故，等差数列｛/｝是“P(3)数列”

(2)当“24时，因为数列｛%｝是“P(3)数列“，

所以满足：an_3+a,,_2++«„+|+an+2+an+3=6a“①

又因为数列｛凡｝是“P⑵数列"，所以，a„_2+an_,+an+]+an+2=4an(****)

还可写成：a“一3+an_2+a„+an+]=4an^②；an_i+an+a„+2+an+3=4a„+1③

由②+③-①式，得：2an=4(«„,)+an+l)-6an,即：an_1+all+i=2an(n>4)

故，｛a,J从第三项起为等差数列。

又因为数列｛a“｝是“P(2)数列“，(****)式中，令〃=4,得：/+%+%+4=44

另斤以，g=%=4%—(%+%+4)=4(生+d)—(%+%+2d+%+3d)=%—d

(****)式中，令〃=3,得：4+。2+。4+。5=4%，

故，4=4%一(％+%+%)=4(%+〃)-Q+4+2d+4+3d)-a2-d

综上，｛a,J是等差数列.

题源分析：本题解法与2011年江苏高考数学第20题第(2)问方法一致。可见，“一事

习得三遍熟”，熟悉往年试题很重栗。

(2017.20)已知函/(x)=*3+a/+笈+l(a〉0,beR)有极值，且导函数((x)的极值点是/(%)

的零点。(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求匕关于4的函数关系式，并写出定义域；

(2)证明：〃>3a;

16

7

(3)若/(x),/'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-(，求a的取值范围。

分析:(1)b=+—,aG(3,+oo)

9a

(2)即亍正：—«4+-^--a>0o—a6--a3+9>0,令/=f(f>27),I正明略

81a23813

(3){a\3<a<6}

复习建议：(1)在导数问题中，作出函数的草图，数形结合，往往解题效果事半功倍。

(2)注意对函数性态的研究。应该对函数中的单调性问题、最值问题、恒成立问题、存

在性问题、零点问题等做系统分析和研究，掌握研究这类问题的常用技巧和思维方法。

(3)注重强化解决函数问题的相关数学思想方法的训练。在解答题中，对函数性质的考

察要求有所提高，尤其涉及数形结合、函数与方程思想、分类讨论、转化与化归思想、特

殊与一般等数学的观点，思维层次要求较高。因此在复习中例题的选择及训练题的配备一

定要放在学科整体高度上把握函数及其他模块知识的横向关系。

17

第二章江苏高考数学重难点讲解

把提高考数学重点，突破高考数学难点，揭示试题命制背景，点拨难题破解方法，对

高三数学复习大有裨益！

1.专题复习的相关内容

高考数学专题复习应覆盖6道解答题的相关内容：①函数与导数(包括二次函数与抽

象代数证明，导数的应用)；②向量与三角(数、角、形，恒等变换)；③数列与不等式

(归纳、猜想、探索、论证)；④平面解析几何(包括曲线位置与参数讨论、平面向量)；

⑤空间向量与立体几何(包括四直角三角形四面体，应突出空间向量)；⑥概率统计。

2.专题重难点讲解

2.1函数与导数

(根的存在性定理)：如果函数/(x)在闭区间［a,加上连续，且/(a>/(b)<0,那么在开

区间(a,b)内至少有一点百,使f(&)=0

问题1:设函数/(x)=x-ln(x+M,其中常数m为整数.

(1)当m为何值时，/(x)>0

(2)当m>l时，方程/(x)=0在九e2"-川内有两个实数根.

分析：解答本题第(2)问的实质是应用根的存在性定理。

(凸函数的性质)：设函数/(X)在闭区间［a,。］上连续，在(a,力内具有一阶和二阶导数，

如果/"(x)>0,那么/(x)在［a,切上的图像是严格下凸的；反之，如果/(x)<0,那么/(x)

在［a,b\上的图像是严格上凸的。

问题2:已知函数/(》)=36皿

1-X

(1)设a>0,讨论y=/(x)的单调性；

(2)若对任意xe(0,1),恒有/(x)>l,求a的取值范围.

分析：本题主要考察利用导数的方法判断函数的单调性、左端点求右极限的知识。在此基

18

础上结合严格上凸函数图像的特性，根据求使不等式成立的条件，进而求出a的取值范围。

崖(>„)

(两个不等式)：cm

m—n2

其对数形式：V^<h~a<—(b>a>0),

]nb-]na2

~祜，人▼1In/?-In。2/,八、

又等价于：—r=>-------->-----(Z?>>0)

yjabb-aa+b

,1?11

弓I申：当ZEN*时，----<---------<ln(Z+1)—InAv)v一,

k+lk+(k+1)Jk(k+1)k

则£—!—<f[in(攵+1)—lnZ]<t，，即：<ln(«+l)<^-,不难发现调和级数

是发散的。

问题3:已知函数/(x)=e"-。光，其次。>0,在函数/(x)的图像上取两定点AgJ。1))，

5(X2,/(X2))(X,<x2),记直线AB的斜率为攵，证明：存在工。金区,、),使/。)=%恒

成立.

分析：k=-———-=---------a,令(p(x)=k—f(x)=--------e”,由不守

孙一曲X7-Xi孙一必

xx

m+n产_〃产+j*»,、,e2ei乂

式：e2<----<-----(机>〃)，可知：e2—e<(p(x)<---+-----e,

因为内<X2，所以，<P(X2)<0,<p(xj>0,考虑到函数的连续性，由零点存在定理，命题

得证！

问题4：设函数/(%)=e]-o