2.3.2两点间的距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离课件高二上学期数学人教A版选择性

第二章直线和圆的方程人教A版

数学

选择性必修第一册课程标准1.掌握平面上两点间的距离公式.2.掌握点到直线的距离公式.3.会求两条平行直线间的距离.4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.基础落实·必备知识全过关知识点1两点间的距离公式当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|,当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|1.已知平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么这两点间的距离为

过关自诊1.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为2.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,则实数a的值为(

)A.-2 B.-1 C.1

D.2A知识点2点到直线的距离1.点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的

的长度,其中Q是垂足.

2.公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d=

.

名师点睛1.运用公式前首先应把直线方程化为一般式.2.注意公式特征,分子绝对值符号里面是把坐标(x0,y0)代入直线方程的左边得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.垂线段PQ过关自诊1.点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?2.已知点P(-1,2)到直线l:4x-3y+m=0的距离为1,则m的值为(

)A.-5或-15 B.-5或15C.5或-15 D.5或15

提示

到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的距离d=|x0-b|.D3.[人教B版教材习题]如果点P(m,n)到直线x+y-1=0的距离为0,写出m,n满足的关系式.解m+n-1=0.知识点3两条平行直线间的距离1.概念:两条平行直线间的距离是夹在两条平行直线间的

的长.

2.求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离

此公式的应用前提是l1与l2方程中x,y分别对应的系数相等

公垂线段

过关自诊1.直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,直线l2:x+y+1=0与直线l1平行,那么点A,B,C到直线l2的距离分别为多少?有什么规律吗?2.[2023上海长宁期末]两条平行直线4x-3y+5=0和4x-3y-5=0的距离为

.

2重难探究·能力素养全提升探究点一两点间距离公式的应用【例1】

已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.思路分析

可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2.∴△ABC是等腰直角三角形.规律方法

两点间距离公式的应用两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.变式训练1已知点A(-3,4),B(2,

),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.探究点二坐标法及其应用【例2】

[北师大版教材习题]用坐标法证明:(1)在直角三角形中,斜边中点到三个顶点的距离相等;(2)若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等,则该边所对的角是直角.证明

(1)以Rt△ABC的直角顶点A为原点,AB,AC所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,如图(1).所以|DA|=|DC|=|DB|.所以在直角三角形中,斜边中点到三个顶点的距离相等.(1)(2)以△ABC的顶点A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系如图(2).因为a≠0,所以b=0,所以C(0,c),所以AC⊥AB,所以若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等,则该边所对的角为直角.(2)规律方法

坐标法及其应用(1)坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算.②如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.(2)利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:①建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;②用坐标表示有关的量;③将几何关系转化为坐标运算;④把代数运算结果“翻译”成几何关系.变式训练2已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.解

以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.∵正三角形ABC的边长为a,探究点三求点到直线的距离【例3】

(1)点P(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离为

.

(2)点P(-1,2)到直线3x=2的距离为

.

(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实数m的值为

.

变式探究

已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为

.

规律方法

点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接利用点到直线的距离公式即可.(2)若已知点到直线的距离求参数值时,只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可.探究点四两平行线间的距离【例4】

[北师大版教材例题]求下列各对平行直线间的距离:(1)l1:3x+4y-1=0,l2:3x+4y+3=0;(2)l1:y=3x+2,l2:y=3x-3;(3)l1:x-2y-1=0,l2:2x-4y+3=0.规律方法

两条平行线间的距离的求法(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行线的距离公式.(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.变式训练3已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是

,求直线l1的方程.解

(方法1)∵l1∥l2,∴可设l1的方程为x+y+c=0.本节要点归纳1.知识清单:(1)两点间的距离公式;(2)点到直线的距离公式的推导过程及点到直线的距离公式d=

;(3)两条平行线间的距离公式及两平行线间的最值问题;(4)距离公式的应用.2.方法归纳:待定系数法、坐标法、公式法、解方程(组)法、数形结合法.3.常见误区:(1)已知距离求参数问题易漏解;(2)设直线方程易忽略斜率是否存在;(3)运用两平行线间的距离公式时,必须保证两直线方程中x,y的系数分别对应相同.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617A级必备知识基础练181920211.[探究点一]已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3),则点P(x,y)到原点的距离是(

)D1234567891011121314151617181920212.[探究点三]已知点(a,1)到直线x-y+1=0的距离为1,则a的值为(

)D1234567891011121314151617181920213.[探究点三]点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3,则实数a的取值范围为(

)A.(7,+∞) B.(-∞,-3)C.(-∞,-3)∪(7,+∞) D.(-3,7)C1234567891011121314151617181920214.[探究点三]点P(2,3)到直线ax+(a-1)y+3=0的距离d最大时,d与a的值依次为(

)A.3,-3 B.5,2

C.5,1 D.7,1C解析

直线ax+(a-1)y+3=0恒过点A(-3,3),根据已知条件可知当直线ax+(a-1)y+3=0与AP垂直时,距离最大,最大值为d=AP=5,此时kAP=0,故直线ax+(a-1)y+3=0的斜率不存在,所以a=1.故选C.1234567891011121314151617181920215.[探究点四](多选题)与直线2x+y+1=0的距离等于

的直线方程可以为(

)A.2x+y=0 B.2x-y=0C.2x+y-2=0 D.2x+y+2=0AD解析

根据题意可设所求直线方程为2x+y+C=0(C≠1),解得C=0或C=2,故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.1234567891011121314151617181920216.[探究点二]已知△ABC的三顶点A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),则BC边上的高AD的长度为

.

1234567891011121314151617181920217.[探究点一][2023安徽滁州月考]已知点M(-1,1),N(3,-3),且过点P(3,0)的直线l分别到点M,N的距离相等,则直线l的斜率为

.

解析

根据题意,分2种情况讨论:①直线l与直线MN平行时,直线l与点M,N的距离相等,1234567891011121314151617181920218.[探究点三]如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,则l2的方程为

.

x+y-3=01234567891011121314151617181920218.[探究点三]如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形面积为4,则l2的方程为

.

x+y-3=01234567891011121314151617181920219.[探究点一]求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.解

(方法1)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,123456789101112131415161718192021(方法2)①当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),∴直线l的方程是x-y+2=0.②当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.12345678910111213141516171819202110.[探究点四]直线l经过两直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且与直线l1:x+y-6=0平行.(1)求直线l的方程;(2)若点P(a,1)到直线l的距离与直线l1和直线l的距离相等,求实数a的值.123456789101112131415161718192021即两直线交点坐标为(1,6).∵直线l1:x+y-6=0的斜率k1=-1,∴直线l的斜率k=-1.∴直线l的方程为y-6=-(x-1),即x+y-7=0.123456789101112131415161718192021B级必备知识基础练11.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是(

)A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0A12345678910111213141516171819202112.已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(

)B解析

由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021B12345678910111213141516171819202115.(多选题)若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值可以是(

)A.6 B.8.5

C.10 D.12ABC12345678910111213141516171819202116.(多选题)已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线是点M的“相关直线”的是(

)A.y=x+1 B