三角函数的图像与性质（课件）高一上学期教学课件

三角函数的图像与性质人教版高中数学必修第一册第五章第四节学校：四川省丹棱中学校

参赛教师

韩丙清第一课时了解周期函数与最小正周期的意义:了解三角函数的周期性和奇偶性;会利用周期性的定义和诱导公式求简单三角函数的周期:借助图象直观理解正、余弦函数的性质:学习目标教学重难点教学重点：通过正弦曲线、余弦曲线探究正弦函数、余弦函数的性质(周期性和奇偶性):教学难点：求解简单三角函数的周期性，判断简单三角函数的奇偶性.根据以往学习函数的流程，研究完定义之后，该研究什么呢？问题1研究函数的步骤：通过定义画出图象，观察图象得出性质.1画图象的步骤是什么？列表描点连线2要将整个定义域的图象都画出来吗？不需要将整个定义域的图象画出来.3应该换哪一个区域的图象呢？你是如何知道的？只需要画出[0,2π]的图象，是通过终边相同角得到的.在单位圆中任取一点P(x,y),在正弦函数图象上找到的横坐标是P点的横坐标吗？问题2正弦函数图象的横坐标是什么呢？正弦函数图象的横坐标是以x轴非负半轴为始边，过点P的终边所对应的角的弧度，纵坐标是对应的正弦值T(x0,sinx0).在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义确定正弦函数值sinx0，并画出T(x0,sinx0).怎样绘制y=sinx,x∈[0,2π]的图象呢？问题3在画图之前，需要找点，找哪些点呢？找几个点呢？

方案1在[0,2π]内取等分点，将其分成12份，列表、描点、连线.方案2通过正弦函数在[0,2π]的图象，你能做出它在定义域内的图象吗？你是依据什么得到的这个图象呢？请动手画一画.问题4将y=sinx在[0,2π]的图象向左(右)平移2kπ个单位长度就可以得到整个函数图象，根据诱导公式一函数y=sinx

，

x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z且k≠0的图象与

y=sin

x,x∈[0,2π]图象形状完全一致，因此将函数y=sin

x,x∈[0,2π]图象不断向左向右平移(每次平移2π个单位长度)就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.在确定正弦函数图象形状时应抓住哪些关键点？问题5

1为什么这些点是关键点？因为这五个点分别为最大值点、最小值点和三个零点，其中最大值点和最小值点的横坐标是单调区间的分界.2怎样做出y=sin

x,x∈[0,2π]的简图？在确定图象形状时起关键作用，描出这五个点，函数y=sin

x,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了，因此，只要找到这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就可以得到函数的简图，称为“五点(画图)法”.x0π2πsinx010-10现在我们知道了正弦函数的图象，你能画出余弦函数的图象吗？问题61正弦函数与余弦函数有什么关系？2可以用我们前面学习的什么知识得到？

类比以往对函数性质的研究，同学们认为我们应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？问题1依据终边相同角我们可以知道三角函数是“周而复始”的，那与此对应的性质是什么呢？类比以往对函数性质的研究，同学们认为我们应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？问题1定义域值域单调性奇偶性对称性周期性(特有的性质)定义域R值域[-1,1]结合三角函数定义和诱导公式sin(x+2kπ)=sinx,k

∈Z可以得到，自变量x的值每增加2π的整数倍时所对应的函数值，与x对应的函数值相等.在数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.一般地设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.我们观察正弦函数的变化规律，再依据终边相同角，你能猜出正弦函数的周期是多少吗？问题2例如，-2π,2π,4π等等都是正弦函数的周期.即∀x∈Z且k≠0常数2kπ都是它的周期.函数的周期不止一个如果在周期函数f(x)所在的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.没有特殊说明的情况下求的都是最小正周期.正弦函数的最小正周期是多少？在之前的学习中，我们知道sin0=0,sinπ=0，由此我们可以得到sin(π+0)=sin0，我们可以说正弦函数的周期是π吗？为什么不可以说正弦函数的周期是π？周期函数要满足什么性质？1234根据以上探究，我们可以得到：正弦函数是周期函数，2kπ(x

∈Z且k

≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.类似地，余弦函数也是周期函数，2kπ(x

∈Z且k

≠0)都是它的周期.最小正周期是2π.周期函数必须满足“每一个值”.周期是多值的，不止一个.有些周期函数无最小正周期.例如f(x)=2.观察这些函数和余弦函数的图象，你还能发现函数的其它性质吗？问题3单调性奇偶性对称性你可以分别判断一下正弦函数和余弦函数的奇偶性吗？偶函数奇函数你能证明一下你的判断吗？依据诱导公式，用定义法证明.证明:f(x)=sinx与f(x)=cosx的定义域均为Rf(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)所以f(x)=sinx是奇函数f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x)所以f(x)=cosx是偶函数课堂总结课堂总结正弦函数、余弦函数图象的初步认识反思感悟解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．用“五点法”作三角函数的图象.12例题讲解例2.求下列函数的周期:

若h(x)=sin(ωx+φ)，你可以求出它的最小正周期吗？

作业布置200页1.2题完成教科书练习题203页2.3题作业设计1.下列函数是偶函数的是（

）A.y=sinx B.y=2sinx C.y=1+sinx D.y=|sinx|2.函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图像与直线y=2的交点个数为（

）A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数y=1-sinx的定义域是 () A.[-1,1] B.[0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 4.函数y