3.3二项式定理与杨辉三角（第1课时二项式定理）课件高二上学期数学人教B版选择性

第三章排列、组合与二项式定理3.1.3二项式定理与杨辉三角第一课时二项式定理人教B版

数学

选择性必修第二册课程标准1.理解二项式定理是代数乘法公式的推广.2.理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础落实·必备知识全过关知识点

二项式定理

名师点睛二项式定理形式上的特点(1)二项展开式有(n+1)项,而不是n项.(2)二项式系数都是

(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.(3)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.过关自诊1.

的展开式共有11项,则n等于(

)

A.9 B.10 C.11 D.8B2.二项式(1-2x)6的展开式中第3项是

,其二项式系数是

,(用数字作答)其系数是

.

60x21560解析

∵T3=(-2x)2=60x2,∴展开式中第3项是60x2,其二项式系数是15,其系数是60.3.[北师大版教材例题]求(1+x)n的展开式.重难探究·能力素养全提升探究点一二项式定理的应用【例1】

(1)[人教A版教材例题]求(x+)6的展开式.(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).规律方法

运用二项式定理的解题策略(1)正用:求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开.(2)逆用:逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.变式训练1(1)化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为(

)A.x4

B.(x-1)4C.(x+1)4

D.x4-1A探究点二二项式系数与项的系数问题【例2】

(1)求二项式

的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数.(2)求(x-)9的展开式中x3的系数.规律方法

二项式系数与项的系数的求解策略(1)二项式系数都是组合数

(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为探究点三求展开式中的特定项(1)求n;(2)求含x2项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.规律方法

1.求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项,(2)求含xk的项(或xpyq的项);(3)求常数项;(4)求有理项.2.求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项);(2)对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解;(3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.A.-25 B.25 C.40 D.41D成果验收·课堂达标检测1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点二·人教A版教材习题](x-1)10的展开式的第6项的系数是(

)D12345678910111213142.[探究点二]的展开式中x2的系数为(

)A.-240 B.240

C.-60 D.60B12345678910111213143.[探究点三]在(n∈N+)的展开式中,若存在常数项,则n的最小值是(

)A.3 B.5 C.8 D.10B令3n-5k=0,因为0≤k≤n,且k∈N+,所以n的最小值为5.12345678910111213144.[探究点二·2023广东新会高二月考]的展开式中含x-3项的系数为(

)A.-60 B.-240 C.60 D.240C12345678910111213145.[探究点二](1-)(x+y)6的展开式中含x4y2的项的系数为(

)A.6 B.-9 C.-6 D.9D解析

原式的展开式中含x4y2的项为

=(15-6)x4y2=9x4y2,所以含x4y2的项的系数为9.故选D.1234567891011121314712345678910111213147.[探究点二]已知m,n∈N+,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,则x2的系数的最小值为

,此时展开式中x7的系数为

.

8115612345678910111213148.(多选题)已知二项式(2x-)n的展开式中共有8项,则下列说法正确的有(

)A.二项式系数最大的项为第5项B.有理项共3项C.所有项的二项式系数和为128D.所有项的系数和为1CD12345678910111213149.[探究点一·人教A版教材习题]用二项式定理展开:1234567891011121314B级关键能力提升练10.(x+2y)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(

)A.10 B.20

C.30

D.40C123456789101112131411.(1-ax)(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为-10,则实数a=

.

2123456789101112131412.[人教A版教材习题]在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中,含x4的项的系数是

.

-15解析

x4的系数为-1-2-3-4-5=-15.12345678910111