建筑力学课件14静定结构的位移计算

第十四章静定结构的位移(wèiyí)计算

共九十页14．1概述一、结构位移(wèiyí)的定义结构(jiégòu)在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构(jiégòu)上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构(jiégòu)的位移。

二、位移的分类位移线位移：截面形心的直线移动距离角位移：截面的转角共九十页位移(wèiyí)绝对(juéduì)位移相对位移广义位移三、刚架的位移举例A点的线位移水平线位移竖向线位移截面A的角位移共九十页C、D两点的水平(shuǐpíng)相对线位移

(D)H

=

C+D

A、B两个截面的相对(xiāngduì)转角AB=A+B

共九十页四、引起位移(wèiyí)的原因一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变(gǎibiàn)（如图a）、支座移动（如图b）材料收缩、制造误差等共九十页五、计算位移(wèiyí)的目的

有以下(yǐxià)三个方面：1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值2、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。3、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。共九十页14.2虚功原理和单位(dānwèi)荷载法

一、变形体的虚功原理功：

力对物体(wùtǐ)在一段路程上累积效应的量度，也是传递和转换能量的量度实功：力在自身引起的位移上所作的功当静力加载时，即：

FP1由0增加至FP1

14

由0增加至14力Fp1在位移14上作的实功W14=FP11414共九十页虚功(xūɡōnɡ)：

力在其他因素引起(yǐnqǐ)的位移上作的功其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新的弯曲。位移12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1方向的位移。力FP1在位移12

上作了功，为虚功，大小为W12=FP112共九十页在小变形条件下，12由图示的原始(yuánshǐ)形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，FP1单独作用的状态为虚功计算的力状态。当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功(xūɡōnɡ)时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功(xūɡōnɡ)。共九十页

根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于(děngyú)变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。

虚功原理也可以简述为：“外力的虚功等于内力(nèilì)的虚变形功”。共九十页二、单位荷载法

1、定义(dìngyì)：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。2、计算(jìsuàn)结构位移的一般公式共九十页

K=

K+RiCi=d+N+Q式中，

=1则d+N+Q—

RiCi

经进一步推导(tuīdǎo)，可得共九十页式中：E

弹性模量；G

剪切模量；A

横截面积；I

截面惯性矩；k截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。共九十页14.3静定结构在荷载作用下的位移(wèiyí)计算一、静定结构在荷载作用(zuòyòng)下的位移公式如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移＝0，位移公式则为Ci

共九十页对于曲杆（曲率半径(bànjìng)r），荷载作用下的位移公式为＋弯矩的影响(yǐngxiǎng)

轴力的影响剪力的影响曲率的影响共九十页图a所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与截面高度之比r/h=10,弹性模量(tánxìnɡmóliànɡ)之比E/G=2.5，曲杆B端形心在竖向荷载FP作用下的竖向线位移由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组成：共九十页Q

:

N:r=1200:1:3:2

设虚拟状态（图b）计算虚内力(nèilì)，用截面法计算实际状态的内力(nèilì)，代人位移公式运算，并注意矩形截面的不均匀系数=1.2，计算结果为中弯矩、轴力、剪力、曲率对应(duìyìng)的四部分之比M

:

=共九十页二、各类杆件结构(jiégòu)在荷载作用下的位移公式（1）梁和刚架梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的，位移计算公式中取第一项便具有足够(zúgòu)的工程精度共九十页（2）桁架(héngjià)

各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式(gōngshì)中的第二项并简化为实用的形式共九十页（3）组合(zǔhé)结构既有梁式杆，又有链杆，取用公式(gōngshì)中的前两项（4）拱一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计共九十页三、虚拟(xūnǐ)状态的选取欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟(xūnǐ)状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶共九十页3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线(liánxiàn)上加一对指向相反的单位集中力4）欲求两处的相对角位移，加一对指向(zhǐxiànɡ)相反的单位集中力偶共九十页5）欲求桁架(héngjià)某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为d，每一力的大小为1/d共九十页力和力偶(lìǒu)统称为广义力，单位(dānwèi)广义力用=1表示线位移和角位移统称广义位移，用⊿表示单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反共九十页（2）计算(jìsuàn),FNP;

四、静定(jìnɡdìnɡ)桁架的位移计算计算步骤为（1）设虚拟状态；（3）用桁架的位移计算公式计算位移。例14-1

图示桁架各杆的EA相等，求C结点的竖向位移vc

共九十页解:

（1）设虚拟(xūnǐ)状态（如上图b所示）（2）计算(jìsuàn)N

和FNP（标于上图b.a

）共九十页（3）代公式(gōngshì)求C点的竖向位移共九十页例14-2

图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积(miànjī)（单位cm2

）。许可挠度与跨长的比值，试校核桁架(héngjià)的刚度。共九十页解

对称简支桁架(héngjià)在对称荷载作用下，最大挠度发生在桁架(héngjià)的对称面处。须计算结点3的竖向位移，然后进行刚度(ɡānɡdù)校核。1）建立虚拟状态（如图b所示）2）计算N

和FNP，并标于图b、a上

3）求3点的竖向位移，进行刚度校核共九十页N/(1/mm)

/mm

计算(jìsuàn)半个桁架的，列表(lièbiǎo)如下:1420000003-7

竖杆002-6竖杆312500+0.62525000025000100003-6斜杆500000-0.625-10000000.812500100001-6斜杆270000+0.375+6000001.210000120001-3下弦337500-0.75-7500000.61000060006-7上弦FNP/NA/mm2编号杆件共九十页根据(gēnjù)上表，得<

所以，桁架(héngjià)满足刚度条件共九十页五、梁的位移及刚度(ɡānɡdù)校核1、梁的位移(wèiyí)

挠度：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移用w

表示，规定w

向下为正。转角：横截面的角位移

，规定顺时针转为正共九十页在工程设计手册中列有常见(chánɡjiàn)梁的位移的计算结果（如表14.1所示），可供计算时查用。表14.1梁的挠度(náodù)与转角公式

2.悬臂梁弯曲力偶作用在自由端1.悬臂梁集中荷载作用在自由端最大挠度转角荷载类型共九十页续表时4.简支梁集中(jízhōng)荷载作用跨中位置上3.悬臂梁均匀分布荷载(hèzài)作用在梁上－时共九十页6简支梁弯曲力偶(lìǒu)作用在梁的一端5简支梁均匀分布荷载(hèzài)作用在梁上-（在处）续表-共九十页2．梁的刚度(ɡānɡdù)校核梁的位移过大，则不能正常(zhèngcháng)工作对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比为标准

在工程上，吊车梁的＝1/600铁路钢桁梁的＝1/900梁的刚度条件为:共九十页

例14-3

图示简支梁由工字钢制成，跨度中点(zhōnɡdiǎn)处承受集中载荷Fp。已知Fp=40KN，跨度=3m，许用应力(yìnglì)=160MPa，许用挠度[w]=/500，弹性模量E=2×105MPa，试选择工字钢的型号。共九十页解

（1）按强度(qiángdù)条件选择工字钢型号梁的最大弯矩为：＝按弯曲正应力强度条件(tiáojiàn)选截面共九十页查型钢表选用20a工字钢,其弯曲(wānqū)截面系数为237cm3，惯性矩I=2370cm4（2）校核(xiàohé)梁的刚度=4.75mm<[]=梁的刚度足够所以，选用20a工字钢共九十页3、提高(tígāo)梁抗弯刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度L、荷载(hèzài)作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：

增大梁的抗弯刚度EI增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I值，一般不采用增大E值的方法。在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩I。共九十页（2）减小梁的跨度(kuàdù)L梁的变形与其(yǔqí)跨度的n次幂成正比。设法减小梁的跨度L，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小L值：①增加中间支座而共九十页②两端(liǎnɡduān)支座内移

共九十页如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载(hèzài)作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。共九十页(3)改善荷载(hèzài)的作用情况在结构允许的情况(qíngkuàng)下，合理地调整荷载的位置及分布情况(qíngkuàng)，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。共九十页14.4图乘法(chéngfǎ)一、图乘法(chéngfǎ)原理1、图乘法的适用条件：（1）杆段的轴线为直线（2）杆段的弯曲刚度EI为常数直梁和刚架的位移公式则为（3）MP图和图中至少有一个直线图形

共九十页２．图乘法(chéngfǎ)原理共九十页图乘法求位移(wèiyí)的一般表达式为注意(zhùyì)：[1].应取自直线图中[2].若与在杆件的同侧,取正值;反之,取负值[3].如图形较复杂，可分解为简单图形.共九十页3.图乘法(chéngfǎ)的步骤:(1).设虚拟(xūnǐ)状态；(2).画图、图；(3).图乘求位移共九十页下面介绍(jièshào)几个规则图形的面积和形心位置共九十页共九十页当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别(fēnbié)与另一图形相应的纵坐标相乘。4.图形(túxíng)的分解梯-梯同侧组合：共九十页同侧组合(zǔhé)：共九十页异侧组合(zǔhé)共九十页由区段(qūduàn)叠加法作的弯矩图，其弯矩图可以看成一个梯形和一个规则抛物线图形的叠加。共九十页曲-折组合(zǔhé)共九十页阶梯形截面(jiémiàn)杆共九十页二、图乘法(chéngfǎ)计算直梁和刚架的位移

下面举例应用图乘法(chéngfǎ)求直梁和刚架的位移例14.4试求图a所示外伸梁C点的竖向位移CV。梁的EI=常数共九十页解

MP、

图分别(fēnbié)如图(b).(c)所示。

BC段的MP图是标准(biāozhǔn)二次抛物线；AB段的MP图较复杂，但可将其分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。共九十页由图乘法(chéngfǎ)得共九十页代入以上数据(shùjù),于是共九十页例14.5

试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移(wèiyí)

cv。设EI=共九十页解:

荷载(hèzài)弯矩图和单位弯矩图如图bc所示。在AB段,MP和图均是三角形；

在BC段，MP图可看作是由B.C两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用(zuòyòng)下的标准抛物线图[即图b中虚线与曲线之间包含的面积]叠加而成。共九十页将上述各部分(bùfen)分别图乘再叠加，即得共九十页例14.6试求图(a)所示刚架结点(jiédiǎn)B的水平BH。

位移(wèiyí)

设各杆为矩形截面，截面尺寸为bxh，惯性矩l=,E为常数，只考虑弯矩变形的影响。共九十页解:

先作出MP图和图,

分别(fēnbié)如图(b)(c)所示。共九十页应用(yìngyòng)图乘法求得结点B的水平位移为：共九十页14.5静定结构由于支座(zhīzuò)位移所引起的位移静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体(gāngtǐ)位移。如图a所示静定结构,其支座发生水平位移C1

、竖向位移C2

和转角C3，现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，例如求k点竖向位移K。

共九十页因为从实际(shíjì)状态中取出的微段ds的变形为d这种位移仍用虚功原理来计算(jìsuàn)。由位移计算(jìsuàn)的一般公式=du=

于是上式可简化为K=-Ci

－共九十页这就是(jiùshì)静定结构在支座位移时的位移计算公式。式中

为虚拟(xūnǐ)状态图b的支座反力，

Ci为实际状态的支座位移，Ci为反力虚功。

当与实际支座位移Ci

的方向一致时其乘积取正，相反时取负。

此外，上式右边前面还有一个负号，不可漏掉。共九十页cH、竖向位移(wèiyí)例14.7

图(a)所示静定刚架，若支架A发生(fāshēng)图示的位移:a=1.0cm,b=1.5cm.Cv。试求C点的水平位移共九十页解

在C点处分别加一水平(shuǐpíng)和竖向的单位力，求出其支座反力如图(b)(c)所示。共九十页由公式(gōngshì)－K=-Ci

得：

cH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cmcv=-1.5×1=-1.5cm共九十页14.6互等定理(dìnglǐ)一、功的互等定理(dìnglǐ)图示结构的两种状态，分别作用FP1和FP2，称之为第一状态和第二状态。共九十页虚功(xūɡōnɡ)

W12为虚功(xūɡōnɡ)

W21为共九十页比较(bǐjiào)，得功的互等定理:W12=W21即:功的互等定理(dìnglǐ)一般形式为:共九十页因此(yīncǐ)得到功的互等定理：第一状态的外力在第二(dìèr)状态的相应位移上所作的外力虚功，等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的外力虚功。共九十页二、位移(wèiyí)互等定理条件(tiáojiàn)：在结构的两种状态中都只作用一个荷载，且为单位荷载。单位荷载所引起的位移称为位移系数，用表示（图a.b）

共九十页根据(gēnjù)功的互等定理1••即这就是(jiùshì)位移互等定理：第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。共九十页

上述定理中，单位力可以(kěyǐ)是广义单位力，相应的位移系数亦为广义位移。21与12可能(kěnéng)含即义不同，但二者数值相等。共九十页三、反力互等定理(dìnglǐ)反力互等定理也是功的互等定理的一种应用，它反映(fǎnyìng)在超静定结构中如果两个支座分别发生单位位移时，两个状态中相应支座反力的互等关系。单位位移引起的支座反力称为反力系数，用rij表示共九十页根据(gēnjù)功的互等定理，有即这就是(jiùshì)反力互等定理，它表明支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于支座2发生与上述反力相应的单位位移所引起的支座1的反力。r21×1=r12×1r21=r12共九十页应注意支座的位移与该支座的反力在作功关系上的对应(duìyìng)关系，即线位移与集中力相对应(duìyìng)，角位移与集中力偶相对应(duìyìng)。可能r12与r21

一个是反力偶，一个是反力，但二者的数值(shùzí)相等。共九十页小结

本章主要讨论应用虚功原理计算静定结构的位移。位移计算的目的是为了验算结构刚度，又是分析超静定结构的基础。因此(yīncǐ)，掌握好本章内容，有着重要意义。1．虚功与虚功原理是结构位移计算方法的理论依据。在虚功中，力与位移是两个彼此独立(dúlì)无关的因素。对于杆系结构变形体系的虚功原理