概率模型的辨识与应用课件高三数学一轮复习

教考衔接9⇒概率模型的辨识与应用

典例展示【例】写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分

布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（1）

X

1表示

n

次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；解：X

1的分布列为

X

1012…

n

P

·​

·​

·​

…

·​

（2）

X

2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和；解：X

2的分布列为

X

223456789101112

P

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

X

2既不服从二项分布，也不服从超几何分布.（3）有一批产品共有

N

件，其中次品有

M

件（

N

＞

M

＞0），采用有

放回抽取方法抽取

n

次（

n

＞

N

），抽出的次品件数为

X

3；解：X

3的分布列为

X

3012…

n

P

​

·

·​

…​

（4）有一批产品共有

N

件，其中

M

件为次品，采用不放回抽取方法

抽

n

件，出现次品的件数为

X

4（

N

－

M

≥

n

＞0）.解：X

4的分布列为

X

401…

k

…

n

P

​

​

…​

…​

X

4服从超几何分布.

解法探究二项分布与超几何分布模型的辨识一直是学生的难点，在有放回抽样

时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同

的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.而不放回抽

样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同

的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模

型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.

五种常见的概率模型及应用模型1

相互独立事件的概率模型【例1】

（2024·大连模拟）现有甲、乙两人进行乒乓球比赛，

比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分，先得11分者

该局获胜.

X

2345

P

​

​

​

​

所以随机变量

X

的分布列为反思感悟相互独立事件概率模型的特征（1）实际问题中所涉及的若干事件中每一个是否发生互不影响；（2）因

A

1，

A

2，…，

An

相互独立，则满足

P

（

A

1·

A

2…

An

）＝

P

（

A

1）

P

（

A

2）…

P

（

An

）；（3）求解相互独立事件的概率问题时，常涉及互斥、对立事件的概

率求值.

（1）在第一次种植

B

的前提下，求第三次种植

A

的概率；

（2）在第一次种植

A

的前提下，求种植

A

作物次数

X

的分布列及

期望.

X

12

P

​

​

模型3

二项分布概率模型【例3】国庆节期间，某大型服装团购会举办了一次“你消费我买

单”促销活动，顾客消费满300元（含300元）可抽奖一次，抽奖方案

有两种（顾客只能选择其中的一种）.方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球

4个）的抽奖盒中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，

白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，若摸出2

个红球，1个白球，则享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，

则打5折；若摸出1个红球，1个白球和1个黑球，则打7.5折；其余

情况不打折.（1）某顾客恰好消费300元，并选择方案一抽奖，求他实付金额的分

布列和期望；

X

0100200300

P

​

​

​

​

故

X

的分布列为（2）若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽

奖方案更合适.

η0250375500

P

​

​

​

​

反思感悟二项分布概率模型的特征（1）在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；（2）各次试验中的事件是相互独立的；（3）在每一次试验中，事件发生的概率与不发生的概率都保持不变.模型4

超几何分布概率模型【例4】已知条件①采用无放回抽取，条件②采用有放回抽取，在

上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上并作答，选两

个条件作答的按条件①的解答计分.问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相

同，若

，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红

球的个数为

X

，求随机变量

X

的分布列和数学期望.

X

0123

P

​

​

​

​

所以

X

的分布列为

X

0123

P

​

​

​

​

反思感悟超几何分布概率模型的特征（1）实际问题所描述的事件只包含两个结果（发生与不发生），每

进行一次上述抽取都不是原来的重复（再次抽取时，都与上次

条件发生了变化）；（2）每次抽取中同一事件发生的概率都不同；（3）实际问题中随机变量为抽到某类个体的个数；（4）该问题属于不放回抽取问题.模型5

正态分布概率模型【例5】

（2024·广州一模）世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5

小时的中等强度运动.已知

A

社区有56％的居民每周运动总时间超过5

小时，

B

社区有65％的居民每周运动总时间超过5小时，

C

社区有70％

的居民每周运动总时间超过5小时，且

A

，

B

，

C

三个社区的居民人数

之比为5∶6∶9.（1）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超

过5小时的概率；

（2）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量

X

（单

位：小时），且

X

～

N

（5.5，σ2）.现从这三个社区中随机抽取3

名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.

反思感悟正态分布概率模型的特征（1）一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次

的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似地服从正态分布.正

态分布是最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布.

如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等；（2）解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练

掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ

＋3σ]三个区间内的概率.在此过程中用到转化和数形结合思想.

高考还可这样考

（2）在此次比赛中，挑战者最终获胜的概率是多少？

（3）现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战全部8位守擂者，

以（2）中求得的挑战者最终获胜的概率作为挑战者面对每个守

擂者的获胜概率，每次挑战之间相互独立，若最终统计结果是

挑战者战胜了超过三分之二的守擂者，则称该挑战者挑战成

功，反之则称挑战者挑战失败.若再增加1位守擂者，试分析该挑

战者挑战成功的概率是否会增加？并说明理由.解：设随机变量

X

为挑战者连续挑战8位守擂者时能够战胜守擂者的

人数，

p

1为此时挑战者挑战成功的概率，因为守擂者有8位，所以挑战者要想挑战成功，至少需要战胜6位守擂者，即

p

1＝

P

（