专项突破练10利用数学思想解决与角度有关的问题

第四章基本平面图形专项突破练10利用数学思想解决与角度有关的问题思想1方程思想1.

【2024深圳福田区期末】如图，点O在直线AB上，OD

平分∠AOC，∠BOE＝2∠EOC.

(1)若∠AOD＝24°，求∠DOC的度数；解：(1)因为OD平分∠AOC，

∠AOD＝24°，所以∠DOC＝∠AOD＝24°.234561(2)若∠AOD∶∠EOC＝3∶4，求∠AOD的度数.解：(2)设∠AOD＝3α，则∠EOC＝4α，所以∠BOE＝2∠EOC＝8α.因为OD平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠AOD＝6α.因为∠AOC＋∠EOC＋∠BOE＝180°，所以6α＋4α＋8α＝180°，解得α＝10°，所以∠AOD＝3α＝30°.2345612.

【2024益阳模拟】如图，射线OC，OD把∠AOB分成三

个角，且∠AOC∶∠COD∶∠DOB＝2∶3∶4，射线OM平分

∠AOC，射线ON平分∠BOD.

(1)若∠AOB＝144°，求∠COM的度数；234561解：(1)设∠AOC＝2x，则∠COD＝3x，∠DOB＝4x，所

以∠AOB＝9x.因为∠AOB＝144°，所以9x＝144°，所以x＝16°，所以∠AOC＝2x＝32°.因为OM平分∠AOC，

234561(2)若∠MON＝90°，求∠COD的度数.解：(2)设∠AOC＝2y，则∠COD＝3y，∠DOB＝4y.因为OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，所以∠MOC＝y，∠NOD＝2y，所以∠MON＝y＋3y＋2y＝6y.因为∠MON＝90°，所以6y＝90°，所以y＝15°，所以∠COD＝3y＝45°.234561思想2整体思想3.

将两块三角尺按如图方式摆放，其中∠CPD＝90°，

∠APB＝45°，作PM平分∠APC，PN平分∠BPD.

(1)当∠APC＝30°时，求∠MPN的度数；234561解：(1)因为∠CPD＝90°，∠APB＝45°，所以∠APC＋∠BPD＝90°－45°＝45°.因为∠APC＝30°，所以∠BPD＝45°－30°＝15°.

234561(2)当∠APB在∠CPD内转动时，∠MPN的度数是否保

持不变？请说明理由.

234561

234561思想3

分类讨论思想4.

【新考法·过程辨析法】阅读材料并回答问题：数学课

上，老师给出了如下问题：已知，如图①，∠AOB＝

90°，OC平分∠AOB.

若∠COD＝65°，请你补全图形，并求∠BOD的度数.234561234561解：如图②，作∠COD＝65°.同学一的解答如下：因为∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC＝

⁠.因为∠COD＝65°，所以∠BOD＝∠BOC＋∠

＝

⁠.同学二说：“符合题目要求的图形还有一种情况.”请你完成以下问题：(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整；45°

COD

110°

234561(2)判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若

正确，请你在图③中画出另一种情况对应的图形，并求

∠BOD的度数.234561解：正确，如图.因为∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC＝45°.因为∠COD＝65°.所以∠BOD＝∠COD－∠BOC＝20°.2345615.

【2024济宁模拟】如图，摆放一副三角尺，使得点O在

AB边上，将三角尺COD绕点O旋转.(1)若∠AOD＝45°，求∠COB的度数；234561解：(1)分两种情况，当OD在AB上方

时，如图①.因为∠AOD＝45°，所以易得∠AOC＝

45°，所以∠COB＝180°－∠AOC＝135°.234561当OD在AB下方时，如图②.因为∠AOD＝45°，∠COD＝90°，所以∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝45°＋90°＝135°，所以∠COB＝180°－∠AOC＝180°－135°＝45°.综上可知，∠COB的度数为135°或45°.234561因为∠AOD＝120°，∠COD＝90°，所以∠AOC＝∠AOD－∠COD＝120°－90°＝30°.因为点O在AB边上，所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－30°＝150°.(2)若∠AOD＝120°，求∠COB的度数；解：(2)分两种情况，当OD在AB上方时，如图③，234561当OD在AB下方时，如图④.因为∠AOD＝120°，点O在AB边上，所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－120°＝60°.所以∠BOC＝90°－∠BOD＝90°－60°＝30°.综上可知，∠COB的度数为150°或30°.234561(3)当∠AOD＝α(0°＜α＜180°)时，直接写出∠COB的

度数(结果用含α的式子表示).解：(3)∠COB的度数为90°＋α或90°－α或270°－α或α－90°.234561思想4

从特殊到一般的思想6.

【2024石家庄裕华区期末】已知：点O是直线AB上的一

点，∠COD＝90°，OE是∠BOD的平分线.(1)当射线OC，射线OD，射线OE在直线AB的同侧(如图①)时，①若∠COE＝30°，则∠AOD＝

⁠.②若∠COE＝β，则∠AOD＝

.(用含β的式子

表示)60°

2β

234561(2)当射线OC与射线OD，射线OE在直线AB的两侧(如

图②)时，若∠COE＝β，则(1)②中的结论是否仍然成

立？请给出你的结论并说明理由.234561解：(1)②中结论仍然成立，理由如下：