九年级直方图和表示一组数据离散程度的量一周强化沪教版

直方图和表示一组数据离散程度的量一周强化

一、一周知识概述

（一）直方图

1、频数分布直方图：取横轴表示数据，纵轴表示频数，用矩形的高代表对应组的频数，

这样的统计图叫做频数分布直方图.直方图实际上是用矩形的面积表示频数，当矩形的

宽相等时，可以用矩形的高表示频数.直方图中各矩形之间没有空隙.

画频数分布直方图一般的步骤是：①计算极差；②决定组距与组数；③决定组限；

④列频数分布表；⑤画频数分布直方图.其中组距和组数的确定没有固定的标准，要凭

借经验和研究的具体问题来决定.一般来说，组数越多当然越好，但实际操作比较麻烦,

当数据在100个以内时，根据数据的区分通常分成5—12个组.

2、频率分布直方图

在频数分布直方图中，各小长方形的高等于频数值，这样就把频数分布表中的结果

直观形象地表示出来.为了进一步反映数据落在各小范围内的比例大小，可以绘制频率

分布直方图.

组频率：如果将每组的频数都除以这组数据总数，我们就得到各组数据频数在数据

总数中所占的比值（或百分比），我们称这个比值为组频率，即：

组频率=组频数

观察数据的总数

（二）表示一组数据离散程度的量

1、方差：设有n个数据xi,X2,…,x„,各数据与它们的平均数的差的平方分别是

（X]-1）2,（工2-于,…-7）2,我们用它们的平均数即用

S2=-X）2+02-加+…+（X-X）2]

«来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组

数据的方差，记作S2.

2、标准差：用方差的正的平方根来衡量这组数据偏离平均数程度的大小，把它叫做这

组数据的标准差.即

S=J,［（万-x）?+（万—X）2+…+（O—工尸］_

一组数据的标准差计算公式是'阀，其中X为

n个数据K,X2,...,X“的平均数.

_x-x

3、标准分：标准分z一一T（s是标准差）

4、变异系数：标准差与平均数的相对比值叫做变异比值V,即才巴XxlOO%叫做变异

系数.

二、重点难点疑点突破

1、频数分布直方图与条形图的异同点

相同点：

（1）横轴、纵轴表示的意义相同；

（2）都是用矩形高表示数据的个数；

（3）都易于比较各组频数或数据之间的差别.

不同点：

（1）频数分布直方图各矩形之间没有空隙，而条形图各矩形之间可以有空隙；

（2）频数分布直方图能够显示频数分布的情况，而条形图只能显示每组中的具体

数据；

（3）频数分布直方图一般只描述一种统计对象，而条形图有时可同时描述两个或

多个统计对象.

2、用方差（或标准差）刻画数据的波动情况：

（1）方差（或标准差）越大，数据的波动越大；方差（或标准差）越小，数据的

波动越小.

（2）显然，方差（或标准差）是非负数，当方差（或标准差）为0时，表明这组

数据不波动，即这组数据中的每个数据都相同.

3、方差、标准差和变异系数都反映了一组数据的离散程度，较常用的是方差和标准差.在

比较两组平均数相差较大的数据的离散程度时，以及在比较单位不同的两组数据的离散

程度时，常用变异系数.

三、解题方法技巧点拨

1、从频数分布直方图中获取信息

例1、（大连市，2005年）为了了解某初中学业生的体能情况，抽取若干名学生在单位

时间内进行引体向上测试，将所得数据整理后，画出频数分布直方图（如图所示），图

中从左到右依次为第1、2、3、4、5组.

（1）求抽取多少名学生参加测试？

（2）处于哪个次数段的学生数最多？（答出是第几组即可）

（3）若次数在5次（含5次）以上为达标，求这次测试的达标率.

分析：

（1）抽取的学生人数为10+25+35+25+5=100.（2）由图可直接看出第三组的

学生数最多.（3）达标人数为35+25+5=65,可估计这次测试的达标率也是65%.

解：

（1）10+25+35+25+5=100（人）.

答：抽取了10（）名学生参加测试.

（2）由频数分布直方图可以看出第三组的学生最多.

（3）65+100=65%.

所以这次测试的达标率为65%.

点拨：由频数分布直方图还可读出很多信息，同学们不妨试一试.

2、画频数分布直方（折线）图

例2、某班一次数学测验成绩如下（单位：分）：63,84,91,53,69,81,61,69,

91,78,75,81,80,67,76,81,79,94,61,69,89,70,70,87,81,86,90,

88,85,67,71,82,87,75,87,95,53,65,74,77.

大部分同学处于哪个分数段？成绩的整体分布情况怎样？将成绩按10分的组距分

段，统计每个分数段学生出现的频数，列出频数分布表，并画出频数分布直方图和折线

图.

解：

（1）计算最大值和最小值的差：95-53=42.

丝-42

（2）确定组距与组数：己知组距为10,则组数1。，因此定为5组.

（3）决定分点：49.5〜59.5,59.5〜69.5,69.5〜79579.5〜89.5,89.5-99.5.

（4）列频数分布表.

分组划记频数

49.5〜59.5T2

59.5〜69.5正7F9

69.5〜79.5正正10

79.5〜89.5正正7F14

89.5〜99.5正5

（5）画频数分布直方图.如图所示.

(6)画频数折线图，如图所示.

学生数

最大值-最小值

点评：当组距确定后，估计组数=组而，组数取整数，画直方图中的各

个小长方形之间没有空隙.画频数折线图时，要注意折线图左右两个端点的画法，不要

忘记画出两个端点.

例3、抽样检查40个工件的长度，收集如下一组数据(单位：cm)：

23.2623.2723.5223.5123.4323.4223.5423.5523.6623.67

2331233023.2723.2S23.4123.4023.5523.5623.4423.43

23.3823.3923.6323.6423.5423.5623.4623.4423.4823.46

23.5023.5323.5523.4623.4423.4523.4723.4923.5023.46

试列出这组数据的频数分布表，画出频数分布直方图和频数折线图.

解:

列频数分布表:

长度组别频数

23.255〜23.3055

23.305〜23.3551

23.355〜23.4053

23.405〜23.4558

23.455〜23.5059

23.505〜23.5558

23.555〜23.6052

23.605〜23.6552

23.655〜23.7052

根据上表，画出频数分布直方图，连接各小长方形上面一条边的中点得频数折线图

（如图）.

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O

点评：分组时，一般要使每组的端点比数据多一位小数，第一组的起点比数据中的

最小值再小一点.

3、频数与频率之间的关系

例4、某班同学进行数学测验，将所得成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，并绘制

成频数分布直方图（如图所示），请结合直方图提供的信息，回答下列问题

分数

（1）该班共有多少名学生?

（2）80.5-90.5这一分数段的频数、频率分别是多少?

(3)这次成绩，哪一个分数段的人数最多?是多少？

(4)从左到右各小组的频率比是多少？

(5)若这次测试成绩80分以上(不含80分)为优秀，则优秀率不低于多少?

分析：

本题主要考查读图能力和通过读图从中获得信息的能力.

解：

(1)4+10+18+12+6=50(人).

...该班共有50人.

(2)80.5-90.5这一分数段有12人.频率是12+50=0.24,

.♦.80.5〜90.5这一分数段的频数、频率分别是12,0.24.

(3)这次成绩，70.5〜80.5这个分数段的人数最多，是18人.

(4)两种方法：

方法1：4：10：18：12：6=2：5：9：6：3.(直接运用人数比)

4.10.18.12.6

方法2：50505050'50=2：5：9：6：3.(直接运用频率比)

从左到右各小组的频率比是2：5：9：6：3.

(5)12+6=18,

...18+50=0.36=36%.

优秀率不低于90%.

点评：求频率之比时，有两种方法，一种是直接用各小组的频数来求比.另一种是

分别求出各小组的频率，再求比值，在计算时要灵活运用.

4、利用频率分布直方图解决问题

例5、为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，

共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成

绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计，请你根据下面尚未完成并有局部污损的频

率分布表和频率分布直方图(如图所示)，解答下列问题.

分组频数频率

50.5〜60.540.08

60.5—70.580.16

70.5~80.5100.20

80.5~90.5160.32

90.5~100.5

；'；.♦：；：；：♦；*>.：♦：■：.♦；...♦：：：♦/.♦.

•♦♦♦：♦♦，：♦一♦■♦♦♦♦：♦♦♦'«♦♦♦♦♦♦♦♦»♦

陵修纺"修修涔"

合计♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

(1)填充频率分布表中的空格；

(2)补全频率分布直方图；

(3)在该问题中，共抽取人的成绩进行统计;

(4)全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多?(不要求说明理由)

(5)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？

解：

(1)由频率分布表可知，抽样调查总数为：4+0.08=50(人)

，90.5〜100.5分数段的人数为50-4-8-10-16=12(人)，

这一分数段的频率为12-50=0.24.

“合计”中，频数是50,频率是1.00.

(2)如图所示.

(3)在该问题中，共抽取50人的成绩进行统计.

(4)由频率分布表可以看到，80.5-90.5这一分数段的人数最多.

(5)成绩在90分以上(不含90分)的占0.24,所以，900x0.24=216(A).

该校成绩优秀的约为216人.

点评：解本题的关键是填充”频率分布表“，在这一问题中，既可以利用某小组的频

数和频率，用“频数+频率=总人数”求出总人数，进而求出90.5〜100.5这一分数段的人

数，再求出相对应小组和合计的频率.

同时，也可以从频率着眼，已知各小组的频率之和为1.00,从而求出90.5〜100.5

分数段的频率，进而求出这一分数段的频数.注意解题的灵活性.例如：求出90.5〜100.5

分数段的频率是0.24,是50.5〜60.5分数段的频率的3倍，故此，90.5〜100.5分数段的

频数是4x3=12(人)，计算起来比较简便.

5、利用方差和标准差解决问题

例7、为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛，每个

月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图.

刎（分）

（1）分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差.

（2）如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次数学竞赛.请结合所

学统计知识说明理由.

分析：

（1）先由图读出甲、乙的数据，再分别求甲、乙两名同学5次测验成绩的平均数

及方差；（2）结合平均数、方差及折线图的走势综合分析.

解：

（1）由图可知：

甲：65,80,80,85,90.

乙：70,90,85,75,80.

—1

'单-5（65+80+80+85+90）=80（分），

牖=g

[(65-80)2+(8()-80尸+(8()-80)2+(85-80)2+(90一80)2]=70(分2),

—1

^7=­

5(70+90+85+75+80)=80(分),

匿=1

5[(70-80)2+(90—80)2+(85—80)2+(75-80)2+(80-80)2]=50(分2).

（2）应派甲参加这次数学竞赛.

理由：（1）甲最近2次时成绩不低于乙；

（2）甲最近3次成绩直线上升，而乙的成绩有所下降，所以应选甲参加数学竞赛.

点拨：（1）第（2）问是开放题，若从平均数和方差的角度分析，应派乙参加这次

数学竞赛.若这样答题也算正确，但由于是参加竞赛，一般是选择潜能较大的选手参

赛.（2）方差也应带单位，其单位是数据单位的平方.若选用标准差，则单位与数据

单位一致.

例8、为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在学校实习基地现

场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据依次如图

及表所示（单位：mm）.

平均数方差完全符合要求个数

A200.0262

B2045

根据测试得到的有关数据，试解释下列问题：

（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，的成绩好些.

（2）计算出的的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些.

(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过1()个的实际情况，你认为

委派谁去参赛较合适？说明你的理由.

分析：

(1)A、B平均数相同，但B完全符合要求的个数多于A,故B的成绩好些；(2)

r»2

用方差公式计算，再与邑1=0.026比较；(3)看折线图，看谁最后越来越稳定.

解：

(1)B.

$2=

(2)510[5x(20-20)2+3x(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008,

Q2C*2、c»2

"=0.026,・,・”>必.

在平均数相同的情况下，B的波动性小，.•.B的成绩好些.

(3)从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差

小，可预测A的潜力较大，可选派A去参赛.

例9、一次期中考试中A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表

所示：

ABCDE平均分标准差

数学7172696870

英语888294857685

(1)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；

(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的

计算公式是：标准分=(个