第7章非线性控制系统

第七章非线性系统控制Chapter7controlofnonlinersystems7.1非线性控制系统概述7.2常见非线性及其对系统运动的影响7.3描述函数法7.4相平面法7.5Matlab在本章中的应用本章重点内容前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性；严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统；一些系统作为线性系统来分析：①系统的非线性不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化处理；但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线性称为本质非线性。如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。7.1非线性控制系统概述本质非线性系统有以下特点：1）初始条件与输入量对非线性系统的影响

非线性系统可能会出现某一初始条件下的响应过程为单调衰减，而在另一初始条件下则为衰减振荡，如图所示。

线性系统如果某系统在某初始条件下的响应过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。初始条件不同时非线性系统不同的响应特性

2）系统的稳定性也与输入信号的大小、初始条件有关

（1）当初始条件xo＜1时,1－xo＞0,上式具有负的特征根,其暂态过程按指数规律衰减,该系统稳定。（2）当xo=1时,1-xo=0,上式的特征根为零,其暂态过程为一常量。（3）当xo＞1时,1-xo＜0,上式的特征根为正值,系统暂态过程指数规律发散,系统不稳定。非线性一阶系统的时间响应非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅与系统本身的结构和元件特性有关，而且与系统初始条件也有关。因而对非线性系统，不能笼统地讲系统是否稳定。3）非线性系统可以产生自持振荡：在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定的稳定周期性响应。该周期响应过程物理上可实现并可保持,通常将其称为自持振荡或自振荡；线性系统只有两种工作模式：要么发散，要么收敛；非线性系统有收敛、发散和自持振荡三种状态。4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由于非线性其输出将不再是正弦信号，而包含有各种谐波分量，发生非线性畸变。

5）混沌

非线性系统运动的特殊性

不满足叠加原理—线性系统理论原则上不能运用(区别）

稳定性问题—不仅与自身结构参数，且与输入，初条件有关，平衡点可能不惟一，可以稳定且可以在多个平衡点稳定，可能不稳定—发散、衰减等nonlinear自振运动—非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡发生频率激变—频率响应的复杂性—跳频响应，倍/分频响应，组合振荡非线性系统分析方法：1）非线性系统的运动比线性系统复杂得多；2）分析线性系统的分析方法不能用于分析非线性系统；3）非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止非线性微分方程没有成熟的解法；非线性控制系统的分析方法小扰动线性化非线性系统研究方法仿真方法相平面法描述函数法波波夫法反馈线性化法微分几何方法全数字仿真半实物仿真7.2常见非线性及其对系统运动的影响

继电特性(relaycharacteristic)、死区(deadzone)、饱和(saturation)、间隙(gap)和摩擦(friction)典型非线性特性7.2.1非线性特性的等效增益

设非线性特性可以表示为X——输入，y——输出，等效增益(equivalencegain)，即7.2.2常见非线性因素对系统运动的影响图中k非线性特性等效增益，为线性部分的传递函数，为线性部分的开环根轨迹增益。当忽略或不考虑非线性因素，即k为常数非线性特性用等效增益表示非线性因素对系统运动的影响7-2典型非线性环节

1、饱和非线性输入输出比例系数等效增益饱和非线性对系统的影响：饱和非线性使系统在大信号作用下的等效增益下降，严重的可以使系统丧失闭环控制作用。

振荡性↓，s

↓限制跟踪速度晶体管特性2、死区

在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面有时人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。

稳态误差ess↑滤除小幅值干扰电动机，仪表3、滞环（非单值特性）滞环特性会使系统的相角裕度减小,动态性能恶化,甚至产生自持振荡。4、继电器特性继电器非线性会使系统产生自持振荡，甚至会导致系统不稳定，并且使稳态误差加大。开关特性抑制系统发散

7.3.1描述函数基本概念(1)周期函数y(t)的付氏级数展开7.3非线性元件的描述函数

因为本部分讨论的典型非线性特性都是奇对称的，所以，则输出的基波分量为y(t)=A0+∑(Ancosnωt+Bnsinnωt)n=1∞若A0=0，且当n>1时，Yn均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量！1111非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用N(A)表示：N(A)=N(A)ej∠N(A)=描述函数的定义ωtπ2πAx(t)△k0–△x(t)y(t)｛y(t)=0k(x-△)k(x+△）x>△x<△x<-△ψπ-ψ

ωtψy(t)π-ψωx(t)=Asinωtψπ-Ψπ2A>△y(t)≈B1sinωtN(A)=AB1+jA1B1A=

2kX(t)=Asinωt死区非线性环节的描述函数N(A)x(t)=Asinωty(t)ωt死区饱和非线性环节的描述函数y△akxx(t)ωtAψ1ψ2ψ2ψ1ψ1ψ2ψ1ψ20B1ò-A(y1=wwDwttdsin)tsink4y2pp2òpwwD-ttdsin)a(k4y2+x(t)=Asinωty(t)≈B1sinωtN(A)=AB1+jA1B1A=二、非线性特性的化简1）并联描述函数相加2）串联先求等效非线性特性，再求总的描述函数。例题1(补充)00k2=11k1=0.71017.3.3用描述函数法分析非线性系统1

基本假设①

结构上：N(X),G(j

)串联

②N(X)奇对称,y1(t)幅值占优

③G(j

)低通滤波特性好2稳定性分析用奈氏判据闭环频率特性对于线性系统，