2024-2025学年新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.5.3 平面与平面平行（教学用书）教案 新人教A版必修第二册

2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行（教学用书）教案新人教A版必修第二册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析《2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行（教学用书）》教案新人教A版必修第二册，主要讲述了平面与平面平行的判定与性质。本节课是学生在学习了平面几何的基础上，对立体几何的进一步拓展。通过本节课的学习，使学生掌握平面与平面平行的判定方法，理解平面与平面平行的性质，并能运用其解决一些简单的立体几何问题。同时，培养学生空间想象能力，提高其数学思维能力。核心素养目标本节课旨在培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学建模能力。在探究平面与平面平行的过程中，学生需要利用已有的平面几何知识，结合立体几何的实际问题，提升其空间想象能力。通过判定和性质的探讨，锻炼学生的逻辑推理能力，使其能够准确、严谨地分析和解决问题。同时，学生能够运用所学知识进行简单的数学建模，将理论应用于实践，提高解决实际问题的能力。在教学过程中，注重培养学生的团队合作意识，鼓励学生主动探究、勇于表达，提升其数学交流能力。重点难点及解决办法重点：

1.平面与平面平行的判定方法。

2.平面与平面平行的性质及其应用。

难点：

1.理解并掌握平面与平面平行的判定条件。

2.如何在实际问题中运用平面与平面平行的性质。

解决办法：

1.通过具体案例和实物模型，引导学生直观地理解平面与平面平行的判定方法。

2.利用多媒体课件和动画效果，展示平面与平面平行的判定过程，加深学生的理解。

3.提供丰富的练习题，让学生在实际问题中运用平面与平面平行的性质，巩固所学知识。

4.分组讨论和互助学习，鼓励学生相互解释和探讨，共同解决问题。

5.教师巡回指导，针对学生的不同困惑进行个别辅导，帮助其突破难点。教学资源1.软硬件资源：多媒体教室、白板、投影仪、计算器、几何模型、实物教具。

2.课程平台：教学用书、教学PPT、在线学习平台。

3.信息化资源：互联网、数学软件、教学视频、动画演示。

4.教学手段：讲解、示范、互动提问、小组讨论、练习讲解、实物操作、多媒体展示。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“平面与平面平行”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解平面与平面平行的基本概念。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

-作用与目的：帮助学生提前了解“平面与平面平行”课题，为课堂学习做好准备。培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“平面与平面平行”课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解平面与平面平行的判定方法和性质，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、实际操作等活动，让学生在实践中掌握平面与平面平行的判定和性质。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、实际操作等活动，体验平面与平面平行的判定和性质。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解平面与平面平行的基本概念和判定方法。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握平面与平面平行的判定和性质。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

-作用与目的：帮助学生深入理解平面与平面平行的基本概念和判定方法，掌握实际操作技能。通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据“平面与平面平行”课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与“平面与平面平行”课题相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

-作用与目的：巩固学生在课堂上学到的平面与平面平行的基本概念和技能。通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教学资源拓展1.拓展资源：

《立体几何初步》教学挂图：为学生提供直观的立体几何图形，帮助学生更好地理解平面与平面平行的概念和性质。

《立体几何实物模型》：让学生亲手操作模型，从不同角度观察和理解平面与平面平行的判定和性质。

《立体几何视频教程》：通过视频教程，为学生提供丰富的立体几何知识，帮助学生更好地掌握平面与平面平行的判定方法。

《立体几何动画演示》：利用动画演示，生动展示平面与平面平行的判定过程，提高学生的空间想象力。

《立体几何习题集》：提供大量与平面与平面平行相关的习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

2.拓展建议：

观看《立体几何动画演示》视频，加深对平面与平面平行判定过程的理解。

利用《立体几何实物模型》进行分组讨论，让学生自主探索平面与平面平行的性质。

完成《立体几何习题集》中的练习题，提高学生对平面与平面平行的应用能力。

研究《立体几何初步》教学挂图，引导学生从不同角度观察平面与平面平行的图形，提高空间想象力。

鼓励学生查阅相关书籍，如《立体几何教程》、《立体几何解析》等，丰富自己的立体几何知识。

邀请数学老师或专业人士进行讲座，为学生提供关于立体几何的深入讲解和实践经验分享。

组织学生参加数学竞赛或立体几何兴趣小组，激发学生对立体几何的兴趣和热情。

鼓励学生在日常生活中注意观察和思考立体几何问题，如家居设计、建筑施工等，提高学生的实际应用能力。典型例题讲解本节课我们将通过五个典型例题的讲解，帮助学生更好地理解和掌握平面与平面平行的判定和性质。

例题1：

已知平面α过点A(1,2,3)，平面β过点B(4,6,8)，且AB=5。证明平面α与平面β平行。

解：

根据平面与平面平行的判定方法，我们需要证明平面α与平面β的法向量垂直。

设平面α的法向量为n1=(x1,y1,z1)，平面β的法向量为n2=(x2,y2,z2)。

由于平面α过点A(1,2,3)，平面β过点B(4,6,8)，且AB=5，我们可以得到向量AB=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

由于n1和n2分别是平面α和β的法向量，所以n1·AB=0，n2·AB=0。

计算得：

n1·AB=x1*3+y1*4+z1*5=0

n2·AB=x2*3+y2*4+z2*5=0

由于AB不为零向量，我们可以分别取x1=1，y1=2，z1=3和x2=4，y2=6，z2=8，解得：

n1=(1,2,3)

n2=(4,6,8)

因此，n1和n2是垂直的，即平面α与平面β平行。

例题2：

已知平面α过点A(1,2,3)，平面β过点B(4,6,8)，且AB=5。求平面α与平面β的距离。

解：

根据平面与平面平行的性质，平面α与平面β的距离等于AB在平面β的法向量n2上的投影长度。

首先，我们已经求得平面β的法向量n2=(4,6,8)。

投影长度d=|AB|*cos(θ)

其中，θ为向量AB和n2之间的夹角。

由于n1和n2是垂直的，所以θ=90°，cos(θ)=0。

因此，d=|AB|*cos(θ)=5*0=0。

所以，平面α与平面β的距离为0，即它们是重合的。

例题3：

已知平面α过点A(1,2,3)，平面β过点B(4,6,8)，且AB=5。求平面α与平面β之间的角θ。

解：

根据平面与平面平行的性质，平面α与平面β之间的角θ等于向量AB和n2之间的夹角。

首先，我们已经求得平面β的法向量n2=(4,6,8)。

θ=cos^(-1)((AB·n2)/(|AB|*|n2|))

计算得：

AB·n2=(3,4,5)·(4,6,8)=3*4+4*6+5*8=12+24+40=76

|AB|=√(3^2+4^2+5^2)=√(9+16+25)=√50=5√2

|n2|=√(4^2+6^2+8^2)=√(16+36+64)=√116=2√29

θ=cos^(-1)(76/(5√2*2√29))=cos^(-1)(76/(10√2*√29))=cos^(-1)(76/(20√29))

计算得：

θ≈cos^(-1)(0.312)≈70.53°

所以，平面α与平面β之间的角θ约为70.53°。

例题4：

已知平面α过点A(1,2,3)，平面β过点B(4,6,8)，且AB=5。求平面α与平面β的交线方程。

解：

要找到平面α与平面β的交线方程，我们需要找到一个点C，使得C同时位于平面α和平面β上。

设点C的坐标为(x,y,z)，则向量AC和向量BC分别可以表示为：

AC=(x-1,y-2,z-3)

BC=(x-4,y-6,z-8)

由于AC和BC都在平面α和平面β上，它们必须同时满足平面α和平面β的方程。

平面α的方程可以表示为：

n1·AC=0

即(1,2,3)·(x-1,y-2,z-3)=0

化简得：

x+2y+3z-6=0

平面β的方程可以表示为：

n2·BC=0

即(4,6,8)·(x-4,y-6,z-8)=0

化简得：

4x+6y+8z-88=0

将两个方程联立，得到平面α与平面β的交线方程：

x+2y+3z-6=0

4x+6y+8z-88=0

例题5：

已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，求证平面CC'DD'与平面ABCD平行。

解：

由于ABCD-A'B'C'D'是正方体，所以CC'DD'是正方体的一个对角面。

我们知道正方体的对角面是矩形，且对角线互相垂直。

因此，向量CC'和向量DD'是垂直的，即CC'·DD'=0。

同时，向量CC'和向量DD'的长度相等，即|CC'|=|DD'|。

所以，向量CC'和向量DD'满足平面与平面平行的判定条件，即平面CC'DD'与平面ABCD平行。板书设计-①平面与平面平行的判定方法：法向量垂直

-②平面与平面平行的性质：距离为0，即重合

-③平面与平面平行的角θ：等于向量夹角

2.板书设计应具有艺术性和趣味性

-①利用图形、颜色、符号等元素，增加板书的美观性

-②设计有趣的板书布局，如将平面α、平面β等元素以图形形式展现

-③结合生活中的实例，如家居设计、建筑施工等，增加板书的实用性

3.板书设计应激发学生的学习兴趣和主动性

-①引导学生积极参与课堂讨论，分享自己的见解和经验

-②设置互动环节，如小组竞赛、角色扮演等，增加学生的参与感

-③鼓励学生提出问题，激发学生对知识的探索欲望教学反思今天，我完成了高中数学第八章立体几何初步中的平面与平面平行这一节的教学。回顾整个教学过程，我有一些思考和感悟。

首先，我认为课堂的导入部分是非常重要的。我通过一些实际生活中的例子，比如建筑物的墙面之间的平行关系，来引入平面与平面平行的概念，这样可以帮助学生更好地理解这个抽象的概念。同时，我也利用了一些实物模型，让学生直观地感受到平面与平面平行的关系。

其次，在讲解判定方法和性质的时候，我尽量使用了直观的教学手段，比如通过多媒体展示