2021-2022学年人教A版必修5-3.2-一元二次不等式及其解法-教案3-

课题：一元二次不等式及其解法教学目标：1、知识与技能目标：〔1〕理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系.〔2〕熟练掌握一元二次不等式的解法.〔3〕掌握含参数的一元二次不等式的解法.〔4〕培养学生数形结合的能力，掌握分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、过程与方法目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.3、情感态度价值观目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。教学重难点：1、一元二次不等式的解法及其步骤.2、含参数的一元二次不等式的解法.教学方法：情景教学法、问题教学法、引探式教学法等。教学过程：一、一元二次不等式的概念观察以下不等式：(1)-x2>0；(2)－x2+2x≤0；(3)x2－5x-6>0.问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？共同点：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.考前须知定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.二、一元二次不等式的解法[提出问题]：一元二次函数y＝x2－5x，一元二次方程x2－5x＝0，一元二次不等式x2－5x＞0.问题1：试求二次函数与x轴交点坐标提示：(0,0)、(5,0)问题2：一元二次方程根是什么？提示：x1＝0，x2＝5.问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？提示：交点的横坐标为方程的根．问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？提示：x＞5或x＜0.问题5：能否利用问题4得出不等式x2－5x＞0，x2－5x＜0的解集？提示：能，不等式的解集为{x|x＞5或x＜0}，{x|0＜x＜5}．[探索新知]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0对应的方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|x<x1))或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x1<x<x2))∅∅典型例子[例1]解以下不等式：〔1〕x2-4x＋3＞0；〔2〕x2－4x－5≤0；〔3〕－eq\f(1,2)x2＋3x－5＞0；〔4〕－2x2＋3x－2＜0.[解](1)因为Δ＝42－4×1×3＝4＞0，所以方程x2-4x＋3＝0有两个不等实根x1＝3，x2＝1又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞3，或x＜1}．原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(4)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解一元二次不等式的一般步骤：(1)计算相应一元二次方程的判别式；(2)根据判别式说明方程有没有实根，如果有，求出相应的一元二次方程的根。根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【随堂演练】1．解以下不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}．(3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝eq\f(2,3).结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠eq\f(2,3)}.解含参数的一元二次不等式[例2]解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.[解]方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，那么当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；当a＝－1时，原不等式解集为∅；当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．解含参数的一元二次不等式：(1)假设二次项系数含有参数，那么需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)假设求对应一元二次方程的根需用公式，那么应对判别式Δ进行讨论；(3)假设求出的根中含有参数，那么应对两根的大小进行讨论．四、一元二次不等式与相应的方程的关系[例3]关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．[解]∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．由韦达定理有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2，))代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.由2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0