2021人教A版数学选择性必修第一册第四章数列（能力提升）单元测试（含解析）

第四章数列单元检测（能力提升）

注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题

一、单选题

1.已知等差数列｛4｝的公差为2,若%,生，4成等比数列，则生二（）

A.-4B.-6C.-8D.-10

,0,0

2.设正项等比数列｛凡｝的前〃项和为S“，2530-（2+l）520+S10=0,则公比4等于（）

111c

A.-B.-C.-D.2

234

,、—S,,〃+5%

3.已知等差数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为5〃和（，且十二斤=丁则才=（）

'n"6

6121816

A.-B.—C.—D.—

7112521

4.若数列｛4｝满足：4=19,4+1二q「3（〃wN"），而数列｛4｝的前〃项和最大时，〃的值为（）

A.6B.7C.8D.9

5.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，

它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一

个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音,

使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中4,生，…，63表示这些半音的频率，它们

满足log2虫=1（，=1,2,…,12）.若某一半音与D#的频率之比为次，则该半音为（）

频率a\生〃3*%4%%%4。%〃I2

半音CcnDD"EF尸GG#AA*BC（八度）

A.F*B.GC.G#D.A

6.若数列｛〃“｝满足：对任意的〃£N*（〃23）,总存在z,jsN",使an=4+勺。工&v,

则称｛叫是“F数列现有以下数列也〃｝：①=2〃；②%=心③4=3"；④勺=（上乎）；

其中是产数列的有（）.

A.①③B.②©C.②③D.①©

7.已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是2°，接下来的

两项是2°、2、再接下来的三项是2°、2、2?，以此类推，若N>100且该数列的前N项和为2

的整数箱，则N的最小值为（）

A.440B.330C.220D.110

8.等差数列4，。2,…，％（〃N3,〃£N'），满足

I"|+|?1+…+1?I=I4+11+16+11+…+1q+11=1%-2|+|出一2|+…+|4-2|=2019

，则（）

A.〃的最大值为50B.八的最小值为50

C.〃的最大值为51D.〃的最小值为51

二、多选题

9.首项为正数，公差不为0的等差数列｛atl｝,其前〃项和为S”，现有下列4个命题中正确的有（）

A.若S[o=0,则Sz+Sg=0；

B.若54=兀，则使S〃>0的最大的〃为15

c.若$5>0,SI6<0,则｛S〃｝中$8最大

D.若S7Vs8,则S8Vs9

10.设等比数列｛4｝的公比为其前〃项和为5,，前〃项积为7；,并且满足条件4>1,

生即）>1，马二<°则下列结论正确的是（）

A.0<^r<lB.>1

C.S”的最大值为SoD.7；的最大值为4

2

11.意大利数学家列昂纳多・斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数

列被誉为是最美的数列，斐波那契数列｛4｝满足：4=1,%=1，q

若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前〃项所占的格子的面积之

和为s“，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为C”，则下列结论正确的是（）

A.sn+l=^+[+an+canB-4+4+/++凡=%+2一1

C.4+%+6+D.4（%_%）=44_2«用

12.如图，已知点后是4BC力的边AB的中点，居（〃cN"）为边8C上的一列点，连接A工交8力

于G“，点G,（〃tN*）满足6,。=%/&/-2（2q+3）6”石，其中数列｛4｝是首项为1的正项

数列，S”是数列｛q｝的前〃项和，贝!下列结论正确的是（）

A.%=13B.数列｛《,+3｝是等比数列

C.〃“=4〃-3D.S“=2"|-〃-2

三、填空题

13.已知数列｛q｝满足4=1,。用则%）=.

14.设数列｛q｝的前〃项和为S”，若《=-—且4=一:，则一一=________.

SnI*J口+12»019

15.已知函数/（司=黄7（xwR）,正项等比数列｛q｝满足60=1，贝U

）+/（/〃4）+...+于（1吗）等于.

16.如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,

4,6,5,10,记其前几项和为S.,则$21

四、解答题

17.在①对任意〃>1,满足S〃+I+S〃_|=2(S“+1),②S〃+]-2=S“+〃“，③S〃=nan+｝-72(72+1)

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：已知数列｛q｝的前〃项和为S”，出=4,,若数列｛%｝是等差数列，求数列｛《,｝的

通项公式；若数列｛4｝不一定是等差数列，说明理由.

4

18.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S.,q=l,且S3=202+1.

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)若数列｛叫为递增数列，数列也｝满足勿=杯」(〃£4)，求数列或的前〃项和小

(3)在条件(2)下，若不等式力/北一3；1〃+”<()对任意正整数〃都成立，求4的取值范围.

19.设数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足4=2,4X=2S“+3”(〃£N.).

(1)求5“(用〃表示);

S.S,S3n5

(2)求证：当〃之2时，不等式一+p+LT+—n-三成立.

%s2%27

20.市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本

金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②

等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7

月7口贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.

已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.

（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还

2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；

（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已

知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；

（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.

参考数据：LOCH?」。。2.61.

6

21.已知数列｛q｝满足q=g，4讨=意7，〃cN・

(1)若;1=1.

①求数列｛〃”｝的通项公式；

〃(〃+5)

②证明：对V〃EN*，aaa+aaa++《"〃+〃+：

A23234M-12(〃+2)(〃+3)

壶+1

(2)若4=2,且对W〃wN・，有证明：c

22.已知数列｛4｝的前〃项和为S”，q=l,且％为与与S2的等差中项，当〃N2时，总有

2S”「3S”+Si=0.

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）记①为在区间（0,4m[wM）内的个数，记数列｛（一1）'"可｝的前拉项和为叱”，求

、n，

W

“20・

8

【新教材】2021人教A版数学选择性必修第一册

第四章数列单元测试(解析版)

学校:姓名：班级：考号：

注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题

一、单选题

1.已知等差数列｛4｝的公差为2,若外,%，%成等比数列，则出=()

A.-4B.-6C.-8D.-10

【答案】B

【解析】

【分析】

把火，。4用%和公差2表示，根据4，%，对成等比数列，得到

解得.

【详解】

解：因为等差数列｛〃“｝的公差为2,若%，％，4成等比数列，

2

=a｝a4

即(q+4)2=4(%+6)

解得4=-8

故选：B

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.

,O,O

2.设正项等比数列伍"的前〃项和为S.,2S3O-(2+1)S2O+S10=0,则公比4等于()

11

A--B.c.-D.2

34

【答案】A

【解析】

【分析】

S^o—S201

由条件可得;°_：。=旅即可求出0

—^10N

【详解】

因为21°53。一(21°+1)52。+5|0=0,所以210(030—S2G)—(S2G—，。)=0

山i、［Sw-§20_1Hr,々21+々22++030_„101

所以《—［一彳而，即—;—:—；——q2io

SR一‘u2〃”+avl++a”

因为%>0,所以q=；

故选：A

【点睛】

本题考查的是等比数列的知识，考查了学生的转化能力，较简单.

S〃+5a.

3.己知等差数列｛4｝,｛〃｝的前〃项和分别为S〃和7；,且亍二~~7,则,=()

2”14

6121816

A.-B.—C.D.——

7112521

【答案】A

【解析】

【分析】

由条件可设Sn=kn(n+5),Tn=kn(2n-1),然后计算出的和优即可.

【详解】

因为等差数列｛4｝,｛勿｝的前"项和分别为5“和7；,且关3

所以可设5“=如(〃+5),Tn=kn(2n-1),

a-,6

所以。7=S7-S6=18k,bft=Tf>-Ti=2\kt所以丁=,.

故选：A

【点睛】

本题考查的是等差数列前项和的特点，属于基础题.

4.若数列｛〃〃｝满足：％=19q+|=4一3(〃£N)，而数列｛4｝的前〃项和最大时，〃的值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

方法一：

Van+1=an-3,

io

・』+「an=-3(ncN*),

・•・数列｛aj是首项为19,公差为-3的等差数列.

milcinn(n-l)3,413(41V1681

则Sn=19n+-----x(-3)=——rr+—n=——n----H------------

2v722216J24

所以n=7时，Sn取最大值.选B.

方法二：

••&+产a》,

-,-an+1-an=-3(neN*),

・♦・数列｛aj是首项为19,公差为-3的等差数列.

/.an=\9-3(/1-1)=-3n+22,

・•・当〃47时，。〃>0；当〃之8时，见<。.

所以n=7时，S。取最大值.选B.

点睛：求等差数列前〃项和最值的常用方法：

①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

③I等等差数列的前〃项和S〃=A/+加（A、6为常数）看作关于项数〃的二次函数，根据二次函数

的性质求最值.

5.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,

它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一

个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音,

使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中4,电，…，43表示这些半音的频率，它们

/\12

满足Iog2也=1（，=1,2,…,12）.若某一半音与D#的频率之比为啦，则该半音为（）

频率%生%牝。6%A%4。%%小

半音CC"DD"EF尸GG#AA/BC（八度）

A.F*B.GC.G#D.A

【答案】B

【解析】

【分析】

利用对数与指数的转化，得到数列4M2,…，《3为等比数列，公比g=25，然后求得所求半音对应

的数列的项数，从而得到答案.

【详解】

依题意可知q>0(〃=1,2,...,13).

(\12/\121

由于对。2…,，％3满足log2—=1(/=1,2,...,12),则也=2,二.也=2日，

I4JI"生

所以数列4,4，…，43为等比数列，公比q=2上，£>/对应的频率为。…题目所求半音与O#的频率

2(_i_\4

之比为#5=2^=2>2,

\/

所以所求半音对应的频率为%212=%，即对应的半音为G.

\/

故选：B.

【点睛】

本题考杳等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题.

6.若数列｛4｝满足：对任意的〃£N，(〃N3),总存在/,/eN*,使an=q+a.(i^j,i<nj<n)t

则称｛an｝是“F数列”.现有以下数列㈤｝:①%=2〃；②可="；③4=3"；④%=(与；

其中是尸数列的有().

A.①@B.②④C.②③D.①④

【答案】D

【解析】

【分析】

利用特殊值的方法可以否定②③，再根据通项公式的特点证明①④即可

【详解】

①％=2,厕q=2,%=2(〃-1)二2〃-2,则为=4+an_1(〃23),故①是“尸数列”；

②=〃'则6=3?=9、若an=4+%(iw<n)，则i,j只能是1,2,但

12

22a

=1=1,tz2=2=4，此时/。+2，故②不是“F数列”；

③=3",则。3=3'=27,若4=4十勺只能是1,2,但q=3,4=32=9,

此时％工4+a2，故③不是“F数列”；

(此3),故④是“尸数列”

故选：D

【点睛】

本题考查数列的通项公式的应用,考查为新定义的理解，考查分析阅读能力，考查推理论证能力

7.已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是2°，接下来的

两项是2°、2、再接下来的三项是2°、2、2?，以此类推，若N>100且该数列的前N项和为2

的整数塞，则N的最小值为()

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】

【分析】

把题设中的数列分成如下的组：(1),(1,2),(1,2,4),(1,2,4,8),,记前上组的和为■，算出［后

结合前N项和为2的整数嘉可得N的最小值.

【详解】

把题设中的数列分成如下的组：(1),(1,2),(1,2,4),(1,Z4,8),,记前上组的和为，。

则(=1+(1+2)++(1+2+4++2”)

=1+(22-1)++(2A-1)=2A+,-^-2.

令1+2+3++左>100即2(&+1)>200,故攵之14.

故当N>100时，数列至少包括前13组且含有第14组的前9个元素.

设前N项和为2的整数寡且第N项为第k组的第I个元素，则N=丝二D+/,

2

且前N项和SN=£T+1+2++2^=2k-k-2+21,其中k>\4.

下证：当AN14时，总有2J>2.

记g(k)=2=—攵，则当&N14时，有g(攵)一g("l)=2"2-i>0,

故｛g(初为单调增数列，而g(14)=2"-14>0,故g(Z)Ng(14)>0即2->h

所以2"-2-2+2，>2k-l+2*7-2>2z,2/-％—2+2,<2"+2"=2日，

由5处为2的整数幕，故S'=2",从而4+2=2,，

当左=14时，/=4,与/210矛盾；

30x29

当上=30时.，1=5,此时N=------+5=44(),

2

故选：A.

【点睛】

本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前〃项和的问题，一般采用计算

“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数需的形

式，从而确定和的表达式，本题属于难题.

8.等差数列4M2,…，凡(〃之3,〃WN)满足

1〃11+1/1+…+14I=+1|+16+1|+…+U+1|=Iq-2|+|出-21+…+|〃"一2|=2019

，则()

A.〃的最大值为50B.〃的最小值为50

C.〃的最大值为51D.〃的最小值为51

【答案】A

【解析】

【分析】

,、[a.,>0

首先数列｛4｝中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设J；k[。，由此判断出数列为偶数项，

利用配凑法和关系式的变换求出n的最大值.

【详解】

｛6｝为等差数列,则使

14

=|«i+1|+|«2+1|+---+|«„+1|=|^-2|+|a2-2|+---+|aZJ-2|=2019,所以

数列｛4｝中的项一定有正有负，不妨设％<0,4>0,因为

aa=

|^iH2h---nI|4+l|+|a2+lp----F|4-11=1^]—2|+|a2—2p---2|=2019为定

a...>0[a,.,-2>0....

值，故设〈八，且〈,八，解得d〉3.若q<0且4+1<0,则同一4+1=1,同理

1111

ak<0&+1<0

若l*o,则何+i卜闻=1.所以勿《.|-之河+1|=£何+1卜之同=攵，所以数列｛叫的

/=11=1/=*+1r=i+l

项数为24，所以

|q[+同+…+|。〃|=-«1-a2--ak+ak+l+ak+2++a2k

=-2(q+g++4)+(4+%+

=&2d=2019，由于d〉3,所以公1=2019>3公，解得公<673，故kV25/W50,故选A.

【点睛】

本小题主要考查数列的通项公式的应用，考查等差数列求和公式的应用，考查运算求解能力，考查

化归与转化的数学思想方法，属于难题.

二、多选题

9.首项为正数,公差不为0的等差数列｛4｝,其前〃项和为S“,现有下列4个命题中正确的有()

A.若S[0=。，则S?+Sg=。；

B.若S,=S12,则使5“>0的最大的n为15

C.若S15>0,sl6<0,则｛sj中$8最大

D.若S7Vs8,则S8Vs9

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.

【详解】

1()x9

A选项，若Eo=lOq+^—d=0,则2q+9d=0,

那么S?+Sg=（2q+d）+（8q+28d）=lOq+29d=-16dr0.故A不正确：

B选项，若SA=Sc，则％+4+L+4+《2=4（4+%）=。，

又因为4>0,所以前8项为正，从第9项开始为负，

因为Sy二（a；；%）=8（6+%）=。，

所以使Sn>0的最大的〃为15.故B正确；

C选项，若儿」51+4）=15%>0,q=16（4+%）=8（4+%）<0,

则例>0,。9<°，则｛S〃｝中Sg最大.故C正确；

D选项，若S?<Sg,则/>0,而S<,-S8=的，不能判断出正负情况•故D不正确.

故选：BC.

【点睛】

本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.

10.设等比数列｛q｝的公比为4,其前〃项和为s“，前〃项积为并旦满足条件q>l,

%4o>1，一」［<°则下列结论正确的是（）

60-1

A.0<<7<1B.al0an>1

C.S“的最大值为A。D,7；的最大值为7；

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用等比数列｛%｝,得数列｛Igaj为等差数列，用等差数列的性质得出0和。的大小关系

【详解】

解：因为等比数列｛4｝的公比为4,由佝《。>1得4>。，所以数列｛1g%｝为等差数列，公差为

d=lgq,

由于4>1,>1,则4>0且得于4>0,Ig%+lg/o〉。,

16

〃。一1八

由-----；<°,得。9>1，4。<1，

4n—।

a—1

若则4>1，而4>1,则％=41d1>1,则为>1,«10>1,此时——7<°不成立,

所以9<1,所以Ovqvl,所以A正确；

由佝>1,«10<1,得lg%>O,lg4<0,又因为lgq>0,所以数列｛Igaj为递减数列，从第

10项开始小于零，故前9项和IgT；最大，即可7；的最大值为所以D正确，

因为lgqo+lg《i<0,所以即）知<1,所以B不正确,

因为Ovqvl,4>1,所以数列各项均为正数，所以S“没有最大值，所以C不正确，

故选：AD

【点睛】

此题考查等差数列与等比数列的性质和前"项和公式的应用，属于中档题

11.意大利数学家列昂纳多•斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数

列被誉为是最美的数列，斐波那契数列｛与｝满足：6=1，。2=1，4=qi+a“-2（〃N3,〃£N+）.

若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1,记前〃项所占的格子的面积

之和为S“，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c“，则下列结论正确的是（）

A.Sn+l=a^+an+canB.4+/+%++/=°”+2-1

C.4+%+6++出,1=%”一1D.4（。“一。2）=44_2.《网

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据题中递推公式，求出s“，c„,数列的前〃项和，数列的奇数项和，与选项对比即可.

【详解】

对于A选项，因为斐波那契数列总满足an=%+。〃一2(〃之3,〃£N)

所以,

生2=a2a2=4(%—卬)=出生-a2a},

a=aaaa

=a3a=/(。4~2)34~32，

aaaa

类似的有，a；=anan=%(a〃+i—)=n,i+\~nn-\»

累加得af+a1+aj++〃；=〃”•an_},

+a

由题知5W+I=d+d+d++WLi=%4+2=q，

故选项A正确，

对于B选项，因为q=q,出=。3-。1，%=%-。2，

类似的有%

累加得4+生+%++4=%+4川一4二g+2-1，

故选项B正确，

对于C选项，因为4=%,a3=a4-a2ta5=ah-a4,

类似的有42".|=。2〃-4吁2，

累加得4+。3++。2〃-1=4+a2n-%=4〃，

故选项C错误,

2

对于D选项，可知扇形面积’,二生含

故4(q,_q-)=4=»

故选项D正确，

故选：ABD.

【点睛】

本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质，属于一般题.

12.如图，已知点E是ABC力的边的中点，工(〃£N")为边8C上的一列点，连接AF“交BO

于G”,点G,(〃£N*)满足6O=a〃/G〃A—2(2«〃+3>GE，其中数列{4}是首项为1的正项

18

数列，s“是数列｛q｝的前〃项和，则下列结论正确的是（）

A.%=13B.数列｛丹+3｝是等比数列

C.—4??—3D.S'=2""一"一2

【答案】AB

【解析】

【分析】

化简得到&£>=（。川一应-3>G/-（2a〃+3>G〃B,根据共线得到。用一2勺-3二0,即

。出+3=2（。〃+3）,计算勺=2皿-3,依次判断每个选项得到答案.

【详解】

G.Q=1.G“A-2（24+3）［（G“A+GtlB）,

故GQ=（q川—〃一3）G.A—（24+3）G/,G“D,G”B共线,故。用一2。〃一3二0,

即4川+3=2（4+3）,4=1,故4+3=4x21,故〃“=2向一3.

%=24-3=13,4正确；数列｛%+3｝是等比数列，8正确；

%=2h一3,。错误；s=4^^-3〃=2"+2-3〃-4,故O错误.

“1-2

故选：AB.

【点睛】

本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应

用能力.

三、填空题

13.已知数列也｝满足4=1,%+L系，（"N*）,则。2。=.

【解析】

【分析】

利用已知条件证得数列《一1卜是等差数列，由此先求得1一，再求得/()•

qj"20

【详解】

依题意数列｛为｝满足q=1,q+I=B^5WN"),

11c

所以一=一+2,

—4

11,

所以数列《一卜是以一二1为首项，公差为2的等差数列，

所以-^-=1+19x2=39no”=工.

出039

故答案为：—

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系求数列的项，属于基础题.

14.设数列｛4｝的前〃项和为S“，若[([-1]=」一(〃£.),且4二一4，则——=_______.

“S”J4+12>2019

【答案】-2020

【解析】

【分析】

变形可得一—一!二一1，说明

用。用=s〃x—s〃，代入已知等式，得S“M—S”=S“+|-S〃，

，+1，[Sn

是等差数列，求其通项公式，可得「的值.

^2019

【详解】

1f111

a”+i=S〃+i—S",--1=-----=-一二^-，整理可得S“+[-S“=S“+i・S",

3八3“//+i3"+i一，

则S,1即^_一]=-1,

•W+l%%+1%+13〃

20

111

所以，是以T为公差的等差数列，又丁=一二一2，

=-2+(w-1)(-1)=-(/?+1),则一!一=_2U20.

S0,^2019

故答案为：-2020.

【点评】

本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题.

15.已知函数“X)二黄工，(XG/?),正项等比数列｛〃〃｝满足须=1,则

/(历4)+/(/“)+...+/(/心)等于

【答案】々99

2

【解析】

试题分析：因为/(%)=黄V］，所以f(x)+/(_x)=§、V+黄3币T＞=1.因为数列｛〃“｝是等比数

歹|J,所以4%=42a98==々49%1=3)=1，即

In"+ln〃99=Ina2+ln%8==lna49+ln(75l=0.设

S99=/(Inai)+/(Ina2)+/(Inay)++/(lna99)①，又S9=/=%)珈GS如

+...+/(lnaI)②，①+②，得2s99=99,所以为二万.

考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和.

【知识点睛】如果一个数列｛4｝,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和(都相等，为定

值)，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒

序相加法.如等差数列的前〃项和公式即是用此法推导的.

16.如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3,

4,6,5,10,…，记其前〃项和为S,,则“

【答案】361

【解析】

【分析】

〃+4+4〃+3

将〃按照奇偶分别计算%:当〃为偶数时，a=--；当〃为奇数时，a

nn8

11个10个

S”=3|+。3+..%)+(。2+。4+••为)"算得到答案，

【详解】

解法一：根据杨辉三角形的生成过程，

当〃为偶数时，。”二学，

当〃为奇数时，4=1,2=3,=q+〃〃-1”

2

CQn+\n+4/24-3

o,一q=2,3%=3,an-an_2=—,an=——-——

Lo

“个10个

S2i=(q+。3+…%)+(%+4+••/)

=(l+3+6+...+66)+(3+4+5+...4-12)=286+75=361

2

解法二：当〃二26一1(mwN")时，〃”=*=皿1+加nr

2

当〃=2m(mwN.)时，an=a2m=tn+2,

11个io个

S21=(q+a3+...〃2])+(〃2+4+•••%))

12c2112、c110,(34-12)

=­[r(/1+2+...11)+(Z1+2+…+11)]+---------

22

111x12x23+-xH211Z75253+33+75=361

=­x+=

2622

【点睛】

本题考查了数列的前N项和，意在考查学生的应用能力和解决问题的能九

四、解答题

22

17.在①对任意/2>1,满足Sn+l+S〃_]=2（Sn+1）,②S“+|-2=S〃+a”，③S〃=叫用一〃（〃+1）

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：已知数列&｝的前〃项和为S“，生=4,,若数列｛q｝是等差数列，求数列｛q｝的

通项公式；若数列｛4｝不一定是等差数列，说明理由.

【答案】选择条件①，数列｛〃〃｝不一定是等差数列，理由见解析；选择条件②，数列｛4｝的通项公

式为《,=2"；选择条件③，=2+2（〃-1）=2儿

【解析】

【分析】

若选择条件①，可得S"1-S“=S〃-S“T+2,即见a”=2,由于无法确定外的值，即可判断；

若选择条件②：可得。2-q=2,〃tN・，再根据等差数列的通项公式计算得解；

若选择条件③：利用4=1。。可得4+1-4=2,HGN4.再根据等差数列的通项公

式计算得解；

【详解】

解：选择条件①：

因为对任意〃〉1,满足S〃+aS“一|=2（S〃+l）,

所以Sn+i-Sn=Sn-Sn_t+2,所以％=2.

因为无法确定4的值，所以见一4不一定等于2.

所以数列｛a,,｝不一定是等差数列.

选择条件②：

由S“+i-2=S”+%,得5〃+]-S〃一=2,即。*-an=2，N*.

又因为%=4,所以4=2.

所以数列｛吗是等差数列，其公差为2.

因此，数列｛为｝的通项公式为4=2”.

选择条件③：

因为S”=陷川一

所以S〃_]=(n-l)aw-n(n-l)(n>2),

两式相减得an=-l)a〃一2〃(〃>2),BPan+i-an=2(〃>2).

又S|=4-2,即生一4=2,所以能“一4=2,〃GN*，

又〃2=4,生一4=2,所以4=2：

所以数列｛为｝是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以4=2+2(〃-1)=2〃.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式的计算，根据S“求通项公式，属于基础题.

18.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，4=1,且S'3=2S2+1.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝为递增数列，数列｛〃｝满足n二号二(〃cN*),求数列么的前〃项和小

(3)在条件(2)下，若不等式3/1〃+"<0对任意正整数〃都成立，求2的取值范围.

【答案】(1)当夕=2时：氏=2小；当4=一1时：a„=(-\y-[

【解析】

【分析】

<1)直接利用等比数列公式得到答案.

(2)利用错位相减法得到答案.

2fl—1

(3)将不等式力?7；-3；1〃+2<0转化为2,，根据双勾函数求数列的最大值得到答案•

2〃〜+3n

【详解】

2

(1)S3=2s2+1=%+axq+axq-24+2a闯+1=q=2,q=-l

当4=2时：an=

nl

当q=—1时：an=(-\)-

(2)数列｛凡｝为递增数列，。〃=22,^=-^=(2n-l)(-r

T=lx—+3x(-)2+5x(—)34-...+(2M-1)(—)rt

2222

24

5=吗岭+5吗、.*2〃一吗严

两式相加，化简得到

+,

/=92x夕+2x夕+2x(1/+...+2x/一(2〃—1)(1)"

Z,=3一(；尸一(2”1)(夕=3一竽

(3)7；,=3-(1)fl-2-(2n-1)(1)H<3

bQI)])”

2w-l_2n-l