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文档简介

2025届上海市大团中学高考仿真卷数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设双曲线的一条渐近线为,且一个焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的方程为()A. B. C. D.2.己知集合,,则()A. B. C. D.3.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门。该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题模块。某人在学习过程中,“阅读文章”不能放首位,四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有()A.60 B.192 C.240 D.4324.已知函数在区间上恰有四个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.5.已知向量,则()A.∥ B.⊥ C.∥() D.⊥()6.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是()A. B.2C. D.7.数列的通项公式为.则“”是“为递增数列”的()条件.A.必要而不充分 B.充要 C.充分而不必要 D.即不充分也不必要8.已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则的最小值为()A. B. C.8 D.69.设全集U=R,集合,则()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}10.已知数列满足,且,则的值是()A. B. C.4 D.11.已知正方体的棱长为2,点为棱的中点,则平面截该正方体的内切球所得截面面积为()A. B. C. D.12.已知是虚数单位,则复数()A. B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在编号为1,2,3,4,5且大小和形状均相同的五张卡片中,一次随机抽取其中的三张,则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.14.实数,满足,如果目标函数的最小值为,则的最小值为_______.15.已知两个单位向量满足,则向量与的夹角为_____________.16.如图,从一个边长为的正三角形纸片的三个角上,沿图中虚线剪出三个全等的四边形,余下部分再以虚线为折痕折起,恰好围成一个缺少上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底,则所得正三棱柱的体积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评,该公司随机调查了100颗芯片,并将所得统计数据分为五个小组(所调查的芯片得分均在内),得到如图所示的频率分布直方图,其中.(1)求这100颗芯片评测分数的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替).(2)芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分,则认定该芯片不合格;若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分,则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测,二测时,2个工程手机的评分都达到11万分,则认定该芯片合格;2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立,并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元,每颗芯片若被认定为合格或不合格,将不再进行后续测试,现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片?请说明理由.18.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败.晋级成功晋级失败合计男16女50合计(1)求图中的值;(2)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关?(3)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为,求的分布列与数学期望.(参考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02419.(12分)是数列的前项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列中最小的项.20.(12分)若正数满足,求的最小值.21.(12分)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.(Ⅰ)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.22.(10分)已知数列和,前项和为,且,是各项均为正数的等比数列,且,.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

求得抛物线的焦点坐标,可得双曲线方程的渐近线方程为,由题意可得,又,即,解得,,即可得到所求双曲线的方程.【详解】解:抛物线的焦点为可得双曲线即为的渐近线方程为由题意可得,即又,即解得,.即双曲线的方程为.故选:C【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,属于中档题.2、C【解析】

先化简,再求.【详解】因为,又因为,所以,故选:C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算,还考查了运算求解能力,属于基础题.3、C【解析】

四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法.注意按“阅读文章”分类.【详解】四个答题板块中选三个捆绑在一起,和另外一个答题板块用插入法,由于“阅读文章”不能放首位,因此不同的方法数为.故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,考查捆绑法和插入法求解排列问题.对相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法.4、A【解析】

函数的零点就是方程的解,设,方程可化为,即或,求出的导数,利用导数得出函数的单调性和最值,由此可根据方程解的个数得出的范围.【详解】由题意得有四个大于的不等实根,记,则上述方程转化为,即,所以或.因为,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在处取得最小值,最小值为.因为,所以有两个符合条件的实数解,故在区间上恰有四个不相等的零点,需且.故选:A.【点睛】本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想,函数零点转化为方程的解,方程的解再转化为研究函数的性质,本题考查了学生分析问题解决问题的能力.5、D【解析】

由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,两个向量平行、垂直的性质,得出结论.【详解】∵向量(1,﹣2),(3,﹣1),∴和的坐标对应不成比例,故、不平行,故排除A;显然,•3+2≠0,故、不垂直,故排除B;∴(﹣2,﹣1),显然,和的坐标对应不成比例,故和不平行,故排除C;∴•()=﹣2+2=0,故⊥(),故D正确,故选:D.【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算,两个向量平行、垂直的性质,属于基础题.6、A【解析】

先根据已知求出原△ABC的高为AO=,再求原△ABC的面积.【详解】由题图可知原△ABC的高为AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7、A【解析】

根据递增数列的特点可知,解得,由此得到若是递增数列,则,根据推出关系可确定结果.【详解】若“是递增数列”,则,即,化简得:,又,,,则是递增数列,是递增数列,“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选:.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断,涉及到根据数列的单调性求解参数范围,属于基础题.8、C【解析】

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简,结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,半焦距为,则,,设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得:,则当且仅当时,取等号.故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式,属于中等题.9、C【解析】

解一元二次不等式求得集合,由此求得【详解】由,解得或.因为或,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合补集的概念和运算,属于基础题.10、B【解析】由,可得,所以数列是公比为的等比数列,所以,则,则,故选B.点睛:本题考查了等比数列的概念,等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用,试题有一定的技巧,属于中档试题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.11、A【解析】

根据球的特点可知截面是一个圆,根据等体积法计算出球心到平面的距离,由此求解出截面圆的半径,从而截面面积可求.【详解】如图所示:设内切球球心为,到平面的距离为,截面圆的半径为,因为内切球的半径等于正方体棱长的一半,所以球的半径为,又因为,所以,又因为,所以,所以,所以截面圆的半径,所以截面圆的面积为.故选:A.【点睛】本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算,难度一般.任何一个平面去截球,得到的截面一定是圆面,截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.12、A【解析】

根据复数的基本运算求解即可.【详解】.故选:A【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先求出所有的基本事件个数,再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数,利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.【详解】一次随机抽取其中的三张,所有基本事件为:1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5;1,4,5;2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5;共有10个,其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件,因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为:.故答案为:.【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式,属于基础题.14、【解析】

作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的最小值为,确定出的值,进而确定出C点坐标,结合目标函数几何意义,从而求得结果.【详解】先做的区域如图可知在三角形ABC区域内,由得可知,直线的截距最大时,取得最小值,此时直线为,作出直线,交于A点,由图象可知,目标函数在该点取得最小值,所以直线也过A点,由,得,代入,得,所以点C的坐标为.等价于点与原点连线的斜率,所以当点为点C时,取得最小值,最小值为,故答案为:.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题,在解题的过程中,注意正确画出约束条件对应的可行域,根据最值求出参数,结合分式型目标函数的意义求得最优解,属于中档题目.15、【解析】

由得,即得解.【详解】由题意可知,则.解得,所以,向量与的夹角为.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16、1【解析】

由题意得正三棱柱底面边长6,高为,由此能求出所得正三棱柱的体积.【详解】如图,作,交于,,由题意得正三棱柱底面边长,高为,所得正三棱柱的体积为:.故答案为:1.【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意翻折前后的不变量.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)预算经费不够测试完这100颗芯片,理由见解析【解析】

(1)先求出,再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数;(2)先求出每颗芯片的测试费用的数学期望,再比较得解.【详解】(1)依题意,,故.又因为.所以,所求平均数为(万分)(2)由题意可知,手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率.设每颗芯片的测试费用为X元,则X的可能取值为600,900,1200,1500,,,故每颗芯片的测试费用的数学期望为(元),因为,所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算,考查离散型随机变量的数学期望的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、(1);(2)列联表见解析,有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)分布列见解析,=3【解析】

(1)由频率和为1,列出方程求的值;(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率,计算晋级成功的人数,填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论;(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率,将频率视为概率,知随机变量服从二项分布,计算对应的概率值,写出分布列,计算数学期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知,解得;(2)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为,所以晋级成功的人数为(人),填表如下:晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关,根据上表数据代入公式可得,所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关;(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率为,将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,这人晋级失败的概率为0.75,所以可视为服从二项分布,即,,故,,,,.所以的分布列为:01234数学期望为.或().【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题,属于中档题.若离散型随机变量,则.19、(1);(2).【解析】

(1)由可得出,两式作差可求得数列的通项公式;(2)求得,利用数列的单调性的定义判断数列的单调性,由此可求得数列的最小项的值.【详解】(1)对任意的,由得,两式相减得,因此,数列的通项公式为;(2)由(1)得,则.当时,,即,;当时,,即,.所以,数列的最小项为.【点睛】本题考查利用与的关系求通项,同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20、【解析】试题分析:由柯西不等式得,所以试题解析:因为均为正数,且,所以.于是由均值

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