2024-2025学年河北省邯郸市永年实验中学八年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省邯郸市永年实验中学八年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共16小题，共38分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知mn≠0，则与nm的积为1的是(

)A.mn B.nm C.−m2.要使分式x+3x−2有意义，则x的取值应满足(

)A.x≠2 B.x≠−3 C.x=−3 D.x=23.若等式□a2+7a=1a+7A.a2+7a B.7 C.a+7 4.用整式x+1，4，π组成的代数式有4x+1，x+14，πx+1，x+1π，4π，π4A.2个 B.3个 C.4个 D.5个5.x=2是分式方程ax=1x−3A.2 B.−2 C.4 D.−46.下列分式中，是最简分式的是(

)A.22a−4 B.a2a2−2a 7.与分式a−ba+b相等的是(

)A.−a+b−a−b B.−a+ba−b C.−a−b8.计算(−ba)3A.ab3 B.−ab3 C.9.分式3aa2−b2的分母经过通分后变成A.6a(a−b)2(a+b) B.2(a−b) C.6a(a−b)10.某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为(a+1)2千克，B箱水果重量为(a2−1)千克(其中a>1)，两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是A.a+1a−1 B.1a+1 C.1a−111.表格第一列是王江化简分式x2−4x原式=①x+2=②x−2=③(x−2=−④(x+2A.④①② B.③①② C.③②① D.④②①12.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为(

)A.900x+1=900x+3×2 B.900x+113.如图，若ab=2，则表示a2−A.段① B.段② C.段③ D.段④14.下列命题的逆命题是真命题的有(

)

①对顶角相等；

②不相交的两条直线一定平行；

③等角的补角相等；

④如果|a|>|b|，那么a>bA.①和② B.①和③ C.②和③ D.③和④15.题目：若关于x的方程ax3x−9=123x−9+1无解，求a嘉嘉淇淇去分母得：ax=12+3x−9，

移项得：ax−3x=12−9，

合并同类项得：(a−3)x=3，

∵原方程无解，

∴该整式方程无解，

∴a−3=0，

解得a=3．去分母得：ax=12+3x−9，

移项，合并同类项得：(a−3)x=3，

当a≠3时，解得：x=3a−3，

∵原方程无解，∴x为增根，

∴3x−9=0，解得x=3，

∴3(

)A.嘉嘉对，淇淇错 B.嘉嘉错，淇淇对

C.两人都错 D.两人的答案合起来才对16.根据分式的性质，可以将分式M=m2−2m+1m2−1(m为整数)进行如下变形：M=m2−2m+1m2−1=m−1m+1=(m+1)−2m+1=1−2m+1，其中m为整数．A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对二、填空题：本题共3小题，共10分。17.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：______．18.观察下面的等式：第1个等式：11=12+12；第2个等式：12=13+16；第3个等式：13=14+112；第4个等式：14=119.已知关于x的分式方程xx−1−2=m1−x．

(1)若原分式方程有增根，则m=______；

(2)若原分式方程的解为非负数，则三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题9分)如图是某同学分式求值的错误过程．先化简，再求值：3−xx−4−x−44−x，其中x=解：原式=3−x(1)求原式正确的化简结果；

(2)老师说：“虽然该过程有错误，但最后所求的值是正确的.”求图中被污染的x的值．21.(本小题9分)

已知正整数a，b，c满足1a=1b+1c．

(1)当a=2，b=3时，求c的值；

(2)当b=a+122.(本小题9分)

将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为ab(b>a>0)．

发现再往杯中加入m(m>0)克糖，生活中的经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为a+mb+m______ab(填“>”“<”或“=”23.(本小题10分)

现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图1所示(a>0).某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为S1；图3为乙卡片，其面积记为S2．

(1)化简式子S1S2，并求当a=10时，该式子的值；

(2)当S124.(本小题10分)

嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分(■+2a2−2a+1)÷a+1a−1．

(1)嘉淇猜被墨水遮住的式子是1a−1，请代入原式化简，然后从−1，0，1中选取一个你喜欢的作为a25.(本小题12分)

图1和图2是冀教版七年级下册“第九章三角形”教材片段．请根据图1给出的图示(过点C作ED//AB)，对“三角形内角和等于180°”说理．

作平行线是把角从一个位置“转移”到另一个位置的重要手段．图1三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角(exteriorangle)

如图2，∠ACD是△ABC的一个外角．

图2(1)对于图1的练习题，嘉淇将其改为证明格式如下，请帮她补充完整；已知：在△ABC中，直线DE经过点C，且DE/​/AB.求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．

证明：∵DE//AB(已知)，

∴∠A=______，

∠B=∠BCE(______)，

∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°(______)，

∴______+∠ACB+______=180°(等量代换)．(2)定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.请结合图2证明上述定理，要求写出求证和证明过程．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角.求证：______．

证明：26.(本小题13分)

2023年杭州第19届亚运会的吉祥物由琮琮、莲莲、宸宸三个可爱的机器人组成，他们的成团出道的组合名叫“江南忆”，出自诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”.某校准备举行亚运会知识竞赛活动，购买30套吉祥物作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元，若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同．

(1)求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；

(2)若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，并且总费用不得超过2400元，试求该校一共有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，直接写出该校购买30套吉祥物的最低费用．

参考答案1.A

2.A

3.D

4.A

5.B

6.C

7.A

8.B

9.C

10.D

11.C

12.C

13.A

14.C

15.D

16.C

17.两直线平行，同位角相等

18.130

119.(1)−1；

(2)m≥−2且m≠−1．

20.解：(1)3−xx−4−x−44−x

=3−xx−4+x−4x−4

=−1x−4；

(2)由题意得，−1x−421.解：(1)当a=2，b=3时，

12=13+1c，

解得c=6，

经检验，c=6是方程的解，

∴c的值为6；

(2)当b=a+1时，

1a22.(1)>；

(2)证明：a+mb+m−ab=b(a+m)b(b+m)−a(b+m)b(b+m)=bm−amb(b+m)=m(b−a)b(b+m)，

∵m>0，b>a>0，

∴b−a>0，b+m>0，

即m(b−a)b(b+m)>0，

∴a+mb+m−ab>0，

∴a+mb+m>ab．

23.解：(1)24.解：(1)(1a−1+2a2−2a+1)÷a+1a−1

=a−1+2(a−1)2÷a+1a−1

=a+1(a−1)2⋅a−1a+1

=1a−1，

∵a−1≠0，a+1≠0，

∴a≠1，a≠−1，

∴从−1，0，1中选取0作为25.(1)证明：∵DE//AB(已知)，

∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE(两直线平行，内错角相等)，

∵∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°(平角的定义)，

∴∠A+∠ACB+∠B=180°(等量代换)．

(2)∠A+∠B=∠ACD．

26.解：(1)设甲规格吉祥物每套x元，则乙规格吉祥物每套(x+20)元，

根据题意，得：700x=900x+20，

解得：x=70，

经检验，x=70是原方程的解且符合题意，

∴70+20=90(元)，

答：甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元；

(2)设乙规格吉祥物购买m套，总费用为w元，

根据题意，得：30−m≤2m，

解得：m≥10，

又∵w=70(30−m)+90m=20m+2100≤2400，

解得：m≤15，

∴10≤m≤15，

∵m为正整数，

∴m取10，11，12，13，14，15，

∴该校一共有6种方案，分别为：甲规格吉祥物购买20套，乙规格吉祥物购买10套；甲规格吉祥物购买19套，乙规格吉祥