2024-2025学年湖南省邵阳市邵东县创新高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年邵阳市邵东县创新高级中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|x>−32},N={x∈Z|−52A.{x|−32<x<1} B.{−2,−1,0}

C.{−1,0}2.已知命题p：∀x∈R，|x−1|<1，命题q：∃x∈R，x2−x+1<0，则(

)A.命题p和命题q都是真命题 B.命题p的否定和命题q都是真命题

C.命题q的否定和命题p都是真命题 D.命题p的否定和命题q的否定都是真命题3.已知a=log32,b=6A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b4.函数y=ln(exA. B.

C. D.5.使得“函数f(x)=7+2ax−x2在区间[−1,1]A.a≤−1 B.0<a≤3 C.−3<a<−1 D.−3≤a<06.苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550−1617)发明的对数及对数表(如表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)，则lgN=n+lga(0≤lga<1)，这样我们可以知道N的位数.已知正整数M31是35位数，则MN23451112131415lgN0.300.480.600.701.041.081.111.151.18A.3 B.12 C.13 D.147.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金(

)

附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1=m2L2，其中m1A.等于10g B.小于10g C.大于10g D.不确定8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=−14sinπx.若对任意x∈(−∞,m]，都有f(x)≥−32A.(−∞,94] B.(−∞,73]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=13x3A.f(x)有一个零点

B.f(x)的极小值为−53

C.f(x)的对称中心为(0,1)

D.直线y=−x−1是曲线10.已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为M，则下列说法错误的是A.M=⌀，则a<0，Δ<0

B.若M=(−1,3)，则关于x的不等式−cx2−bx−b>cx+4a的解集为(−∞,−2)∪(13,+∞)

C.若M={x|x≠x0,x0为常数}，且a<b，则a+4cb−a11.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x+3)+g(x)=3，f(x)−g(−1−x)=1，且g(−1)=2，g(x−1)为偶函数，则下列选项正确的是(

)A.函数g(x)的图象关于x=−1对称 B.f(2)=1

C.g(2)=0 D.k=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数y=f(12x+1)的定义域是[2,4]，则函数g(x)=13.设函数y=f″(x)是y=f′(x)的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图像都有对称中心(x0,f(x0))，其中x14.设函数f(x)=x2−1,x>a,|x−a−1|,x≤a.当a=0时，f(x)的值域为

；若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC．

(1)求角A的大小；

(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面积．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−2x．

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)若不等式f(x)≤(a−2)x+2在(0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．17.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(x0,2)在抛物线C上，且|DF|=2．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)抛物线的准线与x轴交于点K，过K的直线l交抛物线C于M，N两点，且KM=λKN,λ∈(1,2]，点G为线段MN18.(本小题15分)

已知函数f(x)=x|x−a|+2．

(1)当a=2时，求f(x)的单调增区间；

(2)若∃x1，x2∈[0,2]，使|f(19.(本小题17分)

如果数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=0且|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1(n≥3,n∈N∗)，则称参考答案1.C

2.D

3.C

4.A

5.C

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.AC

11.ABD

12.(2,3)

13.−2

14.(−1,+∞)

(

15.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得：a2−b2−bc=c2，

由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=−12，

又0<A<π，所以A=2π3．

(2)AD是△ABC的角平分线，∠BAD=∠DAC=π16.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f′(x)=1x−2=1−2xx，

令f′(x)>0，解得：0<x<12，

令f′(x)<0，解得：x>12．

所以f(x)的单调增区间为(0,12)，单调减区间为(12,+∞)，

则f(x)max=f(12)=−ln2−1．

(2)不等式f(x)≤(a−2)x+2在(0,+∞)上恒成立，即a≥lnx−2x在(0,+∞)上恒成立，

令g(x)=lnx−2x(x>0)，

则g′(x)=1−(lnx−2)x2=3−lnxx2，

令g′(x)>0，解得：0<x<e17.解：(1)因为D(x0,2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，

所以4=2px0，解得：x0=2p，又|DF|=2，

所以x0+p2=2，即2p+p2=2，解得：p=2，

所以抛物线C的标准方程为y2=4x；

(2)易知抛物线的准线为x=−1，则可得K(−1,0)，

如图，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线l：x=my−1，

因为KM=λKN，即(x1+1,y1)=λ(x2+1,y2)，

则y1=λy2，

联立方程x=my−1y2=4x，消去x得：y2−4my+4=0，则Δ=16m18.解：(1)当a=2时，f(x)=x|x−2|+2=x2−2x+2,x≥2−x2+2x+2,x<2，

当x≥2时，f(x)单调递增，

当x<2时，f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，

所以f(x)的单调递增区间为(−∞,1)和(2,+∞)；

(2)∃x1，x2∈[0,2]，使|f(x1)−f(x2)|>2，

所以|f(x1)−f(x2)|max>2，

即f(x)max−f(x)min>2，

①当a≥2时，f(x)=−x2+ax+2，对称轴x=a2，

(i)当1≤a2≤2即2≤a≤4时，f(x)max=f(a2)=a24+2，f(x)min=f(0)=2，

所以f(a2)−f(0)=a24>2，

所以a>22或a<−22，

因为2≤a≤4，所以22<a≤4，

(ii)当a2>2即a>4时，f(x)max=f(2)=2a−2，f(x)min=f(0)=2，19.解：(1)设a1，a2，a3成公差为r的等差数列，显然r>0，

则由a1+a2+a3=0得3a1+3r=0，

所以−a1=r>0，

所以a1<0，

所以a2=a1+r=0，a3=a1+2r=−a1>0，

由|a1|+|a2|