2024-2025学年山西大学附中高二（上）诊断数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山西大学附中高二（上）诊断数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一组数据：2，5，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是(

)A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差2.某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6.现用计算机产生1～5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜.在一次试验中，产生了20组随机数如下：

534 123 512 114 125 334 432 332 314 152

423 443 423 344 541 453 525 151 354 345

根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为(

)A.0.24 B.0.3 C.0.7 D.0.763.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是(

)A.众数<中位数<平均数

B.众数<平均数<中位数

C.中位数<平均数<众数

D.中位数<众数<平均数4.已知两条不同直线m，n与三个不同平面α，β，γ，则下列命题中正确的是(

)A.若m⊥α，n⊥α，则m//n

B.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

C.若α⊥β，m⊥β，则m//α

D.若α⊥β，m⊥α，n//β，则m⊥n5.在正四面体A−BCD的棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线成60°角的概率是(

)A.15 B.25 C.356.《九章算术》中将正四梭台(上、下底面均为正方形)称为“方亭”.现有一方亭，上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱与下底面所成的角为π4，则此方亭的体积为(

)A.2023 B.82 7.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC(含端点)上的一点，则PB⋅PC的范围为(

)A.[0,2]

B.[−2,0]

C.[1,3]8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为8，二面角C1−AB−C的大小为π4，且AC=BCA.2

B.22

C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z=i20242+i，则A.|z−|=25 B.z+z−=4510.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是(

)A.这14天日促销量的众数是214 B.这14天日促销量的中位数是196

C.这14天日促销量的极差为195 D.这14天日促销量的第80百分位数是24311.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b−2a+4asin2A+B2A.角C为钝角 B.a2+2b2−c2=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，则P(A∪B)=______．13.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，方差为36；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，方差为16.则样本中所有员工的体重的方差为______．14.如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD的中点，把△AEF，△CBE，△CFD折起构成一个三棱锥P−CEF(A,B,D重合于P点)，则三棱锥P−CEF的外接球与内切球的半径之比是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(0,1)，b=(1,1)．

(1)若(a−mb)⊥b，求实数m的值；

(2)若非零向量c=(x,y)16.(本小题15分)

某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲、乙、丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是12，假设甲、乙、丙每次答题是相互独立的，且甲、乙、丙的答题结果也是相互独立的．

(1)求甲第二次答题通过初赛的概率；

(2)求乙通过初赛的概率；

(3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率．17.(本小题15分)

某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：

已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．

(1)求n和乙样本直方图中a的值；

(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)；

(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且23acsinB=(b+c+a)(b+c−a)．

(1)求角A的大小；

(2)若sinC=4sinB，a=13．

①求△ABC的面积；

②若19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，AD=2．

(1)证明：AM⊥平面PCD；

(2)若二面角M−BC−D的余弦值为63，求异面直线AB与PC所成角的正切值．

参考答案1.A

2.B

3.A

4.A

5.D

6.C

7.A

8.A

9.BCD

10.AC

11.ABC

12.0.6

13.120

14.215.解：(1)∵a=(0,1)，b=(1,1)，

∴a−mb=(−m,1−m)，

又(a−mb)⊥b，

∴(a−mb)⋅b=0，即−m+(1−m)=0，

∴m=12．

(2)2a−b=2(0,1)−(1,1)=(−1,1)，

∵c//(2a−b)，

∴x=−y，

∵c≠0，∴y≠0，

设向量a与c的夹角为θ，θ∈[0,π]，

|a|=16.解：(1)根据题意，甲第二次答题通过初赛，即甲第一次没有通过初赛，

则P(A)=(1−12)×12=14；

(2)设乙通过初赛为事件B，对立事件为乙最终没有通过初赛，即乙连续三次答题错误，

则P(B−)=(1−12)×(1−12)×(1−12)=117.解：(1)由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020×10=0.20，

则10n=0.20，解得n=50；

由乙样本数据直方图可知，(0.006+0.016+0.020+0.040+a)×10=1，

解得a=0.018；

(2)甲样本数据的平均值估计为(55×0.005+65×0.010+75×0.020+85×0.045+95×0.020)×10=81.5，

乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.006+0.016+0.02)×10=0.42<0.75，

前4组的频率之和为(0.006+0.016+0.02+0.04)×10=0.82>0.75，

所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x，

(x−80)×0.04+0.42=0.75，

解得x=88.25，

所以乙样本数据的第75百位数为88.25，

即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；

(3)由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，

将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为A1，A2，

从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为b1，b2，b3，b4，

则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：

(A1,A2)(A118.解：(1)∵23acsinB=(b+c+a)(b+c−a)，

∴23acsinB=b2+c2+2bc−a2，

又∵b2+c2−a2=2bccosA，

∴23acsinB=2bc+2bccosA，

∴3asinB=b+bcosA，

根据正弦定理可得3sinAsinB=sinB+sinBcosA，

又∵B∈(0,π)，

∴sinB>0，

∴3sinA−cosA=1，

∴sin(A−π6)=12，

又∵A∈(0,π)，

∴A−π6∈(−π6,5π6)，

∴A−π6=π6，

19.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，由底面ABCD为矩形，得CD⊥AD，

由侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，

得CD⊥平面PAD，

又AM⊂平面PAD，则CD⊥AM，

又侧面PAD是正三角形，M是PD的中点，则PD⊥AM，

又PD∩CD=D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD．

(2)如图，

在正三角形PAD内，过点M作MH⊥AD，垂足为H，所以MH=32，

因为MH⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，MH⊂面PAD，

所以MH⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，则BC⊥MH，

过H作HN⊥BC，垂足为N，连接MN，M