2024-2025学年湖南省长沙市长郡斑马湖中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市长郡斑马湖中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x∈[1,2]时，f(x)=2−x.给出下列四个结论：①f(x)的图象关于直线x=1对称；②f(x)在(1,3)上为减函数；③f(x)的值域为[−1,1]；④y=f(x)−log3|x|有4个零点，其中正确的结论是A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②2.在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A=“第二次摸出的球是红球”，事件B=“两次摸出的球颜色相同”，事件C=“第二次摸出的球是黄球”，若P(A)=25，则下列结论中错误的是(

)A.P(B)=25B.P(C)=1−P(A)C.P(A∪B)=43.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于(    )．

A.73π B.16π C.8π 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A=60°，且△ABC的面积为3，若b+c=6，则a=(

)A.26 B.5 C.305.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，GA.3

B.22

C.6.i是虚数单位，则2i1+i−1=A.1 B.−1 C.i D.−i7.某商场做促销抽奖活动，规则如下：商家在箱中装入大小相同的20个球，其中6个红球，14个黑球，参加活动的人，每人都有放回地取球2次，每次从中任取一球，每个红球兑换20元，每个黑球兑换5元，则每位参与者获奖的期望是(

)A.15.5元 B.31元 C.9.5元 D.19元8.△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC=m，∠B=α，则AD长为(

)A.msin2α B.mcos2α二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB=2，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有(

)A.AD与BC所成的角为60°

B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为33

C.该半正多面体的体积为163

D.该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数10.i是虚数单位，下列四个说法中，正确的选项有(

)A.若复数z满足z⋅z−=0

则z=0

B.若复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，则11.如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥P−BCED，则(

)A.对任意的点P，始终有BC/​/平面PDE

B.对任意的点P，始终有BC⊥AP

C.翻折过程中，四棱锥P−BCED的体积有最大值9

D.存在某个点P的位置，满足平面PDE⊥平面PBC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知|a|=5，|a+b|=5213.已知a=(1,1)，b=(2,−1)，c=(x,3)；若(a+2b14.已知F1，F2分别为椭圆x2100+y2b2=1(0<b<10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．

(1)PF1+PF2的值为

；四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知平面向量a=(2,3)，b=(−1,k)．

(1)若a+b与a−b垂直.求k；

(2)若向量c=(5,1)，若16.(本小题15分)

某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：

①有4次游戏机会．

②依次参加A，B，C游戏．

③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完．

④参加A游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加B游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加C游戏，则每次胜利可以获得奖金200元．

已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是12，乙参加每一个游戏获胜的概率都是13，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：

(1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由．

(2)在(1)的基础上，解答下列两问．

(ⅰ)求该运动员能参加C游戏的概率．

(ⅱ)记x为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示P关于x的函数．17.(本小题15分)

如图，在四边形ABCD中，∠B=120°，AB=2，AD=3，且BC=kAD,AB⋅BC=1，若P，Q为线段AD上的两个动点，且|PQ|=1．

(1)当P为AD的中点时，求CP18.(本小题17分)

如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．

(1)求证：直线AE//平面BDF；

(2)若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．19.(本小题17分)

已知向量a=(x,1)，b=(m,log2(4x+1))，定义函数f(x)=a⋅b．

(1)若函数f(x)为偶函数，求实数m的值；

(2)当m>0参考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.D

6.C

7.D

8.C

9.ABD

10.AD

11.AB

12.5

13.−15

14.208

15.解：(1)因为a=(2,3)，b=(−1,k)，

所以a+b=(1,3+k)，a−b=(3,3−k)

因为a+b与a−b垂直，

所以(a+b)⋅(a−b)=1⋅3+(3+k)(3−k)=0，

整理得：−k2+12=0，解得k=±23；

(2)因为a=(2,3)，b=(−1,k)，c=(5,1)，

所以a+2b=(0,3+2k)，16.解：(1)甲运动员成绩位于[50,80)的频率为0.3，则其中位数大于80，

而乙运动员成绩位于[50,80)的频率为0.6，则其中位数小于80，

所以甲运动员参加第二阶段游戏．

(2)(i)若甲能参加C游戏，则A，B游戏至多共使用3次机会，

①A，B游功共使用3次机会，则概率P1=12×12=14，

②A，B游功共使用3次机会，则概率P2=12×12×12+12×12×12=14，

所以甲能参加C游戏的概率为14+14=12．

(ii)由甲参加每个游戏获胜的概率都是12，得参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为116，

①A游戏使用了4次，则x=0或50；

②A游戏使用了3次，则x=50或150；

③A游戏使用了2次，B游戏使用2次，则x=50或150；

④A游戏使用了2次，B游戏使用1次，则x=150或350；

⑤A游戏使用了1次，B游戏使用3次，则x=50或150；

⑥A游戏使用了1次，B游戏使用2次，则x=150或350；

⑦A游戏使用了1次，B游戏使用1x050150350550P11311

17.解：(1)由BC=kAD，可得BC/​/AD，

因为AB⋅BC=1,∠B=120°,AB=2，

所以AB⋅BC=|AB||BC|cos(180°−B)=2|BC|×12=1，解得|BC|=1，所以BC=1，

又因为P为AD的中点，

所以CP=CB+BA+AP=CB+BA+12AD=BA+12BC，

18.证明：(1)设AC∩BD=G，连接FG．

由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．

又∵F是EC中点，

∴在△ACE中，FG/​/AE，

∵AE⊄平面BDF，FG⊂平面BDF，

∴AE/​/平面BDF；

(2)∵∠AEB=90°，

∴AE⊥BE．

又∵直线BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，

∴AE⊥BC．

又BC∩BE=B，BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，

∴直线AE⊥平面BCE．

由(1)知，FG/​/AE，

∴直线FG⊥平面BCE，

又直线FG⊂平面BDF，

∴平面BDF⊥平面BCE．

19.解：(1)f(x)=a⋅b=log2(4x+1)+mx，定义域为R，

若f(x)是偶函数，则有f(−x)=f(x)恒成立，即：log2(4−x+1)−mx=log