2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2>2x}，B={−2,0,1,3}，则A∩B=A.{−2,0,3} B.{−2,3} C.{0,3} D.{3}2.已知命题p：∃x>0，3x>1，则￢p(

)A.∃x>0，3x≤1 B.∃x≤0，3x>1 C.∀x>0，3x3.函数y=e−x,e−x≥lnxA.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增4.已知函数f(x)=(x−1)2−1，则A.f(x−1)=f(1−x) B.f(x−1)=f(x+1)

C.f(1+x)=f(1−x) D.f(1+x)=−f(1−x)5.已知2m=3n=5A.3 B.6 C.8 D.6.设b，c∈R，函数f(x)=x+bx+c，则“关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为R”是“f(x)>0A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.不充分不必要7.已知直线y=ax+b与曲线y=x+1x相切，则2a+b的最大值为(

)A.12 B.2 C.52 8.若函数f(x)=x|x−a|−1的3个零点由小到大排列成等差数列，则a=(

)A.2 B.5 C.43二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列曲线平移后可得到曲线y=2x的是(

)A.y=2x+3 B.y=2x−3 10.一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好.(

)A.若教室的窗户面积与地面面积之和为200m2，则窗户面积至少应该为30m2

B.若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变

C.若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好

D.若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了11.设函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)不恒为0，下列结论正确的是(

)A.若f(x)具有奇偶性，则满足f(x)=p(x)+q(x)的奇函数p(x)与偶函数q(x)中恰有一个为常函数，其函数值为0

B.若f(x)不具有奇偶性，则满足f(x)=p(x)+q(x)奇函数p(x)与偶函数q(x)不存在

C.若f(x)为奇函数，则满足f(x)=p(x)q(x)的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在无数对

D.若f(x)为偶函数，则满足f(x)=q(p(x))的奇函数p(x)与偶函数q(x)存在无数对三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设函数f(x)的图象上任意两点处的切线都不相同，则满足题设的一个f(x)=______．13.已知矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，将△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后与DC交于点P.设AB=x，则DP=______(用x表示)，当△ADP的面积最大时，x=______．14.已知a为常数，且a>0.定义在R上的函数f(x)满足：f(x+a)≤f(x)≤f(x+3a)，且当0≤x≤a时，f(x)=ax2−x，则a=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，E，F，G分别是棱AB，BC，BB1上的动点，且AE=BF=B1G.

(1)求证：16.(本小题15分)

某学习小组研究得到以下两个公式：

①sin(α+β)⋅sin(α−β)=sin2α−sin2β；②sin(α+β)⋅sin(α−β)=cos2β−cos2α.17.(本小题15分)

分别过椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点F1，F2作两条平行直线，与C在x轴上方的曲线分别交于点P，Q．

(1)当P为C18.(本小题17分)

已知红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为23，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为12,14.现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定红方、蓝方互不影响，各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A，蓝方击中红方目标为事件B.求：

(1)概率P(A)，P(B)；

(2)经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标次数之差X的概率分布及数学期望；

19.(本小题17分)

(1)函数y=2x与y=log2x的图象有怎样的关系？请证明；

(2)是否存在正数c，对任意的x>c，总有2x>x2>log2x参考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.D

6.C

7.C

8.B

9.AB

10.BCD

11.ACD

12.x2(答案不唯一13.12−72x

14.1

15.解：(1)证明：因为B1B⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，

所以B1B⊥AB，B1B⊥BC，又∠ABC=90°，

故B 1B，AB，BC两两垂直，

以B为坐标原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为AB=BC=BB1=1，AE=BF=B1G，

设AE=BF=B1G=m，0≤m≤1，

所以A1(1,1,0)，F(0,0,m)，C1(0,1,1)，G(0,1−m,0)，

则A1F=(0,0,m)−(1,1,0)=(−1,−1,m)，

C1G=(0,1−m,0)−(0,1,1)=(0,−m,−1)，

则A1F⋅C1G=(−1,−1,m)⋅(0,−m,−1)=m−m=0，

故A 1F⊥C1G；

(2)因为E(1−m,0,0)，则EG=(0,1−m,0)−(1−m,0,0)=(m−1,1−m,0)，

则A1F⋅EG=(−1,−1,m)⋅(m−1,1−m,0)=1−m+m−1=0，

则A1F⊥EG，又C1G∩EG=G，C16.解：(1)证明：若选①：sin(α+β)⋅sin(α−β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ−cosαsinβ)

=sinαcos2β−cos2αsinβ=sinα(1−sinβ)−(1−sinα)sin2β=sin2α−sin2β；

若选②：sin(α+β)⋅sin(α−β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ−cosαsinβ)

=sinαcos2β−cos2αsin2β=(1−cos2α)cos2β−cos2α(1−cos2β)=cos2β−cos2α；

(2)因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，

所以sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，

即sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinCcosA，

即sinAsin(C+B)=2sinBsinCcosA17.解：(1)由C：x24+y23=1可知F1(−1,0)，F2(1,0)，椭圆上顶点为(0,3)，即P(0,3)，

直线PF1的斜率为3，则直线QF2的方程为：y=3(x−1)，

联立y=3(x−1)x24+y23=1，消去y并整理得5x2−8x=0，

解得x=0或x=85，因点Q在x轴上方，故得点Q(85,335)，

于是直线PQ的斜率为：kPQ=3−335−85=−34；

(2)如图，设过点F1，F2的两条平行线分别交椭圆于点P，R和Q，S，

利用对称性可知，四边形PRSQ是平行四边形，且四边形PF1F2Q的面积是▱PRSQ面积的一半．

显然这两条平行线的斜率不可能是0(否则不能构成构成四边形)，可设直线PR的方程为l：x=my−1，

代入C：x24+y23=1，整理得：(318.解：(1)P(A)=23×34=12，P(B)=23×12=13；

(2)X的可能取值为−1，0X−1

0

1

P

1

11所以E(X)=−16+0+13=16；

(3)若蓝方击中0次，则红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为(23)4×C42×(119.证明：(1)函数y=2x与y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，

令(a,b)为函数y=2x图象上任意一点，即b=2a，

则a=log2b，因此点(b,a)在函数y=log2x的图象上，

反之亦然，而点(a,b)与(b,a)关于直线y=x对称，

所以函数y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称；

解：(2)存在正数c=4，对任意的x>4，2x>x2>log2x恒成立，

令f(x)=2x−x2，显然f(2)=f(4)=0，

根据指数函数与幂函数的增长特征，在x∈(2,4)上恒有f(x)<0，

当x>4时，求导得f′(x)=2xln2−2x，令F(x)=2xln2−2x，x>4，

求导得F′(x)=2x(ln2)2−2，函数F′(x)在(4,+∞)上单调递增，F′(x)>F′(4)=(4ln2)2−2>0，

函数F(x)在(4,+∞)上单调递增，F(4)=16ln2−8=8(ln4−1)>0，函数f(x)在(4,+∞)上单调递增，

因此∀x∈(4,+∞)，f(x)>f(4)=0；

令φ(x)=x2−log2x，x>4，求导得φ′(x)=2x−1xln2，函数φ′(x)在(4,+∞)上单调递增，

φ′(x)>φ′(4)=8−14ln2>0，因此函数φ(x)在(4,+∞)上单调递增，φ(x)>φ(4)=14>0，

所以存在正数c，对任意的x>c，总有2x>x2>log2x，cmin=4；

证明：(3)a>1，不妨令x>1，则不等式ax>xa⇔xlna>alnx⇔lnxx<lnaa，

令g(x)=lnx