全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷4（共225题）

全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷4（共9套）（共225题）全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第1套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、已知f(x，y)在点(x0，y0)的偏导数存在．则下列结论正确的是()A、f(x，y)在(x0，y0)点连续B、f(x，y)在(x0，y0)点可微C、函数f(x，y0)在x＝x0点连续D、f(x，y)在(x0，y0)点有任意方向的方向导数标准答案：C知识点解析：根据多元函数的连续、可导、可微之间的关系可知A、B是错误的．对于C，因F(x)＝F(x，y0)是关于x的一元函数，从而F’(x0)＝fx(x0，y0)是存在的，因此一元函数F(x)＝f(x，y0)在x＝x0处是连续的．从而C是正确的．对于D，我们知道，如果f(x，y)在点(x0，y0)可微，则在点(x0，y0)处沿任意方向的方向导数都存在．但两个偏导数存在并不意味着可微，所以此结论的正确性是有疑问的．事实上，对于函数f(x，y)＝，可以证明在原点的两个偏导数都为零，但是沿方向{1，1}的方向导数不存在．答案为C．2、极限＝()A、B、C、D、π标准答案：A知识点解析：.答案为A．3、设D由圆r＝2围成，则＝()A、B、4πC、D、π标准答案：C知识点解析：本题考查二元积分的计算．积分区域D由圆r＝2围成，令x＝rcosθ，y＝rsinθ则答案为C．4、以y＝sin3x为特解的微分方程为()A、y"＋y＝0B、y"－y＝0C、y"＋9y＝0D、y"－9y＝0标准答案：C知识点解析：由题可知：特征根r＝±3i故r2＋q＝0故所求微分方程为y"＋qy＝0．答案为C．5、设an＞0，(n＝1，2，3，…)，若收敛，则下列结论正确的是()A、发散B、发散C、发散D、收敛标准答案：D知识点解析：本题考查级数的敛散性．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、在空间直角坐标系中，Oxz平面上的曲线绕z轴旋转的旋转曲面方程为________．FORMTEXT标准答案：z＝2(x2＋y2)知识点解析：由其曲线为故曲面方程为z＝2(x2＋y2)．7、设且f为可微函数，则全微分dz＝________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：8、设∑为上半球面x2＋y2＋z2＝1(z≥0)，则对面积的曲面积分＝________．FORMTEXT标准答案：2π知识点解析：或者直接由球面积公式S＝4πr2＝4π(r＝1)，则其一半为2π．9、微分方程e－xdy＋e－ydx＝0的通解为________．FORMTEXT标准答案：ex＋ey＝C知识点解析：由e－xdy＋e－ydx＝0分离变量得eydy＝－exdx．两端积分得ey＝－ex＋C，即ex＋ey＝C10、当｜x｜＜1时，无穷级数的和函数为________FORMTEXT标准答案：知识点解析：∵｜x｜＜1，则级数的首项为－1，∴其和函数为．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、求过点(0，2，4)且与平面x＋2z＝1及y－2x＝2都平行的直线方程．标准答案：设所求直线的方向向量n＝{a，b，c)则a＋2t＝0，b－2c＝0，∴a＝－2c＝－b故取n＝{－2，2，1)则所求直线方程为知识点解析：暂无解析12、已知平面π：2x＋y＋z＝3和直线L：(1)写出直线L的对称式方程；(2)求平面π与直线L的交点．标准答案：(1)L的方向向量为点(－2，0，3)在直线L上所以直线L的对称式方程为(2)由解得L与π的交点坐标为(1，－1，2)．知识点解析：暂无解析13、设函数u＝f(excosy，lny，3x2)具有连续的二阶偏导数．求．标准答案：根据复合函数求导法知识点解析：暂无解析14、已知方程x2＋y2－4y＋z2＝3确定函数z＝z(x，y)，求．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求函数u＝f(x，y，z)＝x＋xy＋yz在点(1，0，3)处沿方向角为α＝60°，β＝45°，γ＝60°的方向导数．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设积分区域Ω由上半球面及平面z＝0所围成，求三重积分dxdydz．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算三重积分I＝(y2＋z2)dv，其中Ω是由Oxy平面上的曲线y2＝2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x＝5所围成的闭区域．标准答案：本题考查三重积分的计算．如下图所示，Oxy平面上曲线y2＝2x绕x轴旋转而成的曲面方程为y2＋z2＝2x，故Ω是由曲面y2＋z2＝2x及平面x＝5所围成的闭区域．当0≤x≤5时，平面X＝x与Ω相交的区域为y2＋z2≤2x．知识点解析：暂无解析18、设∑为坐标面及平面x＝1，y＝1，z＝1所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分(2xz2＋y2－z)dxdy．标准答案：设Ω：0≤≤1，0≤y≤1，0≤z≤1由高斯公式得知识点解析：暂无解析19、求，其中L是依逆时针方向绕圆x2＋y2＝a2一周的路径．标准答案：本题考查曲线积分的计算．知识点解析：暂无解析20、求微分方程的通解．标准答案：∵P(x)＝2Q(x)＝ex∴’y＝e－∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx＋C]＝e－∫2dx[∫exe2dxdx＋C]＝e－2x[∫e3xdx－＋C]＝e－2x[e3x＋C]故原方程通解为y＝ex知识点解析：暂无解析21、讨论级数亏的敛散性．标准答案：本题考查级数的敛散件．知识点解析：暂无解析22、求幂级数的收敛半径和收敛域．标准答案：∴收敛半径R＝1且｜x一3｜＜1得2＜x＜4所以收敛区间为(2，4)又∵当x＝2时，级数收敛当x＝4时，级数收敛∴收敛域为[2，4]．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求函数f(x，y)＝x3－4x2＋2xy—y2＋1的极值．标准答案：∴函数有两个极值f(0，0)＝1，f(2，2)＝－3分别为极大值与极小值．知识点解析：暂无解析24、证明[y＋ln(x＋1)]dx＋((x＋1)－ey)dy是某一函数u(x，y)的全微分，并求出u(x，y)．标准答案：本题考查全微分的求解．原式在半平面x＞－1上是某函数的全微分．取(x0，y0)为(0，0)，积分路径取为如下图所示．折线ONM．现令P(x，y)＝y＋ln(x＋1)Q(x，y)＝x＋1－ey，则有知识点解析：暂无解析25、将函数展开成x的幂级数。标准答案：f"(x)＝3×2(3－x)－3，f"(0)＝3×2×3－3，f"’(x)＝3×3×2(3－x)－4，f"’(0)＝3×3×2×3－4，f(4)(x)＝3×4×3×2(3－x)－5，f(4)(0)＝3×4×3×2×3－5，f(n)(x)＝3n!(3－x)－n－1，f(n)(0)＝3n!.3－n－1＝n!.3－n．3－1＋3－2x2＋3－nx3＋…＋3－n＋…(收敛半径R＝0)．知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第2套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、在空间直角坐标系下，方程2x2＋3y2＝6表示的图形为()A、椭圆B、柱面C、旋转抛物面D、球面标准答案：B知识点解析：由题知2x2＋3y2＝6可化为了，因为柱面公式＝1故方程表示图形为柱面．答案为B．2、设fx(x0，y0)－0，fy(x0，y0)＝0，则在点(x0，y0)处函数f(x，y)()A、连续B、一定取得极值C、可能取得极值D、的全微分为零标准答案：C知识点解析：A是错误的．因多元函数在某一点可导，不能保证函数在该点连续．B也是错误的．由题目的条件只能断定点(x0，y0)是驻点，而驻点是可疑的极值点，它不一定是极值点．C是正确的．因为驻点是可疑的极值点．D是错误的．一般会认为df＝f(x0，y0)dx＋fy(x0，y0)dy＝0。是正确的，却忘记了这个等式成立的前提是f(x，y)在点(x0，y)处可微．而在多元函数中可导不一定可微．答案为C．3、设积分区域Ω：x2＋y2≤R2，0≤z≤1，则三重积分(x2＋y2)dxdydz＝()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：用圆柱面坐标0＜θ＜2π，0＜r＜R0＜z＜1答案为B．4、下列方程中为一阶线性非齐次方程的是()A、y’＝2yB、(y’)2＋2xy＝exC、2xy’＋x2y＝－1D、y’＝sin标准答案：C知识点解析：本题考查一阶线性非齐次方程的定义．由一阶线性微分方程的定义知，(y’)2＋2xy＝ex不是一阶线性微分方程；由一阶线性(非)齐次微分方程的定义知y’＝2y是齐次微分方程；只有选项C，2xy＋x2y＝－1是一阶线性非齐次方程．答案为C．5、设正项级数收敛，则下列无穷级数中一定发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由无穷级数的一般项un不是n→∞时的无穷小量，则级数发散来判断，选项D一定发散．答案为D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、已知＝________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：7、设函数z－2x2－3y2，则全微分dz＝________．FORMTEXT标准答案：4xdx－6ydy知识点解析：z＝2x2－3y2zx＝4xzy＝－6y∴dz＝4xdx－6ydy．8、设B是由，y＝x和x＝2所围成的平面区域，求二重积分出曲＝_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：9、微分方程y"＋y＝8的一个特解yk＝_________．FORMTEXT标准答案：8知识点解析：易知其齐次方程的特征方程为：r2＋1＝0∴r1,2＝±i故可设其特解y*＝m∴(m)"＋m＝8∴m＝8∴y*＝810、设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[－π，π)上的表达式为，则f(x)的傅里叶级数的和函数在x＝π处的值为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：本题是有关傅里叶级数的问题．x＝π是[－π，π)的端点，所以三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、求过点(0，2，4)且与两平面x＋2z＝1和y－3z＝2平行的直线方程．标准答案：本题是有关直线方程的求解问题．平面x＋2z＝1和y－3z＝2的法向量分别为n1＝{1，0，2)和n1－{0，1，－3}．n1＝{1，0，2)和n1－{0，1，－3}．因所求直线与两平面均平行，从而其方向向量可取为v且有v⊥n1，v⊥n2．又直线过点(0，2，4)，从而所求直线的对称式方程为知识点解析：暂无解析12、设函数．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设z＝f(x，y)是由方程z—y—x＋xex－y－z＝0确定的隐函数，求．标准答案：令F(x，y，z)＝z—y—x＋xez－y－x则Fx＝－1＋ez－y－x＋xez－y－x×(－1)＝－10(x－1)ez－y－xFz＝1＋xez－y－x∴知识点解析：暂无解析14、设函数z＝f(x2－y2，2xy)，其中f(u，v)具有一阶连续偏导数，求．标准答案：设a＝x2－y2v＝2xy知识点解析：暂无解析15、计算二重积分xydσ，D：ax≤x2＋y2≤a2，x≥0,y≥0(a＞0)．标准答案：积分域D的图形如下图所示，D可用不等式表示为：0≤x≤a，知识点解析：暂无解析16、计算二重积分sin(x2＋y2)dxdy，其中积分区域D：x2＋y2≤a2．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算空间曲线积分，其中L为球面x2＋y2＋z2＝a2与平面x＋y＋z＝0之交线．标准答案：本题考查曲线积分的计算．由于以x换y，y换z，z换x，曲线L的方程不变，即L具有轮换对称性，因此而L是经过球心的圆，其周长为2πa，故．知识点解析：暂无解析18、计算对弧长的曲线积分，其中C是圆周x2＋y2＝4的上半圆。标准答案：C：x＝2costy＝2sint(0≤t≤π)知识点解析：暂无解析19、求微分方程(ex＋y－ex)dx＋(ex＋y＋ey)dy＝0的通解。标准答案：原方程变形为ey(ex＋1)dy＝－ex(ey－1)dx，是可分离变量的方程。得ln｜ey－1｜＝－ln(ex＋1)十ln｜C｜，即ln(ex＋1)＋ln｜ey—1｜＝ln｜C｜．故原方程的通解为(ex＋1).(ey－1)＝C．注：本题中为使通解的形式简便起见，以In｜C｜表示任意常数．在解微分方程的过程中，常常根据积分的结果，以适当的形式表示任意常数．知识点解析：暂无解析20、求微分方程e2x－ydx－ex＋ydy＝0的通解．标准答案：原方程可化为：e2xdy＝exdx两边积分∫e2ydy＝∫exdx所以通解为．知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性．标准答案：记，考虑函数f(x)＝ex—1－x(x≥0)，由于f(x)在[0，＋∞)上连续。(0，＋∞)内可导，且f’(x)＝ex－1＞0，∴当x＞0时f(x)＞f(0)＝0，即f(x)是正值单调增加函数．由此可知所给级数为交错级数，{un}单调减少，又，由莱布尼茨定理知所给级数收敛。知识点解析：暂无解析22、将函数展开为x＋1的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求函数z＝4(x－y)－x2－y2的极值．标准答案：本题考查多元函数的极值的求解．令z＝f(x，y)＝4(x－y)－x2－y2又∵fxx(x，y)＝－2，fxy(x，y)＝0，fyy(x，y)＝－2．∴△＝0－(－2)×(－2)＝－4＜0故(2，－2)为其极大值点．∴z(2，－2)＝8．知识点解析：暂无解析24、求曲面z＝x2＋2y2及曲面z＝6－2x2－y2所围成的立体体积．标准答案：空间体在Oxy面上投影域为D：x2＋y2≤2所求体积V为知识点解析：暂无解析25、将f(x)＝arctan展开成x的幂级数，并求级数的和。标准答案：本题考查函数的幂级数展开．因为知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第3套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、函数f(x,y)=的定义域是()A、{(x，y)｜1≤x2+y2<4}B、{(x，y)｜1<x2+y2≤4}C、{(x，y)｜1<x2+y2<4}D、{(x，y)｜1≤x2+y2≤4}标准答案：C知识点解析：由题意知故选C．2、下列结论不正确的是()A、点(0，0)是曲线y=x2的驻点B、x=0是函数y=x2的极小值点C、y=0是函数y=x2的极小值D、点(0，0)不是曲线y=x2的拐点标准答案：D知识点解析：函数y=x2的图形，如下图所示，我们可以由图形直接观察出A、B、C正确，D选项错误．3、交换积分顺序，则f(x，y)dy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由二重积分f(x，y)dy可知，积分区域D：0＜x＜1，0＜y＜，如下图所示，故原积分=f(x，y)dx．4、微分方程y"=ex的通解是()A、ex+C1x+C2B、exC、ex+C1xD、ex+C1标准答案：A知识点解析：y"=ex，两边同时积分y=ex+C1，两边再同时积分y=ex+C1x+C2．5、设无穷级数收敛，则()A、P>1B、p<一1C、P<1D、p>一1标准答案：B知识点解析：无穷级数，当一p>1，即p<一1时收敛，故选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、在空间直角坐标系中，Oxy平面上的曲线绕y轴旋转的旋转曲面方程为________．FORMTEXT标准答案：y=知识点解析：曲线绕y轴旋转，则y不变，将x换成±，从而得旋转曲面的方程为y=．7、设函数z=u·v，u=x+y，v=x—y，则．FORMTEXT标准答案：2x知识点解析：=v·1+u·1=x+y+x—y=2x．8、设二次积分，则交换积分次序得I=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：将区域D分成两个小区域D1与D2，如下图所示．即D=D1+D2故9、微分方程y"+(y’)3一2x4+2=0的阶数是_________．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：暂无解析10、设f(x)=xln(1+x)展成x幂级数为，则系数a2=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由ln(1+x)=,得xln(1+x)=，则a2=—三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、求与平面3x+2y—z+4=0和平面3x+2y—z=0的距离都相等的动点的轨迹方程．标准答案：设动点P为(x，y，z)，则点P到两平面的距离分别为，则有d1=d2，即两边平方并整理得3x+2y—z+2=0．知识点解析：暂无解析12、求空间曲线L：x=t2，y=3t，z=2t3在点(1，一3，一2)处的法平面方程．标准答案：由于点(1，一3，一2)在空间曲线上，将点代入曲线方程得t=一1，所以==—2，=3，==6，则所求法平面的法向量为{一2，3，6}，故所求法平面为一2(x一1)+3(y+3)+6(z+2)=0．知识点解析：暂无解析13、设函数z=f(x+y，lnxy)，其中f是可微函数，求，．标准答案：=f1+f2(lnxy)’=f1+f2=f1+f2，=f1+f2(lnxy)’=f1+f2=f1+f2．知识点解析：暂无解析14、求函数f(x，y)=exy在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2+)的方向的方向导数．标准答案：方向l={2—1，2+—2}={1，}=yexy，=xexy，cosα=，cosβ=．故知识点解析：暂无解析15、求曲面z=3一x2一2y2上平行于平面2x+4y+z+8=0的切平面方程．标准答案：由z=3一x2一2y2，于是zx=一2x，zy=一4y，由于所求切平面平行于平面2x+4y+z+8=0，因此，解上式得x=1，y=1，z=0，则=—2，=—4，故所求平面方程为z=—2(x—1)—4(y—1)．知识点解析：暂无解析16、计算二重积分，其中积分区域D是x2+y2≤R2．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算三重积分，其中Ω是椭圆锥面z2=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域．标准答案：积分区域Ω如下图所示，Ω在Oxy面上的投影域为Dxy：x2+y2≤1(x=0)，于是知识点解析：暂无解析18、计算对弧长的曲线积分，其中L是以原点为中心，半径为1的上半圆．标准答案：曲线L的参数方程x=cosθ，y=sinθ，则(x2一y2)ds==π．知识点解析：暂无解析19、计算对坐标的曲线积分，其中L为y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围成的闭曲线，依顺时针方向．标准答案：积分曲线L如下图所示．对于弧AO，有y=sinx，dy=cosxdx，对于线段AO，有y=0，dy=0，故知识点解析：暂无解析20、求微分方程(1+x)dy一dx=0的通解．标准答案：分离变量得ydy=，两边积分得y2=ln(1+x)+C，即为原微分方程的通解知识点解析：暂无解析21、判断无穷级数的敛散性．标准答案：，由比值审敛法知原级数发散。知识点解析：暂无解析22、求幂级数的收敛区间．标准答案：由于，所以收敛半径R=1．当x=±1时，发散，故收敛区间为(一1，1)．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求函数f(x，y)=2x2一2xy+y2一2x一2y+4的极值．标准答案：解，得驻点(2，3)，由于fxx=4，fxy=一2，fyy=2，于是△=一fxxfxy=(一2)2一4×2=一4<0，A=4>0，则点(2，3)是极小值点，故函数的极小值为f(2，3)=一1．知识点解析：暂无解析24、设曲线y=f(x)上任意一点(x，y)处的切线斜率为，且该曲线经过点(1，2)，求该曲线的方程．标准答案：由题意知y’=，分离变量，两边同时积分得lny=lnx+lnC，即y=Cx．由y(1)=2得C=2，故所求曲线方程为y=2x．知识点解析：暂无解析25、将函数f(x)=arctanx展开为x的幂级数．标准答案：因为所以知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第4套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、函数f(x，y)=的定义域是()A、((x，y)|4＜x2+y2＜9)B、{(x，y)|2＜x2+y2＜3)C、{(x，y)|4＜x2+y2≤9)D、((x，y)|2＜x2+y2≤3)标准答案：A知识点解析：函数f(x，y)=的定义域应满足下列不等式综上所述函数f(x，y)的定义域为{(x，y)|4＜x2+y2＜9}．2、过点(2，4，一2)且垂直于平面2x一3y—z+2=0的直线方程是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：平面的法向量n={2，一3，一1}，因为直线垂直于该平面．故该直线的方向向量v／／n．故取v={2,-3，-1}．因此育线的方程为3、设积分区域D：x=1，x=一1，y=0，y=2，则二重积分的值()A、大于零B、等于零C、小于零D、不确定标准答案：B知识点解析：积分区域D：x=1，x=一1，y=0，y=2(如右图所示)，①区域D关于y轴对称，②被积函数f(x，y)=x是关于y的奇函数，故原积分为零．4、设C是直线2x+y=4由点(0，4)到(2，0)的一段，则∫Cydx=()A、∫04(4—2x)dxB、∫40(4—2x)dxC、∫02(4-2x)dxD、∫20(4—2x)dx标准答案：C知识点解析：把C写成y=4—2x，当C由点(0，4)变到(2，0)时，x从0变到2，于是曲线积分∫Cydx=∫02(4—2x)dx．5、方程的通解加上()A、一个常数B、C、一个任意常数D、标准答案：D知识点解析：非齐次微分方程的通解即为其对应的齐次方程的通解加上原方程的一个特解．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设z=(1+xy)x，则FORMTEXT标准答案：1+2ln2知识点解析：令1+xy=u，x=v，则故=vuv-1.y+uvlnu.1=xy(1+xy)x-1+(1+xy)x.ln(1+xy)，7、FORMTEXT标准答案：知识点解析：8、设Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域，则(x2+y2)dv=_______FORMTEXT标准答案：知识点解析：9、微分方程y"一2y’+y=2ex的一个特解为y*=_______．FORMTEXT标准答案：x2ex知识点解析：f(x)=2ex属于eλxPm(x)型(m=0，λ=1)，原非齐次微分方程对应的齐次微分方程特征方程为r2一2r+1=0，其特征根为r1=r2=1，故λ=1是对应齐次方程的特征根，且为二重根，因此设特解为y’=b0x2ex，代入微分方程得2b0ex=2ex，故b0=1，于是原微分方程的一个特解为．y*=x2ex,10、将函数f(x)=|x|在[一π，π]上展开成傅里叶级数，则傅里叶系数bn=_______．FORMTEXT标准答案：0知识点解析：由于f(x)=|x|为偶函数，故傅里叶系数bn=0．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、求经过点A(-2，一1，2)，且垂直于直线段AB的平面方程，点B的坐标是B(0，一2，5)．标准答案：本题考查平面方程的求解．由于所求平面垂直于直线段AB，所以其法向量可取为={2，一1，3}，又平面过点A(一2，一1，2)，因此其点法式方程为2(x+2)-(y+1)+3(z一2)=0，即2x—y+3z一3=0．知识点解析：暂无解析12、求抛物面z=x2+4y2在点(0，1，2)处的切平面方程．标准答案：zx=2x，zy=8y，zx(0，1)=0，zy(0，1)=8，故取法向量n={0，8，一1}，故切平面方程为0.(x一0)+8(y—1)一(z—2)=0，即8y—z=6．知识点解析：暂无解析13、设函数求全微分dz．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求螺旋线x=acosθ，y=asinθ,z=bθ在点(a，0，0)处的切线和法平面方程．标准答案：=(一asinθ，acosθ，b)|(a,0,0)=(0，a，b)，切线方程为：法平面方程为：ay+bz=0．知识点解析：暂无解析15、计算二重积分(x—y)dxdy，其中D是由x+y=一1，x=0，y=0所围成的区域．标准答案：积分区域D，如右图所示，于是知识点解析：暂无解析16、计算三重积分，Ω由旋转抛物面z=x2+y2及平面z=1围成．标准答案：Ω在平面投影为x2+y2=1，从而Ω在Oxy平面投影为Dxy：x2+y2≤1，于是知识点解析：暂无解析17、求(x2+y2+2z)ds，其中L为球面x2+y2+z2=1与平面x+y+z=0的交线．标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算对坐标的曲线积分∫L(x2—2xy)dx+(y2一2xy)dy，其中L为图中的有向折线ABO．标准答案：∫L(x2一2xy)dx+(y2一2xy)dy=∫AB(x2一2xy)dx+(y2一2xy)dy+∫BO(x2一2xy)dx+(y2一2xy)dy，因在AB段dy=0，y=1，在BO段dx=0，x=0．故原式=∫AB(x2一2xy)dx+∫BO(y2一2xy)dy=∫AB(x2一2x)dx+∫BOy2dy=∫10(x2一2x)dx+∫10y2dy=知识点解析：暂无解析19、计算y2dzdx，其中∑是曲面的上侧．标准答案：∑为曲面即x2+y2+z2=1(z≥0)的上侧，将∑分成左右两片：∑=∑1+∑2，其中∑1的方程为(z≥0，y≥0)，取右侧；∑2的方程为(z≥0，y≤0)，取左侧；∑1和∑2在Oxz面上的投影均为半圆形区域：Dxz={(x，z)|x2+z2≤1，z≥0}，于是知识点解析：暂无解析20、求满足初始条件特解：y"+4y’+13y=0，y|x=0=0，y’|x=0=6．标准答案：特征方程为λ2+4λ+13=0，特征根为λ1=一2+3i，λ2=一2—3i，故原方程的通解为y=e-2x(C1cos3x+C2sin3x)．则y’=一2e-2x(C1cos3x+C2sin3x)+e-2x(一3C1sin3x+3C2cos3x)，把y|x=0=0，y’|x=0=6代入解得C1=0，C2=2故所求特解为y=2e-2xsin3x．知识点解析：暂无解析21、计算幂级数的收敛区间：幂级数anxn的收敛半径为2．标准答案：故由级数收敛的逐项可导性的性质知收敛半径相同，均为2，由|x一1|＜2得，一1＜x＜3．知识点解析：暂无解析22、判断无穷级数的敛散性．标准答案：由比值判别法知，原级数收敛．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求x+2x2+3x3+…+nxn+…的和函数(一1＜x＜1)．标准答案：令和函数为s(x)，则s(x)=x+2x2+3x3+…+nxn+…=x(1+2x+3x2+…+nxn-1+…)=x(x+x2+x3+…+xn+…)’=知识点解析：暂无解析24、平面图形由曲线与直线x=1及y=0组成，求其绕x轴旋转而成的立体图形的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[a，b]上连续且恒大于零．试利用二重积分证明标准答案：其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，于是知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第5套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设函数f(x，y)在(x0，y0)处偏导数存在，则（）A、fx(x0,y0)B、1／2fx(x0,y0)C、fy(x0,y0)D、1／2fy(x0,y0)标准答案：B知识点解析：暂无解析2、下列无穷级数中收敛的无穷级数是（）A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：选项A，而级数发散，故也发散；选项B＝1－1＋1－1＋···，当n为偶数时＝0，当n为奇数时＝1，故级数发散；选项D令un＝2n／（2＋n），则故发散；选项C，令un＝（3n－1）／3n，则．3、设积分区域Ω：x2+y2+z2≤R2，则三重积分f(x，y，z)dxdydz，在球坐标系中的三次积分为()A、∫02πdθ∫0πdφ∫0Rf(x,y,z)r2sinφdrB、∫02πdθ∫0πdφ∫0Rf(rcosθsinφ，rsinθsinφ，rcosφ)r2sinφdrC、∫02πdθ∫0πdφ∫0Rf(rcosθsinφ，rsinθsinφ，rcosφ)rsin2φdrD、∫02πdθ∫0πdφ∫0Rf(rcosθsinφ，rsinθsinφ，rcosφ)dr标准答案：B知识点解析：球坐标中体积元素为r2sinφdθdrdφ，直角坐标与球坐标关系综合，B正确．4、幂级数的和函数为()A、In(1+x)B、arctanxC、ln(1-x)D、arctan(一x)标准答案：C知识点解析：因为幂级函数，所以，故选C。5、设正项级数收敛，则下列无穷级数中一定发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由无穷级数的一般项un不是n→∞时的无穷小量，则级数发散来判断，选项D一定发散．答案为D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设函数f(x)＝x2(－π＜x＜π)的傅里叶级数展开式为1／2a0＋，则其系数a2＝____________FORMTEXT标准答案：1知识点解析：7、幂级数的收敛半径为_______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：设an=，则=1，故收敛半径为1．8、函数的定义域为_______．FORMTEXT标准答案：{(x，y)|0＜x2+y2＜1，y2≤4x}知识点解析：暂无解析9、已知向量α={k，2，一1}和β={2，一1，2}垂直，则常数k=_______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：α、β垂直．则必有α.β=0，即{k，2，一1}.{2，一1，2}=2k一2—2=0，即k=2．10、级数的收敛域为_______FORMTEXT标准答案：(一3，一1)知识点解析：收敛半径R=1，当x=一1时，级数为发散，当x=一3时，级数发散，则级数收敛域为(一3，一1)．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数11、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；标准答案：设un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，则当｜x2｜＜1时原级数收敛，故原级数的收敛半径为R＝1，当x＝±1时，则原级数可化为1／2n，故其发散，故原级数的收敛域为（－1，1）设S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），内逐项求导得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知识点解析：暂无解析12、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．标准答案：设an＝n，R＝＝1，当x＝±1时原级数均发散，故原级数的收敛域为（－1，1）设S(x)＝，逐项积分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函数S(x)＝x2／（1－x）2．知识点解析：暂无解析13、计算三重积分，其中积分区域Ω由y＝，y＝0，z＝0及x＋y＋z＝π／2所围成的区域标准答案：积分区域Ω如下图所示，故知识点解析：暂无解析14、计算积分。标准答案：知识点解析：暂无解析15、求空间曲线L：x=3lnθ，y=2sinθ，x=θ(一∞<θ<+θ)在点P(3lnπ，0，π)处的法平面方程及切线．标准答案：x’(θ)=，y’(θ)=2cosθ，z’(θ)=1，于是点P(3lnπ，0，π)处的法平面方程为x’(π)(x一3lnπ)+y’(π)y+z’(π)(z一π)=0，即一2y+z一π=0．点P(3lnπ，0，π)处的切线方程为即．知识点解析：暂无解析16、求方程xy"=y’的通解．标准答案：令P=y’，代入原方程得xp’=P，分离变量两边积分得lnp=lnx+lnC1，即P=C1x，将P=y’代入上式得=C1x，分离变量dy=C1xdx，两边积分得y=C1x2+C2．知识点解析：暂无解析17、求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于x+3y=1，且点(1，2)在该曲线上．标准答案：由题意y’=一，所以y=一x+C．又因为点(1，2)在该曲线上，故有C=2+=，因此所求方程为y=一x+即3y+x=7．知识点解析：暂无解析18、设二元函数z＝z(z，y)由方程z＝x＋yez确定，求。标准答案：所给方程两边分别关于x，y求偏导数，得知识点解析：暂无解析19、求解方程．标准答案：本题考查微分方程的求解．此方程对未知函数y＝y(x)来讲不是线性方程，如将其改写为：上述方程是以x＝x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，，Q(y)＝－y故＝y2(C—lny)即为原方程的通解．知识点解析：暂无解析20、求函数f(x，y)=x2一xy+y2的梯度gardf(1，一1)．标准答案：fx=2x—y，fy=一x+2y，则=2+1=3，=一1—2=一3．故gradf(1，1)=(3，一3)．知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性．标准答案：记，考虑函数f(x)＝ex—1－x(x≥0)，由于f(x)在[0，＋∞)上连续。(0，＋∞)内可导，且f’(x)＝ex－1＞0，∴当x＞0时f(x)＞f(0)＝0，即f(x)是正值单调增加函数．由此可知所给级数为交错级数，{un}单调减少，又，由莱布尼茨定理知所给级数收敛。知识点解析：暂无解析22、将函数f(x)＝x－1(0≤x≤2)展成周期为4的余弦级数．标准答案：bn＝0(n＝1，2，…)知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、在约束条件x＋y＝1下，求函数z＝xy的极值．标准答案：由题可知：由拉格朗日乘数法知：可设F(x，y，λ)＝xy＋λ(x＋y－1)故时，z＝xy取极值．∴极大值为．知识点解析：暂无解析24、求曲面z=xy包含在圆柱x2+y2=1内部分的曲面面积S．标准答案：设所求曲面∑面积为S，该曲面在Oxy坐标面上的投影D：x2+y2≤1．知识点解析：暂无解析25、求函数f(x，y)=2(x+y)一x2一y2的极值．标准答案：由得驻点(1，1)，又由于fxx=一2<0，fxy=0，fyy=一2，而△=一fxxfyy=0-(一2)×(一2)=一4<0，所以f(x，y)在点(1，1)处取得极大值f(1，1)=2(1+1)一1—1=2．知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第6套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、平面x－2y＋3z＋4＝0的法向量为（）A、{1，－2，－3}B、{－1，2，－3}C、{－1，－2，3}D、{1，－2，3}标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设函数z＝sin(x＋y)，则（）A、cos(x＋y)B、－cos（x＋y）C、sin(x＋y)D、－sin（x＋y）标准答案：A知识点解析：暂无解析3、方程y’sinz＝ylny满足初始条件的特解是()A、B、esinxC、D、标准答案：D知识点解析：本题考查微分方程的特解．将选项A、B、C、D中的函数，代入初始条件，可知只有选项B、D满足．令f(x)＝esinx，，则有f’(x)＝esinxcosx，，故f’(x)sinx＝esinx.cosx.sinx≠esinx.sinx＝f(x)lnf(x)答案为D。4、设un≠0(n＝1，2，3…)，且A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、无法判断标准答案：C知识点解析：本题考查级数敛散性的判定．∵，∴在n→∞时，等同于级数，故该级数收敛，但为调和级数，不收敛，故条件收敛．答案为C．5、极限＝()A、B、C、D、π标准答案：A知识点解析：.答案为A．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、向量a＝{1，－2，2}的模为____________FORMTEXT标准答案：3知识点解析：｜α｜＝7、设函数z＝x4－2xy＋y2＋1，则＝____________FORMTEXT标准答案：-2知识点解析：＝4x3－2y，故＝4x3－2y｜（1，3）＝4－2×3＝－2．8、已知向量a=(0，一1，3}和b={一1，一2，1}，则一2a+b=______．FORMTEXT标准答案：{一1，0，一5}知识点解析：—2a+b=一2{0，一1，3)+{一1，一2，1}={0，2，一6}+{一1，一2，1}={一1，0，一5}．9、设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[－π，π]上表达式为则f(x)的傅里叶级数的和函数在x＝0处的值为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：本题考查函数傅里叶级数的和函数．因为f(x)是周期为2π的周期函数，x＝0是f(x)的间断点，所以f(x)收敛于[f(0—0)＋f(0＋0)]，即f(x)的傅里叶级数的和函数在x＝0处的值为．10、设f(x，y)＝e－xsin(x＋2y)，则_______．FORMTEXT标准答案：－2e－xEsin(x＋2y)＋cos(x＋2y)]知识点解析：[－e－xsin(x＋2y)＋e－x.cos(x＋2y)]＝－e－x.cos(x＋2y).2－e－x.sin(x＋2y).2＝－2e－x[sin(x＋2y)＋cos(x＋2y)]．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数11、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；标准答案：设un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，则当｜x2｜＜1时原级数收敛，故原级数的收敛半径为R＝1，当x＝±1时，则原级数可化为1／2n，故其发散，故原级数的收敛域为（－1，1）设S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），内逐项求导得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知识点解析：暂无解析12、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．标准答案：设an＝n，R＝＝1，当x＝±1时原级数均发散，故原级数的收敛域为（－1，1）设S(x)＝，逐项积分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函数S(x)＝x2／（1－x）2．知识点解析：暂无解析13、设函数z＝f(x＋y，lnxy)，其中f是可微函数，求标准答案：＝f1＋f2（lnxy）ˊ＝f1＋y／xyf2＝f1＋1／xf2，＝f1＋f2（lnxy）ˊ＝f1＋x／xyf2＝f1＋1／yf2．知识点解析：暂无解析14、判断级数是否收敛．如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛?标准答案：由柯西判别法得，绝对收敛．知识点解析：暂无解析15、设∑为坐标面及平面x=1，y=1，z=1所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分(2xz2+y2一z)dxdy．标准答案：设Ω：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1．由高斯公式得知识点解析：暂无解析16、求z＝sinxcosy在点的切平面与法线方程．标准答案：令F(x，y，z)＝sinxcosy－z知识点解析：暂无解析17、求过点(一1，1，2)并且与平面2x—y+z一5=0和平面x—y=0都平行的直线方程．标准答案：两平面的法向量分别为n1={2，一1，1}，n2={1，一1，0}，则所求直线的方向向量知识点解析：暂无解析18、求函数u＝f(x，y，z)＝x＋xy＋yz在点(1，0，3)处沿方向角为α＝60°，β＝45°，γ＝60°的方向导数．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求微分方程e2x－ydx－ex＋ydy＝0的通解．标准答案：原方程可化为：e2xdy＝exdx两边积分∫e2ydy＝∫exdx所以通解为．知识点解析：暂无解析20、判断级数的敛散性．标准答案：设级数部分和数列为{Sn}，则即该级数的部分和Sn有界，由正项级数收敛的充要条件知该级数收敛．知识点解析：暂无解析21、求周期函数f(x)＝｜sinx｜的傅里叶级数展开式．标准答案：f(x)＝｜sinx｜是周期为π的周期函数．由于f(x)在上是偶函数，所以知识点解析：暂无解析22、在曲面z＝xy上求一点，使这点的法线垂直于平面x＋3y＋z＋9＝0，并写出法线方程．标准答案：易知平面x＋3y＋z＋9＝0的法向量为n1＝{1，3，1)．令F(x，y，z)＝z－xy则Fx＝y，Fy＝－x，Fz＝1从而曲面上任一点(x0，y0，z0)处的法向量为n2＝{－y0，－x0，1}依题意知n1∥n2故有即x0＝－3，y0＝－1从而曲面上点(3，－1，3)处的法线垂直于平面x＋3y＋z＋0＝0．该点处的法线方程为．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求函数(a＞0，b＞0)的极值．标准答案：令fx’(x，y)=0，fy’(x，y)=0，得x=y=0故此函数无极值．知识点解析：暂无解析24、将函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间．标准答案：本题考查函数的幂级数展开．知识点解析：暂无解析25、在一长宽高之和为一常数C的长方体中，求出一个具有最大体积者．标准答案：设长方形的长宽高分别为x，y，z，则体积V=xyz，x+y+z=C，构造拉格朗日函数F(x，y，z，λ)=xyz一λ(x+y+z—C)，令根据实际意义知，x=y=z=体积最大．知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第7套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、函数f(x，y)＝的定义域是（）A、｛(x，y)｜1≤x2＋y2＜4｝B、｛(x，y)｜1＜x2＋y2≤4｝C、｛(x，y)｜1＜x2＋y2＜4｝D、｛(x，y)｜1≤x2＋y2≤4｝标准答案：C知识点解析：由题意知故选C2、下列结论不正确的是（）A、点(0，0)是曲线y＝x2的驻点B、x＝0是函数y＝x2的极小值点C、y＝0是函数y＝x2的极小值D、点(0，0)不是曲线y＝x2的拐点标准答案：D知识点解析：函数y＝x2的图形，如下图所示，我们可以由图形直接观察出A、B、C正确，D选项错误．3、交换积分顺序，则＝（）A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：又二重积分f(x，y)dy可知，积分区域D：0＜x＜1，0＜y＜，如下图所示，故原积分＝4、微分方程y"＝ex的通解是（）A、ex＋C1x＋C2B、exC、ex＋C1xD、ex＋C1标准答案：A知识点解析：y〞＝ex，两边同时积分yˊ＝ex＋C1，两边再同时积分y＝ex＋C1x＋C2．5、设无穷级数收敛，则（）A、P＞1B、P＜－1C、P＜1D、P＞－1标准答案：B知识点解析：无穷级数，当－p＞1，即p＜－1时收敛，故选B二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、已知向量a＝{k，2，－6)和β＝{2，－1，3｝平行，则常数k＝____________FORMTEXT标准答案：-4知识点解析：因为α与β平行，故有k／2＝2／－1＝－6／3＝－2，即k＝－4．7、设函数f(x，y)＝x2－y2，则f(x+y，)＝____________FORMTEXT标准答案：x2＋xy＋y2知识点解析：因f(x，y）＝x2－y2，则f(x＋y，)＝（x＋y）2－（）2＝x2＋2xy＋y2－xy＝x2＋xy＋y2．8、设λ是常数，若(1／y＋x)dx＋(y2－x／yλ)dy是某个函数u(x，y)的全微分，则λ＝____________FORMTEXT标准答案：2知识点解析：令P(x，y)＝1／y＋x，Q(x，y)＝y2－x／yλ，则＝－1／y2，＝－1／yλ，因为（1／y＋x）dx＋（y2－x／yλ）dy是某个函数u（x，y）的全微分，故即λ＝2．9、通解为y＝C1ex＋C2e2x(C1，C2为任意实数)的二阶常系数线性齐次微分方程为____________FORMTEXT标准答案：y〞－3yˊ＋2y＝0知识点解析：由题意可知，二阶常系数线性齐次微分方程对应的特征方程有两个不相等的实根，r1＝1，r2＝2，故特征方程为r2－3r＋2＝0，因此所要求的的微分方程为y〞－3yˊ＋2y＝0．10、若必____________FORMTEXT标准答案：发散知识点解析：暂无解析三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、计算I＝标准答案：I＝（x＋1）dy＝（xex＋ex）dx＝xexdx＋exdx＝＝e．知识点解析：暂无解析12、计算I＝，其中D={(x，y)｜x2＋y2≤x＋y｝标准答案：利用极坐标系区域D可写为，则I＝知识点解析：暂无解析13、计算I＝，其中Ω是由锥面z＝与平面z＝1所围成的闭区域标准答案：区域Ω在Oxy平面上的投影区域Dxy（如上图所示）I＝知识点解析：暂无解析14、求由x2－2x＋y2＝0，z＝x2＋y2／2，与z＝0所围成的立体的体积标准答案：积分区域D：(x－1)2＋y2≤1，0≤z≤（x2＋y2／2，由柱面坐标法得V＝知识点解析：暂无解析15、计算三重积分，其中Ω是由一2≤x≤2，一3≤y≤6，0≤z≤1所围成标准答案：知识点解析：暂无解析16、求由直线x＋y＝2，x＝2，y＝2所围成的面积标准答案：积分区域D：x＋y≥2，x＝2，y＝2，如下图所示．知识点解析：暂无解析17、计算的值，L是抛物线x＝－y2上点A(－2，)与O(0，0)之间的一段弧标准答案：弧微分公式：ds＝．因为x＝－y2，所以ds＝，故有知识点解析：暂无解析18、计算曲线积分I＝其中L是有向线段，起点为A(1，1)，终点为B(2，2)标准答案：令P(x，y)＝y／x2（x2sinxy－1)，Q（x，y）－1／x（1＋x2sinxy）dy，则＝1／x2（x2sinxy－1）＋y／x2·x3cosxy＝－（1／x2）＋sinxy＋xycosxy，＝－（1／x2）（1＋x2sinxy）＋1／x（2xsinxy＋＋x2ycosxy）＝－（1／x2）＋sinxy＋xycosxy．即故曲线积分与路径无关，选取路径如上图所示，在线段AC上y＝1,dy＝0,在线段BC上，x＝2，dx＝0．故知识点解析：暂无解析19、设du＝(x2＋xy)dx＋(y2＋x2／2)dy，求原函数u(x，y)标准答案：令P(x，y)＝x2＋xy，Q(x，y)＝y2＋x2／2，则有此处易出错是漏掉常数C．知识点解析：暂无解析20、计算曲面积分I＝，其中∑是平面x＋y＋z＝1在第一卦限中的部分标准答案：积分区域∑如下图所示，∑：z＝1－x－y，则曲面的面积微元知识点解析：暂无解析21、将坐标的曲线积分转换成对弧长的曲线积分，其中L为沿抛物线y＝x2＋2从点A(0，2)到B(1，3)标准答案：ds＝，cosα＝dx／ds＝，则cosβ＝sinα＝．故．知识点解析：暂无解析22、应用格林公式计算曲线积分I＝，C由z＝0，y＝0，y－x＝1围成标准答案：闭区域D：x＝0，y＝0，y－x＝1，如下图所示．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求点M(2，1，4)到直线L：（x－1）／3＝（y＋1）／－2＝（z－3）／1的距离标准答案：设点M到直线L的垂足为N，则就是点M到直线L的距离，因点N在直线L上，故设N对应的参变量为t，则N(3t＋1，－2t－1，t＋3)，又因直线L的方向向量为v＝{3，－2，1}，由题意可知v⊥＝{3t－1，－2t－2，t－1}，则v·＝0，即3(3t－1)＋(－2)·(－2t－2)＋(t－1)＝0，解得t＝0，从而＝{－1，－2，－1}，则有于是点M到直线L的距离为．知识点解析：暂无解析24、(1)已知函数z＋y＋z＝sin(x＋y＋z)，求z对x，y的一阶与二阶偏导数；(2)已知函数z＝，求dz．标准答案：令F(x，y，z)＝x＋y＋z－sin（x＋y＋z），则Fx＝Fy＝Fz＝1－cos（x＋y＋z）．故＝－Fx／Fz＝－1，＝－Fy／Fz＝－1，＝0．＝y··（－x2／2y2）ˊ＝＝1／y2（x2＋y2）所以dz＝－x／ydx＋1／y2（x2＋y2）dy＝e﹙－x2／2y2）／y2［－xydx＋（x2＋y2）dy］．知识点解析：暂无解析25、求曲面z＝x2＋2xy＋4y2在点(1，－2，13)处的切平面及法线方程标准答案：设F(x，y，z)＝x2＋2xy＋4y2－z则有Fx＝2x＋2y，Fy＝2x＋8y，Fz＝－1．故Fx(1，－2，13)＝－2，Fy(1，－2，13)＝－14，Fz(1，－2，13)＝－1．因此切平面方程为－2(x－1)－14(y＋2)－(z－13)＝0．即2x＋14y＋z＋13＝0．法线方程为（x－1）／－2＝（y＋2）／－14＝（z－13）／－1．知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第8套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、下列微分方程中为线性微分方程的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据线性微分方程定义：线性是指方程关于未知函数y及其导数dy／dx都是一次的，故只有B项满足条件．答案为B．2、y"=sin(一x)的通解为()A、sin(一x)B、一sin(一x)+C1x+C2C、一sin(一x)D、sin(一x)+C1x+C2标准答案：B知识点解析：对方程两边积分得y’=cos(一x)+C1，对方程两边积分得y=一sin(一x)+C1x+C2，即为原方程的通解．3、微分方程y"=ex的通解是()A、ex+C1x+C2B、exC、ex+C1xD、ex+C1标准答案：A知识点解析：y"=ex，两边同时积分y=ex+C1，两边再同时积分y=ex+C1x+C2．4、设函数z=sin(x+y)，则()A、cos(x+y)B、一cos(x+y)C、sin(x+y)D、一sin(x+y)标准答案：A知识点解析：暂无解析5、已知函数f(x＋y，x－y)＝x2y2，则fx(x，y)＋fy(x，y)＝()A、2x－2yB、x＋yC、2x＋2yD、x－y标准答案：D知识点解析：因f(x＋y，x－y)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)故f(x，y)＝xy从而fx(x，y)＋fy(x，y)＝y＋x．答案为B。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[－π，π)上的表达式为，则f(x)的傅里叶级数的和函数在x＝π处的值为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：本题是有关傅里叶级数的问题．x＝π是[－π，π)的端点，所以7、区域Ω是由平面z=0，x2+y2+z2=1(z≤0)所围成的闭区域，则FORMTEXT标准答案：知识点解析：8、设二次积分，则交换积分次序后得I＝________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：本题是有关多元函数二次积分的交换积分次序的问题．二次积分的积分区域D如图阴影部分，故．9、设Ω={(x，y，z)|0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1)，则FORMTEXT标准答案：知识点解析：10、设二元函数z＝x2－xy＋y2－2x＋y，则z的极小值为________．FORMTEXT标准答案：-1知识点解析：z的定义域为xOy平面．它的可能极值点为方程组的解(x，y)＝(1，0)．此时，则A＞0，AC－B2＞0，所以z(1，0)＝－1是极小值，即z有极小值－1．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、求过点P(1，0，7)且与平面x—z=10和y+2z=3都平行的直线方程．标准答案：两平面的法向量分别为n1={1，0，-1}，n2={0，1，2}．设所求直线的方向向量为v，由于直线与两平面都平行，所以v⊥n1，v⊥n2，v=n1×n2=={1，-2，1}，又直线过点P（1，0，7），则其对称式方程为．知识点解析：暂无解析12、判别级数的敛散性．标准答案：因为知识点解析：暂无解析13、设三元函数，求在点A(1，0，1)处沿A指向点B(3，－2，2)方向的方向导数．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于x+3y=1，且点(3，1)在该曲线上．标准答案：又因为点(3，1)在该曲线上，故有C=因此所求方程为即3y+x=6．知识点解析：暂无解析15、将cosx展开成的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算二重积分，其中D是由x+y=一1，x=0，y=0所围成的区域．标准答案：积分区域D，如下图所示，于是知识点解析：暂无解析17、求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于x+3y=1，且点(1，2)在该曲线上．标准答案：由题意y’=一，所以y=一x+C．又因为点(1，2)在该曲线上，故有C=2+=，因此所求方程为y=一x+即3y+x=7．知识点解析：暂无解析18、已知函数z=ysinx，求全微分dz．标准答案：zx=ycosx，zy=sinx，则所求的全微分dz=ycosxdx+sinxdy．知识点解析：暂无解析19、求函数f(x，y，z)=x2yz+yz在点(一1，2，1)处的梯度．标准答案：=2xyz，=x2z+z，=x2y+y，则=—4，=2，=4，故gardf(—1，2，1)=(—4，2，4)。知识点解析：暂无解析20、求二阶微分方程y"+y’一ex=0的通解．标准答案：此微分方程属于y"=f(x，y’)型，令p=y’，代入原方程得p’+p—ex=0，即p’+p=ex，该方程对应的齐次微分方程为p’+p=0，分离变量并积分=—dx．p=C1e-x，利用常数变易法，令P=u(x)e-x，则p’=u’(x)e-x一u(x)e-x，将p’及p户代入微分方程p’+p=ex得u’(x)e-x=ex，即u’(x)=e2x，积分得u(x)=e2x+C1，则p=(e2x+C1)e-x=ex+C1e-x．即y’=ex+C1e-x．则原微分方程的通解y=ex一C1e-x+C2．知识点解析：暂无解析21、求函数f(x，y)=exy在点(1，2)处沿从点(1，2)到点(2，2+)的方向的方向导数．标准答案：方向l={2—1，2+—2}={1，}=yexy，=xexy，cosα=，cosβ=．故知识点解析：暂无解析22、判断级数的敛散性。标准答案：故原级数收敛．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、(1)已知函数x+y+z=sin(x+y+z)，求z对x，y的一阶与二阶偏导数；(2)已知函数z=，求dz．标准答案：(1)令F(x，y，z)=x+y+z一sin(x+y+z)，则Fx=Fy=Fz=1一cos(x+y+z)．故(2)所以dz==知识点解析：暂无解析24、求的收敛域．标准答案：当x＞0时，e-x＜1；x＜0时，e-x＞1；x=0时，发散，所以收敛域x∈(0，+∞)．知识点解析：暂无解析25、求由曲面z=x2+y2，z=3(x2+y2)和y=x，y=x2所围成的立体的体积．标准答案：空间体在Oxy面上的投影D：0≤x≤1，x2≤y≤x，故所求体积知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第9套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、微分方程x3y2dx－(2y＋xysinx)dy＝0是（）A、可分离变量微分方程B、一阶线性齐次微分方程C、一阶线性非齐次微分方程D、齐次微分方程标准答案：A知识点解析：暂无解析2、下列命题中正确的是（）A、若收敛，则必收敛B、若都发散，则必发散C、若必发散D、若收敛，则必有＝r＜1标准答案：C知识点解析：