2022北京一六一中初三（上）期中数学（试卷含答案解析）

第1页/共1页2022北京一六一中初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标为（）A. B. C. D.3.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.4.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A.55° B.70° C.125° D.145°5.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C=15°，则∠BOC=（）A.60° B.45° C.30° D.15°6.已知点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.7.已知函数，其中，，此函数的图象可以是（）A. B. C. D.8.如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A.﹣4 B.﹣2 C.1 D.3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若关于的一元二次方程的一根为1，则的值是________．10.请写出一个开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式：____________．11.某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x，则可列方程为_______________．12.如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则的长为________．13.将抛物线向上平移个单位长度后，所得新抛物线经过点，则的值为_____________．14.如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则____________．15.已知抛物线与直线相交于A，B两点，若点A的横坐标，则点的横坐标的值为_____________．16.已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论：①当时，；②当时，的最大值为0；③当时，可以取到的最大值为7；上述结论中，所有正确结论的序号是_____________．三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26题每题6分，27-28每题7分）17.解方程18.已知是方程的一个根，求代数式的值．19.已知关于的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（－3，4），B（－5，1），C（－1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．21.如图，在中，直径，垂足为，若，，求的半径．

22.已知二次函数．（1）直接写出二次函数图象的顶点坐标；（2）画出这个二次函数的图象；（3）当时，的取值范围是_____________．23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当∠BDE=25°时，求∠BEF的度数．

24.已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求Р点坐标．25.某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．（米）0.01.02.03.04.8…（米）1.01.752.01.750…请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．（2）请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点距离湖面的高度为______米，此时抛物线的解析式为______．（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的4人平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．求公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（备注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同）26.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线没有公共点，求a的取值范围；（3）点，在此抛物线上，且当时，都有．直接写出a的取值范围．27.在中，，点E是内一动点，连接，将绕点A顺时针旋转a，使边与重合，得到，延长与射线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究与的数量关系为___________；（3）如图2，若平分，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．

28.对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．（1）已知：，，点，①在，，中，是的覆盖特征点的为___________；②若在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．（2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义判断即可．【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，属于基础的几何变换考查，难度不大．解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．其中轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2.【答案】C【解析】【分析】根据给出的二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵，∴此函数的顶点坐标是．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．顶点式的顶点坐标为．3.【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，故选A．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4.【答案】C【解析】【详解】解：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB1=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．∴旋转角等于125°．故选：C．5.【答案】C【解析】【分析】由于OA、OC都是⊙O的半径，由等边对等角，可求出∠A的度数；进而可根据圆周角定理求出∠BOC的度数．【详解】解：∵OA=OC，∴∠A=∠C=15°；∴∠BOC=2∠A=30°；故选C．【点睛】此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．6.【答案】D【解析】【分析】分别计算自变量为、2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【详解】解：当时，，当时，，所以．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【详解】解：∵a=-1＜0，b＞0，c＜0，

∴该函数图象的开口向下，对称轴是，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握判定方法是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】抛物线与抛物线的对称轴相同是解题的关键.【详解】解：∵关于x的方程有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴也是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为∴方程的另一个根为故选B．【点睛】考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的对称轴方程是：．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】1【解析】【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值．【详解】解：把x=1代入方程有：1＋m−2m＝0m＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．10.【答案】【解析】【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为即可．【详解】解：根据题意得：（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．11.【答案】200（1+x）2=320【解析】【分析】根据销售额平均每月的增长率为x，先求出9月份销售额(200+200x)万元，10月份(200+200x)+(200+200x)x=200（1+x）2,然后让10月销售额=320，列方程即可．【详解】解：设销售额平均每月的增长率为x，根据题意得200（1+x）2=320．故答案为200（1+x）2=320．【点睛】本题考查增长率问题，抓住增加额=前一月销售额×增长率，根据8月份销售额，利用增长率表示出10月份销售额是解题关键．12.【答案】【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．【详解】解：连接OC，∵BC⊥OA，∴∠ODC=90°，BD=CD，∵OD=AD，∴OD=OA=×4=2，∴CD=，∴BC=2CD=，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．13.【答案】2【解析】【分析】设经过平移后新抛物线的解析式为，然后把点代入求解即可．【详解】解：设经过平移后新抛物线的解析式为，∵新抛物线经过点，∴，解得：；故答案为2．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．14.【答案】##75度【解析】【分析】根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得．【详解】解：由旋转的性质可知，，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．15.【答案】5【解析】【分析】根据题意A、B关于抛物线的对称轴对称，先求得抛物线的对称轴，据此求解即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=，根据题意A、B关于抛物线的对称轴对称，∵，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，明确A、B关于抛物线的对称轴对称是解题的关键．16.【答案】②③##③②【解析】【分析】分两种情况，根据二次函数的性质可判断①，把代入二次函数解析式，分类讨论对称轴位置与直线及直线的位置关系可判断②，当抛物线开口向上，顶点为，且经过时，时y取最大值，从而判断③．【详解】解：二次函数中，当时，二次函数，对称轴为y轴，时，时，y取最小值为0，或时，y取最大值为a，∴；时，时，y取最大值为0，或时，y取最小值为a，∴；综上，①错误；当时，，抛物线开口向上，当时，y取最小值，当时，或时y取最大值，∴或，∵，∴．∴由可得．当时，，当时为最大值，∵，∴，当时，，当时为最大值，∵，∴，综上所述，c的最大值为0，②正确；∵当时，总有，∴当抛物线开口向上，顶点为，且经过时，时,y可以取最大值，如图，设，把代入得，解得，∴，把代入得，∴③正确，综上，②③正确，故答案为：②③．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26题每题6分，27-28每题7分）17.【答案】【解析】【分析】根据公式法进行求解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．18.【答案】6【解析】分析】把代入方程，得出，再整体代入求值即可．【详解】解：=．∵a是方程的根∴．∴．∴原式=6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值．19.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；

（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．【详解】（1），∵，∴方程总有实数根；（2）∵，∴，，∵方程有一个根为负数，∴，∴．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．20.【答案】（1）见解析；(5，-1)；（2）见解析，(-1，5)【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征：坐标符号相反，写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2.．【详解】解：（1）∵△ABC关于原点对称的△A1B1C1，∴关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，∵△ABC的三个顶点分别为A（－3，4），B（－5，1），C（－1，2）．∴△A1B1C1的三个顶点分别为A1（3，-4），B1（5，-1），C1（1，-2），在平面直角坐标系中描出点A1（3，-4），B1（5，-1），C1（1，-2），顺次连结A1B1，B1C1，C1A1，则△A1B1C1为所求如图，点B1的坐标为（5，-1）；（2）∵△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，∴绕原点顺时针旋转90°，点的横坐标，纵坐标换位，符号看象限，∵△ABC的三个顶点分别为A（－3，4），B（－5，1），C（－1，2）．∴△A2B2C2的三个顶点分别为A2（-4，-3），B2（-1，-5），C2（-2，-1），在平面直角坐标系中描出点A2（-4，-3），B2（-1，-5），C2（-2，-1），，顺次连结A2B2，B2C2，C2A2，则△A2B2C2为所求如图，点B2的坐标为（-1，-5）．【点睛】本题考查的是原点对称和旋转，掌握关于原点对称的点的特征和旋转后坐标的特征是解题的关键．21.【答案】的半径为【解析】【分析】设的半径为r，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解．【详解】解：设的半径为r，∵，∴，∵，，∴，∴在中，由勾股定理得：，解得：，即的半径为．【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．22.【答案】（1）顶点坐标为；（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可求解；（2）确定其对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标后即可确定函数的图象；（3）分别令和4求得函数值后即可确定y的取值范围．【小问1详解】解：；∴顶点坐标为；【小问2详解】解：列表：x12345y3003描点，连线，故图象为：；【小问3详解】解：∵当时，；当时，，又∵当时，y有最小值，∴当时，y的取值范围是，故答案为．【点睛】本题考查了二次函数的图象及二次函数的性质，作二次函数的图象时，关键是抓住几个关键点．23.【答案】（1）见解析；（2）∠BEF=65°【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，可得结论；（2）由全等三角形的性质以及三角形内角和定理可求解．【小问1详解】证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；【小问2详解】解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠CAD=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，∵∠BDE=25°，∴∠BEF=65°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24.【答案】（1）；（2）点P坐标或或或．【解析】【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式；（2）求出点B坐标，由可得点P坐标，从而求解．【小问1详解】解：将代入得，解得，∴；【小问2详解】解：∵，∴抛物线对称轴为直线，∵点A坐标为，∴点B坐标为，∴，

∵三角形的面积为6，∴，∴，把代入得，解得或；把代入得，解得或，∴点P坐标为或或或．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系，通过分类讨论求解．25.【答案】（1）作图见解析（2）2；（3）水枪高度调节到1.66米以上【解析】【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；（3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．【小问1详解】解：如图【小问2详解】解：由图象可知水珠最高点距离湖面的高度为2米；根据图象设二次函数的解析式为将代入得∴抛物线的解析式为故答案为：2；．【小问3详解】解：设水枪高度至少向上调节米由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为∴当横坐标为时，纵坐标的值大于等于∴解得∴水枪高度至少向上调节0.66米∴水枪高度调节到1.66米以上．【点睛】本题考查了二次函数喷泉应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．26.【答案】（1）c=-2，抛物线的对称轴为直线x=1（2）0<a<4（3）或【解析】【分析】（1）把，分别代入，求得c=-2，b=-2a，再把c=-2，b=-2a代入得y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2，根据抛物线的顶点式，即可求出抛物线的对称轴；（2）把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，根据抛物线与直线没有公共点，则Δ=(-2a)2-4a×4<0，即a(a-4)<0，当a>0时，则a-4<0，即a<4，则0<a<4；当a<0时，则a-4>0，即a>4，此时，无解；即可得出答案；（3）把点，分别代入y=ax2-2ax-2，得y1=at2-2at-2，y2=a(t-1)2-2a(t-1)-2=at2-a-2，求得|y2-y1|，进而求出at的范围，结合a、t范围，求解即可．【小问1详解】解：把，分别代入，则，解得：，当c=-2时，抛物线解析式为：y=ax2-2ax-2=a(x-1)2-a-2，∴抛物线的对称轴为直线x=1；【小问2详解】解：把y=-6代入y=ax2-2ax-2，整理得ax2-2ax+4=0，∵抛物线与直线没有公共点，∴Δ=(-2a)2-4a×4<0，即a(a-4)<0，当a>0时，则a-4<0，即a<4，∴0<a<4，当a<0时，则a-4>0，即a>4，此时，无解；综上，a的取值范围为0<a<4；【小问3详解】解法一：∵点，在此抛物线上，∴y1=at2-2at-2，y2=a(t+1)2-2a(t+1)-2=at2-a-2，∴|y2-y1|=|(at2-2a-2)-(at2-2at-2)|=|a(2t-1)|，∵当-2≤t≤4时，都有|y2-y1|<，∴-<|a(2t-1)|<,∴∵a≠0，∴当a<0时，，∴，解得：，当a>0时，，∴，解得：,综上，a的取值范围是或．解法二：由已知∵∴∴∵当时，都有∴，即∵a≠0，综上，a的取值范围是或．【点睛】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象与直线无交点问题，熟练掌握二次函数图象性质和利用不等式求参数的范围是解题的关键．27.【答案】（1）图见解析；（2）=；（3），证明见解析．【解析】【分析】（1）依据题中语句根据旋转的性质作出图形即可；（2）根据旋转前后对应角相等，再利用邻补角和等角的补角相等即可得出结论；（3）根据角平分线和旋转的性质可证AE//BM，再利用（2）中的结论和平行线的性质进一步证明∠MEA=∠DAE，∠DME=∠MDA，根据等角对等边可得AN=NE,MN=DN，利用线段的和差