4高中数学新教材课堂导学案（直线的倾斜程度）及答案

课堂导学（平面直角坐标系中直线的倾斜程度）【知识点】1.直线的倾斜角：直线向上的方向和轴正方向所夹的叫叫做直线的倾斜角.倾斜角记为，则2.直线的斜率：倾斜角的正切值称为斜率，记为，即（）.注：由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．3.过与的直线的斜率：（为直线的倾斜角）；注：对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；(2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．4.两直线与（不重合）的平行与垂直：（1）平行：当直线的斜率分别为.若∥，则与的倾斜角与相等.由，可得，即；当直线斜率都不存在时，倾斜角与都等于90°则∥.（2）垂直：设两条直线的斜率分别为.若，则.【例题】例1.已知三条直线的倾斜角分别为，，，则它们的斜率分别为，，.例2.如下图所示，写出图中直线（）的斜率.AA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10例3.如图所示，，，则（1），，；（2）直线与直线是否垂直？（填“是”或“否”）（3）一条直线过点且与线段有公共点，则其斜率的取值范围是；（4）一条直线过点且与线段有公共点，则其斜率的取值范围是.例4.（多选题）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，由倾斜角定义知，，，，故C正确；由，知，，，，故B正确；故选：BC【直线的倾斜程度】一、选择题1．下列说法正确的是(D)A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C．与x轴平行的直线的倾斜角为180°D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率1.D解析：选项A成立的前提条件为直线和x轴相交，故错误；选项B中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C中与x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．2．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是(B)A．1B．2C．3D．43．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(C)A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在C解析：由倾斜角的定义知直线AB的倾斜角为90°，而当倾斜角为90°时，斜率不存在．4．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(D)A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k25．已知直线经过点，，则直线的斜率为（A）A． B． C． D．6．若直线过点(1,2)，(4,2＋eq\r(3))，则此直线的倾斜角是(C)A．30° B．45° C．60° D．90°7．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形6.C解析kAB＝eq\f(－1－1,2＋1)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1＋1)＝eq\f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．8．如果过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，那么m的值是（A）A．1 B．4 C．1或3 D．1或49．（2022·全国·高二课时练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：，要想直线l过点且与线段AB相交，则或，故选：A10．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．【详解】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，结合正切函数的性质，可得．故选：B．二、填空题11．已知直线经过两点，，则直线的斜率为3.12．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为__30°或150°___，斜率为____eq\f(\r(3),3)或－eq\f(\r(3),3)___．13.已知点，点在轴上，若直线的斜率为，则点的纵坐标是．14．（2022·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.【答案】

【解析】【分析】根据直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，利用斜率公式，结合二次函数性质求解；设其倾斜角为，，利用正切函数的性质求解.【详解】因为直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，所以l的斜率为，所以l的斜率取值范围为，设其倾斜角为，，则，所以其倾斜角的取值范围为，故答案为：，三、解答题15．已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，eq\r(3)＋1)，(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围．10.解(1)由斜率公式得kAB＝eq\f(1－1,1－－1)＝0，kAC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－－1)＝eq\f(\r(3),3).(2)如图所示．kBC＝eq\f(\r(3)＋1－1,2－1)＝eq\r(3).设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3))).二、直线的方程1.点斜式：（直线过点，且斜率为）；（1）点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；（2）当直线的倾斜角为时，直线方程为；（3）当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：.（4）表示直线去掉一个点；表示一条直线.2.斜截式：（为直线在轴上的截距）；注：（1）b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；（2）斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；（3）当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.（4）斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.（5）斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.3.一般式：（、不全为零）.（1）当时，方程可化为，它表示过点，斜率为的直线．（2）当，时，方程化为，即，此时直线与轴垂直．（3）由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．三、两条直线的平行与垂直1.当直线；①若平行且；②若垂直.2.当直线：，：①若平行且不重合；②若垂直.四、距离公式：1.两点的距离：2.点到直线的距离公式：3.两平行直线点距离：例1．（2022·全国·高二课时练习）过点，斜率为的直线在x轴上的截距为______．【答案】【解析】【分析】写出直线的点斜式方程，令，即可求得结果.【详解】由题可知所求直线方程为：，令，解得，即直线在x轴上的截距为.故答案为：.例2．（2022·江苏·高二）已知三点，（1）△ABC为__________三角形.【答案】直角【解析】【分析】根据直线斜率关系即得.【详解】如图，猜想是直角三角形，由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，由，得即，所以是直角三角形.故答案为：直角.（2）求直线的方程；（3）求边上的中线所在的直线方程.例3.（多选题）（2022·江苏·高二）下列说法正确的是（

）A．直线必过定点B．直线在y轴上的截距为2C．直线的倾斜角为60°D．过点且平行于直线的直线方程为【答案】AC【解析】【分析】将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；【详解】解：对于A，，即，