22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式课件人教版数学九年级上册2

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质用待定系数法求二次函数的解析式1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）学习目标知识回顾1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？

2个2个待定系数法(1)设：（设出函数的表达式）(2)代：（将已知点坐标代入）(3)解：方程（组）(4)写：（写表达式）

问题探究问题1（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15解：

设这个二次函数的表达式是：y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入，得：①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，

解得：

a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.问题探究四“写”：归纳总结用一般式法求二次函数表达式的方法：已知抛物线上任意三点的坐标，设表达式为：y=ax2+bx+c，从而求出二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：一“设”：设函数表达式为y=ax2+bx+c；二“代”：将已知点的坐标代入所设表达式，得到一个三元一次方程组；三“解”：解方程组得到a,b,c的值；把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.例1一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解：

设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,4a+2b+c=4，9a+3b+c=10，

解得：∴所求的二次函数的表达式是将（0,1）(2,4)、(3,10)三点坐标代入得：c=1，典例精析练一练1.已知二次函数图象经过三点（-1，-5）,（0,4）和（1,1）,求该函数的解析式2.已知二次函数的图象经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点，求该函数的解析式.3.已知二次函数的图象经过(-1,-1)、(0,2)、(1,3)三点，求该函数的解析式.已知抛物线的顶点坐标为（-2，1）且抛物线过点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,

y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得：

a(1+2)2+1=-8，解得：a=-1.∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得：问题探究归纳总结四“写”：已知抛物线的顶点坐标，设表达式为y=a（x-h）2+k，从而求出二次函数表达式的方法叫做顶点式法.其步骤是：一“设”：设函数表达式是y=a(x-h)2+k；二“代”：先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；三“解”：将另一点的坐标代入原方程求出a值；将a用解得数值换掉，写出函数表达式.例2已知二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：设函数表达式为：y=a(x-8)2+9.将点(0,1)代入得：1=a(0-8)2+9.解得：∴所求的二次函数的解析式是典例精析练一练1.已知抛物线的顶点坐标为（2,-1）,且抛物线经过点（1,3）,求抛物线的解析式.2.已知当x=1时，二次函数有最大值，最大值为5,且图象经过点（0,3）,求该二次函数的解析式.

可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得：

y=a(x+3)(x+1).再把点（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即：y=-x2-4x-3.已知抛物线经过(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)三点，试出这个二次函数的表达式.解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.问题探究归纳总结用交点式法求二次函数表达式的方法：已知抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1,0），（x2,0），设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)从而求出抛物线解析式的方法叫做交点法.其步骤是：一“设”：设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；二“代”：先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；三“解”：将第三个点代入所得的方程中求出a值；四“写”：将解得的数值换掉a，写出函数表达式.例3.已知抛物线与x轴交于点(1,0)，(3,0)，且图象过点(0,－6)，求该抛物线的解析式．解:设该抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3)∴所求二次函数表达式为

y=-2(x-1)(x-3)，即y=-2x2+8x－6.典例精析将点（0，-6）代入，得：∴a(0-1)(0-3)=-6，解得a=-2，练一练1.已知抛物线经过（3,0）,（1,-4），对称轴是直线x=1,求抛物线的解析式.2.已知抛物线与x轴交于点(-1,0)，(3,0)，与y轴交于点(0,－3)，求该抛物线的解析式．用待定系数法求二次函数解析式的基本思路：归纳总结1.已知任意三点的坐标，设表达式为y=ax2+bx+c.2.已知顶点坐标或对称轴或最值，设表达式为y=a(x-h)2+k.3.已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（x1,0）、B（x2,0），设表达式为y=a(x-x1)(x-x2).4.已知抛物线经过坐标原点，设表达式为y=ax2+bx.5.已知抛物线顶点是坐标原点，可设表达式为y=ax2.6.已知抛物线的顶点在y轴上，设表达式为y=ax2+k.7.已知抛物线的顶点在x轴上，设表达式为y=a(x-h)2.例4.已知二次函数y＝ax2

＋

c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函数表达式为

y=2x2－5.∴{a=2，c=－5.解得{典例精析已知二次函数y＝ax2

＋

bx的图象经过点(－2，8)

和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），做一做

图象经过原点8=4a-2b，5=a-b，∴{解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x.1.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=1；当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0，求这个二次函数的解析式.2.已知抛物线的顶点坐标为（-2，-5）且过点（1，-14），求这个抛物线的解析式.3.已知抛物线与x轴交于点A（-3,0），对称轴是直线x=-1，且过点（2,4），求这个抛物线的解析式.当堂练习4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是

.

顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+65.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得：

a-b＋c＝-5，c＝－4，a＋b＋c＝1.解得a＝2b＝3c＝－4

∴

这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.当堂练习6.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝