1.1.1空间向量及其运算（第2课时空间向量的数量积）课件高二上学期数学人教B版选择性

第一章空间向量与立体几何

空间向量及其运算第2课时空间向量的数量积人教B版

数学

选择性必修第一册课程标准1.理解空间向量夹角的概念;2.掌握空间向量的数量积的概念、相关性质及数量积的运算律;3.能运用向量的数量积,判断向量垂直,并用于证明两直线垂直.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1空间向量数量积的概念(1)空间向量的夹角

定义给定两个非零向量a,b,任意在空间中选定一点O,作

=a,=b,则大小在[0,π]内的

称为a与b的夹角,记作<a,b>

范围

向量垂直如果<a,b>=,则称向量a与b互相垂直,记作

∠AOB

0≤<a,b>≤πa⊥b(2)向量的投影

一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α),过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量

称为a在直线l(或平面α)上的投影.(3)空间向量的数量积两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cos<a,b>.规定零向量与任意向量的数量积为0.向量的投影仍是一个向量

名师点睛1.空间向量的数量积是一个实数而不是一个向量.2.数量积的正负取决于向量的夹角,注意两向量反向时夹角为π.3.数量积的几何意义:向量a在b上投影的数量与b的模的乘积.过关自诊判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)[北师大版教材习题]向量b在a方向上的投影的数量等于向量a在b方向上的投影的数量.(

)××知识点2空间向量数量积的性质及其运算律(1)性质①若a,b为非零向量,则

⇔a·b=0(垂直条件);

④|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时等号成立).a⊥b|a|2(2)运算律表示数乘向量与数量积的结合律(λa)·b=λ(a·b),λ∈R交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c名师点睛1.a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,同时也说明由a·b=0不能得到a=0或b=0.2.向量的数量积不满足结合律.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(

)(2)若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.(

)×√2.对于空间任意两个非零向量a,b,“a∥b”是“<a,b>=0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件BA.30°

B.60° C.150°

D.120°D4.[人教A版教材习题]如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设

(1)a·(b+c);(2)a·(a+b+c);(3)(a+b)·(b+c).解

(1)a·(b+c)=a·b+a·c=0+0=0.(2)a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=1+0+0=1.(3)(a+b)·(b+c)=a·b+a·c+b2+b·c=0+0+12+0=1.重难探究·能力素养全提升探究点一向量的数量积的求解【例1】如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点,计算:规律方法

求两个向量数量积的方法

变式训练1如图,在三棱锥P-ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,MD探究点二数量积的应用角度1.利用数量积求解夹角和模【例2】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点.求:变式探究2本例中,若CA=CB=AA1=1,其他条件不变,求异面直线CA1与AB所成的角.规律方法

求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角:利用公式cos<a,b>=求cos<a,b>,进而确定<a,b>.(2)求线段长度(距离):①取此线段对应的向量;②用其他已知夹角和模的向量表示该向量;③利用|a|=,计算出|a|,即得所求长度(距离).角度2.利用数量积证明垂直问题【例3】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.证明

由底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,知DA⊥BD,规律方法

1.由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0(a,b是非零向量)可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的非零向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可.2.用向量法证明线面(面面)垂直,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直.变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD.又OG∩BD=O,OG⊂平面GBD,BD⊂平面GBD,∴A1O⊥平面GBD.成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练12345678910111213141.[探究点二(角度1)]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是(

)A12345678910111213142.[探究点一]已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a等于(

)A.12 B.8+

C.4

D.13D解析

(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|·cos

120°=2×4-2×5×(-)=13.故选D.12345678910111213143.[探究点二(角度2)]已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(

)A.-6 B.6

C.3

D.-3B解析

由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B.12345678910111213144.[探究点一·2023山东潍坊高二阶段练习](多选题)下列说法一定正确的是(

)A.设a,b是两个空间向量,则a,b一定共面B.设a,b,c是三个空间向量,则a,b,c一定不共面C.设a,b是两个空间向量,则a·b=b·aD.设a,b,c是三个空间向量,则(a·b)c=a(b·c)AC1234567891011121314解析

对于A,两个空间向量一定共面,故A正确;对于B,三个空间向量可能共面也可能不共面,故B错误;对于C,因为a,b是两个空间向量,则a·b=b·a,故C正确;对于D,因为a,b,c是三个空间向量,则a(b·c)与向量a共线,(a·b)c与向量c共线,两向量不一定相等,故D错误.故选AC.12345678910111213145.[探究点二(角度1)]已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=

.

22解析

∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,∴2a·b=46,∴|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=530-46=484,故|a-b|=22.12345678910111213146.[探究点二(角度1)]已知空间向量a,b,c中两两夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=

.

10解析

∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=,∴|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|·cos<a,b>+2|a||c|·cos<a,c>+2|b||c|·cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.12345678910111213147.[探究点一、二(角度1)·北师大版教材例题]如图,已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是边长为1的菱形,且∠C'CB=∠C'CD=∠BCD1234567891011121314B级关键能力提升练1234567891011121314△ABC一定是(

)A.直角三角形

B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等边三角形B12345678910111213149.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为(

)A.-13 B.-5 C.5 D.13A解析

∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,123456789101112131410.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=,则a与b的夹角为(

)A.30°

B.45° C.60°

D.90°C解析

设a与b的夹角为θ,由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以1+2×1×2cos

θ+4=7,解得cos

θ=.又θ∈[0,π],所以θ=60°.故选C.123456789101112131411.已知空间向量a,b,|a|=3,|b|=5,m=a+b,n=a+λb,<a