4.2.2等差数列的前n项和公式（第2课时）课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质及应用人教A版

数学

选择性必修第二册课程标准1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.2.掌握等差数列前n项和的最值的求法.3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法.基础落实·必备知识全过关知识点1

等差数列前n项和的函数特征

等差数列的前n项和公式与二次函数的关系令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn.①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列.②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列.③当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0)名师点睛(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.(3)特别地,若an>0,d>0,则S1是{Sn}的最小项;若an<0,d<0,则S1是{Sn}的最大项.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数.(

)(2)等差数列的前n项和Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.(

)(3)若等差数列{an}的公差d>0,则{an}的前n项和一定有最小值.(

)(4)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sp=Sq(p,q∈N*),则Sn在n=(p+q)处取得最大值或最小值.(

)×√√×2.[人教B版教材习题]等差数列14,11,8,…前多少项的和最大?为什么?提示

因为前5项均是正数,从第6项开始为负数,所以前5项和最大.也可以用求二次函数的最值的方法解决.知识点2

等差数列前n项和的性质

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列{an}的前n项和(2)若等差数列的项数为偶数,则偶数项的和等于奇数项的和.(

)(3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,√××2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(

)

A.5 B.4 C.3 D.23.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6=

.

解析

设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.C15解析

∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一等差数列前n项和的性质及其应用【例1】

(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为

.

答案

210解析

(方法1)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.变式探究1一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项之和为

.

答案

-110解析

(方法1)设Sn=an2+bn.∵S10=100,S100=10,规律方法

利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.探究点二等差数列前n项和的最值问题【例2】

在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大?(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.∴S13最大.(方法4)由方法1,得d=-2.规律方法

一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:(2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.变式训练已知Sn为等差数列{an}的前n项和,其中a4=-5,S4=-32.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解得a1=-11,d=2.故an=-11+(n-1)×2=2n-13.探究点三

求数列{|an|}的前n项和问题

分析先求出通项an,再确定数列中项的正负,去掉绝对值号,利用Sn求解.变式探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和Tn.规律方法

已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤(1)确定通项公式an;(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列前n项和性质的应用.(2)等差数列前n项和的最值问题.(3)等差数列中的绝对值求和问题.2.方法归纳:公式法、构造法、函数法、整体代换法.3.常见误区:(1)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列;(2)易混淆项数为奇数与奇数项等概念.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测1234561.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且

Sn=20,S2n=80,则S3n=(

)A.130 B.180

C.210

D.260B解析

因为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍然构成等差数列,所以20,60,S3n-80成等差数列,所以2×60=20+S3n-80,解得S3n=180.1234562.[探究点一、二](多选题)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有(

)A.a10=0 B.S7=S12 C.S10最小 D.S20=0AB解析

因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确,又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确,当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误,又因为S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误.1234561234564.已知数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则实数λ的值是

.

答案

-1解析

Sn=(n+1)2+λ=n2+2n+1+λ,∵{an}为等差数列,∴1+λ=0,即λ=-1.123456答案

20201234566.已知Sn为等差数列