第8讲函数奇偶性与周期性课件高三数学一轮复习

第8讲函数奇偶性与周期性第二章

基本初等函数激活思维BC2．若一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝ (

)A．－1 B．1C．0 D．2A3．已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法正确的是

(

)A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－mB．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－mC．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－mD．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－mB【解析】奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是_______．－6【解析】由题知f(2)＝6，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－6.【解析】11．奇偶性与周期性奇偶性定义若________________，则f(x)为偶函数；若__________________，则f(x)为奇函数．这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称．性质①奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于_______对称；②若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝_____；③在关于y

轴对称的两个区间内，奇函数单调性________，偶函数单调性________．④一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同．f(－x)＝f(x)聚焦知识f(－x)＝－f(x)原点y轴0相同相反f(x＋T)＝f(x)判断下列函数的奇偶性．函数奇偶性的判定举题说法1【解答】【解答】f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．【解析】判断下列函数的奇偶性．1【解答】【解答】判断下列函数的奇偶性．1【解答】判断下列函数的奇偶性．1【解析】B【解析】由已知得，当x＞0时，－x＜0，即f(x)＝x3＋1，f(－x)＝－ax3＋b.B函数奇偶性的应用【解析】2由f(x)为R上的奇函数，得f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，又f(－2024)＋f(0)＝2，所以1＋m＋0＝2，得m＝1.(2)已知函数f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)＜f(2)，则实数x的取值范围是______．【解析】1【解析】231．若函数f(x)＝x(aex－e－x)是偶函数，则a＝_____．1【解析】【解析】设g(x)＝aex－e－x，x∈R，因为f(x)是偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1.经检验满足题意.2．已知函数f(x)＝ax3－bx－tanx＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝_____．由题得f(m)＝am3－bm－tanm＋2＝1，所以am3－bm－tanm＝－1，所以f(－m)＝－am3＋bm＋tanm＋2＝－(am3－bm－tanm)＋2＝1＋2＝3.3【解析】【解析】当x＞0时，－x＜0，f(x)＝g(x)＋1＝－f(－x)＝－[(－x)2－3－(－x)]＝－x2＋3x，则g(x)＝－x2＋3x－1.－x2＋3x－1(1)若f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(1)＝－5，则f(f(5))＝_____．函数的周期性3【解析】5【解析】因为f(x＋2)＝－f(x)，所以T＝4，所以f(5)＝f(1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－5)＝f(－1).令x＝－1，则f(1)＝－f(－1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－1)＝5.(2)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，则f(2024)＝_____．因为f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)，代入x－2得，f(x＋1)＋f(x－1)＝f(2).两式相减得，f(x＋3)＝f(x－1)，即f(x＋4)＝f(x)，所以4为函数f(x)的周期．因此f(2024)＝f(4×506)＝f(0)，在f(x＋3)＋f(x＋1)＝f(2)中，令x＝－1，则f(2)＋f(0)＝f(2)，所以f(0)＝0，即f(2024)＝0.0【解析】B【解析】抽象函数的性质新视角4因为f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x).因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，把2x＋1用x代替，所以f(2－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(2－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．B变式

(1)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(

)A．－50 B．0C．2 D．50C【解析】f(x＋4)＝f(－2－x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数周期为4.因为f(1)＝2，f(2)＝0，f(3)＝－2，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.D【解析】因为f(x＋1)为奇函数，所以有f(x＋1)＝－f(－x＋1)，因为f(x＋2)为偶函数，所以有f(x＋2)＝f(－x＋2)，f(x＋1)＝－f(－x＋1)⇒f(x＋2)＝－f(－x)＝f(－x＋2)⇒－f(x)＝f(x＋2)⇒－f(x＋2)＝f(x＋4)⇒f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，随堂练习1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是 (

)A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|·g(x)是奇函数C．f(x)·|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数C【解析】依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错误；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|·g(x)，|f(x)|·g(x)是偶函数，B错误；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，f(x)·|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错误．2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，则f(2024)＝ (

)A．－1 B．0C．1 D．2B【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2024)＝f(0)＝0.C【解析】4．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x3＋2x－1，则f(－2)＝________．－19【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2×23＋22－1)＝－19.【解析】由题知当x＝－1时，f(－1)＝1，因为函数周期T＝2且为偶函数，所以f(x＋2)＝f(x)，所以f(3)＝f(1)＝f(－1)＝1.1配套精练练习1A组夯基精练一、

单项选择题1．已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，若f(a)＝3，则a＝ (

)A．±1 B．±3C．－1或3 D．±1或±3B【解析】当a≥0时，由f(a)＝3，得a2－2a＝3，解得a＝－1(舍去)或a＝3.根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当a＜0时，由f(a)＝3，得a＝－3.综上，a＝±3.【解析】C【解析】由于f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝－x3g(－x)＝x3g(x)，所以g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数.A【解析】A【解析】对于B，函数f(x)＝x3的定义域为R，f(x)是奇函数，故B正确；【答案】BCD6．已知f(x)是定义在R上不恒为0的偶函数，g(x)是定义在R上不恒为0的奇函数，则 (

)A．f(f(x))为奇函数 B．g(g(x))为奇函数C．f(g(x))为偶函数 D．g(f(x))为偶函数BCD【解析】由题意可知，f(－x)＝f(x)，所以f(f(－x))＝f(f(x))，所以f(f(x))为偶函数，故A错误；由g(－x)＝－g(x)，得g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，所以g(g(x))为奇函数，故B正确；因为f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，所以f(g(x))为偶函数，故C正确；因为g(f(－x))＝g(f(x))，所以g(f(x))为偶函数，故D正确．【解析】【答案】[－2，0)∪(0，2]8．已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2024)＝_____．1【解析】由题意知f(2024)＝f(3×675－1)＝f(－1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，所以f(－1)＝1，故f(2024)＝1.【解析】2【解答】方法一：因为当x≤0时，f(x)＝－x2－4x，所以f(－2)＝4.又因为f(x)为奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－4，即4＋2a＝－4，所以a＝－4.综上所述，实数a的值为－4.方法二：设任意x＞0，则－x＜0，所以f(－x)＝－(－x)2－4(－x)＝－x2＋4x.又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－x2＋4x，所以f(x)＝x2－4x，所以f(2)＝－4.因为当x＞0时，x2＋ax＝x2－4x恒成立，所以a＝－4.【解答】【解答】【解答】B组滚动小练12．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1，0，1}，则“a＝0”是“M⊆N”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件A【解析】当a＝0时，集合M＝{1，0}，N＝{－1，0，1}，可得M⊆N，满足充分性；若M⊆N，则a＝0或a＝－1，不满足必要性.所以“a＝0”是“M⊆N”的充分不必要条件．【解析】由P＝{a，b，c}⊆M得a≠b，故a＝－2b，c＝4b，所以P＝{－2b，b，4b}⊆M，且b≠0.【答案】101214．设k为实数，已知关于x的函数f(x)＝kx2＋kx－1.(1)若∀x∈R，都有f(x)≤0恒成立，求k的取值范围；【解答】当k＝0时，f(x)＝－1≤0恒成立，符合题意；综上所述，k的取值范围为[－4，0].14．设k为实数，已知关于x的函数f(x)＝kx2＋kx－1.(2)若∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足f(x)≤m成立，求k的取值范围．【解答】方法一：当k＝0时，f(x)＝－1，显然∀m≥1，∃x∈[1，4]，满足f(x)≤m成立，符合题意；综上所述，k的取值范围为(－∞，1].练习2【解析】【答案】C对于C，易知y＝|x|－1是偶函数，当x＞0时，y＝x－1是增函数，故正确；【解析】2．已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝ex，则f(e)＝ (

)A．ee B．－eeC．e－e D．－e－e因为f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝ex，所以f(e)＝－f(－e)＝－e－e.DABCD【解析】【答案】D当x＞0时，ex＞e－x，即ex－e－x＞0，当x＞1时，|x|－1＞0，因此当x＞1时，f(x)＞0，排除B，C.【解析】【答案】B由f(x＋1)＋f(x)＝f(1)，有f(x＋2)＋f(x＋1)＝f(1)，可得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为2.【答案】ACD【解析】因为f(x＋1)为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，故f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的函数，故B错误；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，得f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，故f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；【答案】ABD【解析】－12【解析】三、

填空题7．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋csinx－2，且f(－2)＝8，则f(2)＝________．因为f(x)＝ax3＋bx＋csinx－2，所以f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx－csinx－2＋ax3＋bx＋csinx－2＝－4.因为f(－2)＝8，所以f(2)＝－12.【解析】9已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝_______．340【解析】因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2024)＝337×1＋1＋2