培优课椭圆的综合问题及应用课件高二上学期数学人教A版选择性

第三章圆锥曲线的方程培优课椭圆的综合问题及应用人教A版

数学

选择性必修第一册重难探究·能力素养全提升探究点一椭圆的中点弦问题【例1】

已知椭圆

的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.解

(方法1)易知直线AB的斜率k存在.设所求直线的方程为y-1=k(x-2),(方法2)设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2.∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于AB的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y).∵A,B两点都在椭圆上,①-②,得x+2y-4=0.显然点A的坐标满足这个方程.代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.规律方法

处理椭圆的中点弦问题的三种途径(1)根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解.(2)点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的方法.(3)中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.变式训练1已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为

.探究点二直线与椭圆的位置关系规律方法

直线与椭圆位置关系的判断方法

变式训练2已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.(1)求线段AB的中点坐标;(2)求△OAB的面积.探究点三椭圆中的最值与范围问题【例3】

如图,点A,B分别是椭圆

长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.规律方法

解决与椭圆有关的最大(小)值或范围问题的方法(1)定义法:利用椭圆定义转化为几何问题处理.(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,寻找最大(小)值点(或临界点),进而求解.(3)函数法:选择恰当的自变量,构建目标函数,转化为求函数的最大(小)值或范围.变式训练3[2023四川达州期末]古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆Γ的中心为原点O,焦点F1,F2均在x轴上,离心率等于,面积为15π.(1)求Γ的标准方程;(2)若直线l与圆M:x2+y2=16相切,且直线l与Γ交于C,D两点,求△COD面积的最大值.②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+t,C(x1,y1),D(x2,y2),因为直线l与圆M相切,探究点四椭圆中的定点、定值问题(1)求椭圆C的方程.(2)已知P(0,2),过点Q(-1,-2)作直线l交椭圆C于A,B两点(异于点P),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.试问k1+k2是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.(2)k1+k2为定值4.①当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=-1,②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-(-2)=k[x-(-1)],即y=kx+k-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),规律方法

定点、定值问题的求法定点、定值是在变化过程中不变的量,解决这类问题的基本思想是函数思想.具体处理方法有以下两种:(1)从特殊关系入手,求出定点(定值),再证明这个定点(定值)与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量.本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与椭圆的位置关系;(2)椭圆中的中点弦、最值与范围、定点与定值问题.2.方法归纳:分类讨论法、点差法.3.常见误区:容易忽略直线中斜率不存在的情况.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点一]直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是(

)A12345678910111213141516172.[探究点三]已知F1,F2是椭圆

+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为(

)A.(-2,0) B.(0,1)C.(2,0) D.(0,1)或(0,-1)D1234567891011121314151617B12345678910111213141516174.[探究点二]过椭圆

+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|=

.

11234567891011121314151617212345678910111213141516176.[探究点四]已知F1为椭圆C:+y2=1的左焦点,直线l:y=x-1与椭圆C交于A,B两点,那么|F1A|+|F1B|的值为

.

12345678910111213141516177.[探究点一][2023山西阳泉期末]已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点为F(2,0),该椭圆被直线x+3y-4=0所截得的弦的中点的横坐标为1,则该椭圆的标准方程为

.1234567891011121314151617123456789101112131415161712345678910111213141516171234567891011121314151617B级必备知识基础练D123456789101112131415161710.直线y=x+2与椭圆(m>0且m≠3)有两个公共点,则m的取值范围是(

)A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)B∴Δ=(4m)2-4m(3+m)>0,解得m>1或m<0.又m>0且m≠3,∴m>1且m≠3.1234567891011121314151617B1234567891011121314151617A1234567891011121314151617解析

如图所示,依题意得∠F1PF2=90°,|PF2|=c,∴|PF1|=2a-c.又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴(2a-c)2+c2=4c2,即c2+2ac-2a2=0,1234567891011121314151617AD1234567891011121314151617解析

若C上存在点P满足∠APB=120°,则只需当点P在短轴顶点时∠APB≥120°.故分析长半轴与短半轴的关系即可.当焦点在x轴时,若∠APB≥120°,1234567891011121314151617A123456789101112131415161715.已知P是椭圆(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=120°,且|PF1|=3|PF2|,则椭圆的离心率为

.

解析

设|PF2|=m(m>0),则|PF1|=3m.由∠F1PF2=120°得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos

120°,1234567891011121314151617123456789101112131415161712345678910111213141516171234567891011121314151617C级必备知识基础练17.有一椭圆形溜冰场,长轴长是100m,短轴长是60m.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形,且使这个矩形的面积最大,试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是多少?123456