第十一章立体几何初步章末总结提升课件高一数学人教B版

第十一章立体几何初步章末总结提升人教B版

数学

必修第四册网络构建·归纳整合专题突破·素养提升目录索引

网络构建·归纳整合专题突破·素养提升专题一几何体的表面积与体积1.主要考查多面体、旋转体的表面积,旋转体的侧面展开图,柱体、锥体、台体的体积,球的表面积和体积,不规则几何体常用转换法、分割法、补型法等进行求解.2.利用公式求解表面积、体积,提高数学运算素养.【例1】

(1)(多选题)[2023四川翠屏校级期中]《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P-ABCD为阳马,底面ABCD是边长为2的正方形,其中两条侧棱长都为3,则(

)ABD解析

如图,设PA⊥底面ABCD,AB=AD,所以PA,AD,AB两两互相垂直,则AD⊥平面PAB,AB⊥平面PAD.因为PB⊂平面PAB,PD⊂平面PAD,所以AD⊥PB,AB⊥PD.又BC∥AD,AB∥CD,所以PB⊥BC,PD⊥CD.由题可知,内切球的大圆半径其实是△PAB的内切圆半径,根据内切圆半径

(2)[2023安徽宿州期中]如图所示,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=BC=2,B=120°,AD=.①求tan∠ACD的值;②将四边形ABCD绕着边AD所在的直线旋转一周所形成的几何体为Ω,求Ω的体积.由题知,∠BAC=30°.又AB⊥AD,则∠DAC=60°.又AC=AD,则△ADC为正三角形,规律方法

空间几何体表面积、体积的求解策略(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)求不规则几何体的表面积(体积)时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积(体积),再通过求和或作差求得几何体的表面积(体积),即切割法的应用.变式训练1(1)[2023广东揭阳期中]在三棱锥S-ABC中,SA=BC=5,

A.50π

B.100π C.150π

D.200πA解析

对棱相等的三棱锥可以补为长方体(各个对面的面对角线),故外接球的表面积S=4πR2=50π.故选A.(2)[2023甘肃张掖四模]如图,仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体,其口径为15.5cm,足径为9.2cm,顶部到底部的高为4.1cm,底部圆柱高为0.7cm,则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为(

)(参考数据:π的值取3,≈4.6)A.143.1cm2

B.151.53cm2

C.155.42cm2

D.170.43cm2D解析

设该圆台的母线长为l,高为h,两底面圆的半径分别为R,r(其中R>r),则2R=15.5

cm,2r=9.2

cm,h=4.1-0.7=3.4

cm,故圆台部分的侧面积为S1=π(R+r)×1≈3×(7.75+4.6)×4.6=170.43

cm2.故选D.专题二空间中的平行关系1.空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行.平行关系中线面平行是考查的重点.2.掌握空间中的平行关系提升逻辑推理和直观想象素养.【例2】

如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.

解当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD.证明如下:如图,连接BD和AC交于点O,连接FO,则PF=.∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD,PD⊂平面PMD,∴OF∥平面PMD.∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD,PM⊂平面PMD,∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF⊂平面AFC,OF⊂平面AFC,∴平面AFC∥平面PMD.规律方法

线线平行、线面平行、面面平行间的关系线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是紧密相连的,可以进行任意转化,相互间的转化关系如下:变式训练2如图,BF∥平面ADE,CF∥AE.求证:AD∥BC.证明∵CF∥AE,CF⊄平面ADE,AE⊂平面ADE,∴CF∥平面ADE.∵BF∥平面ADE,BF∩CF=F,BF,CF⊂平面BCF,∴平面ADE∥平面BCF.又平面ADE∩平面ABCD=AD,平面BCF∩平面ABCD=BC,∴AD∥BC.专题三空间中的垂直关系1.主要考查空间中的线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理,以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化.2.通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化,提升逻辑推理和直观想象素养.【例3】

如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1.(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;(2)求证:BC1⊥AB1.证明(1)设BC的中点为M,连接B1M.∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M,∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴B1M⊥AC.∵BC⊥AC,B1M∩BC=M,∴AC⊥平面B1C1CB.又AC⊂平面ACC1A1,∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB,∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BC=CC1,∴四边形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1.又B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1.规律方法

线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化变式训练3[北师大版教材习题]如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AD∥BC,∠BCD=90°,且PA⊥AB,PD⊥CD.(1)判断CD是否与平面PAD垂直,证明你的结论;(2)证明:平面PAB⊥平面ABCD.(1)解CD⊥平面PAD.证明:由∠BCD=90°,AD∥BC,可知CD⊥AD.又CD⊥PD,且AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.(2)证明由(1)得CD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以CD⊥PA.又PA⊥AB,且AB,CD为相交直线,所以PA⊥平面ABCD.又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.专题四空间角的计算1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角,主要考查空间角的定义及求法,求角时要先找角,再证角,最后在三角形中求角.2.通过找角、证角、求角,提升逻辑推理与数学运算素养.【例4】

如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值.(1)证明由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,又二面角B-AO-C是直二面角,∴CO⊥BO.∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.∵CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.(2)解作DE⊥OB,垂足为点E,连接CE(如图),则DE∥AO.∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.规律方法

1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).3.二面角的平面角的作法常有三种:(1)定义法;(2)三垂线法;(3)垂面法.(1)证明:AC⊥平面POD;(2)求二面角P-AC-O的正弦值.(1)证明连接OC(图略),因为OA=OC