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文档简介
湖北省黄冈市麻城市重点名校2024届中考四模数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.某车间20名工人日加工零件数如表所示:日加工零件数45678人数26543这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是()A.5、6、5 B.5、5、6 C.6、5、6 D.5、6、62.将抛物线y=x2先向左平移2个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为()A.y=(x﹣2)2+3B.y=(x﹣2)2﹣3C.y=(x+2)2+3D.y=(x+2)2﹣33.若在同一直角坐标系中,正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象无交点,则有()A.k1+k2>0 B.k1+k2<0 C.k1k2>0 D.k1k2<04.下列运算正确的是()A.5a+2b=5(a+b) B.a+a2=a3C.2a3•3a2=6a5 D.(a3)2=a55.在以下三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分∠BAC的是()A.图2 B.图1与图2 C.图1与图3 D.图2与图36.如图,点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点,过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点.设AC=2,BD=1,AP=x,△AMN的面积为y,则y关于x的函数图象大致形状是()A. B. C. D.7.如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA在x轴上,OB在y轴上,点A、B的坐标分别为(,0),(0,1),把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B,则点O′的坐标为()A. B. C. D.8.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,∠A=60°,若边AC的垂直平分线DE交AB于点D,连接CD,则△BDC的周长为()A.8 B.9 C.5+ D.5+9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AB,BC的中点,点F是BD的中点.若AB=10,则EF=()A.2.5 B.3 C.4 D.510.如图,I是∆ABC的内心,AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI,BD,DC下列说法中错误的一项是()A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.计算(﹣a2b)3=__.12.在Rt△ABC中,∠A是直角,AB=2,AC=3,则BC的长为_____.13.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm,圆心角为120°的扇形,则该圆锥的侧面面积为______cm(结果保留π).14.如图,直角△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,则内部五个小直角三角形的周长为_____.15.若反比例函数y=的图象位于第一、三象限,则正整数k的值是_____.16.解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.(Ⅰ)解不等式①,得;(Ⅱ)解不等式②,得;(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:(Ⅳ)原不等式组的解集为.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)已知OA,OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,垂足为O,P是射线OA上的一点(点A除外),直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交射线OA于点E.(1)如图①,点P在线段OA上,若∠OBQ=15°,求∠AQE的大小;(2)如图②,点P在OA的延长线上,若∠OBQ=65°,求∠AQE的大小.18.(8分)如图,在平面直角坐标系中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,),点M是抛物线C2:(<0)的顶点.(1)求A、B两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当△BDM为直角三角形时,求的值.19.(8分)校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载,某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于24米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.求AB的长(结果保留根号);已知本路段对校车限速为45千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时1.5秒,这辆校车是否超速?说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)20.(8分)用A4纸复印文件,在甲复印店不管一次复印多少页,每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件,一次复印页数不超过20时,每页收费0.12元;一次复印页数超过20时,超过部分每页收费0.09元.设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数).(1)根据题意,填写下表:一次复印页数(页)5102030…甲复印店收费(元)0.52…乙复印店收费(元)0.62.4…(2)设在甲复印店复印收费y1元,在乙复印店复印收费y2元,分别写出y1,y2关于x的函数关系式;(3)当x>70时,顾客在哪家复印店复印花费少?请说明理由.21.(8分)如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:AB∥DE.22.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O为BC边上一点,以OC为半径的圆O,交AB于D点,且AD=AC,延长DO交圆O于E点,连接AE.求证:DE⊥AB;若DB=4,BC=8,求AE的长.23.(12分)已知关于x的分式方程=2①和一元二次方程mx2﹣3mx+m﹣1=0②中,m为常数,方程①的根为非负数.(1)求m的取值范围;(2)若方程②有两个整数根x1、x2,且m为整数,求方程②的整数根.24.(操作发现)(1)如图1,△ABC为等边三角形,先将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.①求∠EAF的度数;②DE与EF相等吗?请说明理由;(类比探究)(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF.请直接写出探究结果:①∠EAF的度数;②线段AE,ED,DB之间的数量关系.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】
5出现了6次,出现的次数最多,则众数是5;把这些数从小到大排列,中位数是第10,11个数的平均数,则中位数是(6+6)÷2=6;平均数是:(4×2+5×6+6×5+7×4+8×3)÷20=6;故答案选D.2、D【解析】
先得到抛物线y=x2的顶点坐标(0,0),再根据点平移的规律得到点(0,0)平移后的对应点的坐标为(-2,-1),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.【详解】解:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到对应点的坐标为(-2,-1),所以平移后的抛物线解析式为y=(x+2)2-1.故选:D.【点睛】本题考查了二次函数与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.3、D【解析】当k1,k2同号时,正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象有交点;当k1,k2异号时,正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象无交点,即可得当k1k2<0时,正比例函数y=k1x与反比例函数y=的图象无交点,故选D.4、C【解析】
直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式、幂的乘方运算法则分别化简得出答案.【详解】A、5a+2b,无法计算,故此选项错误;B、a+a2,无法计算,故此选项错误;C、2a3•3a2=6a5,故此选项正确;D、(a3)2=a6,故此选项错误.故选C.【点睛】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘以单项式、幂的乘方运算,正确掌握运算法则是解题关键.5、C【解析】【分析】根据角平分线的作图方法可判断图1,根据图2的作图痕迹可知D为BC中点,不是角平分线,图3中根据作图痕迹可通过判断三角形全等推导得出AD是角平分线.【详解】图1中,根据作图痕迹可知AD是角平分线;图2中,根据作图痕迹可知作的是BC的垂直平分线,则D为BC边的中点,因此AD不是角平分线;图3:由作图方法可知AM=AE,AN=AF,∠BAC为公共角,∴△AMN≌△AEF,∴∠3=∠4,∵AM=AE,AN=AF,∴MF=EN,又∵∠MDF=∠EDN,∴△FDM≌△NDE,∴DM=DE,又∵AD是公共边,∴△ADM≌△ADE,∴∠1=∠2,即AD平分∠BAC,故选C.【点睛】本题考查了尺规作图,三角形全等的判定与性质等,熟知角平分的尺规作图方法、全等三角形的判定与性质是解题的关键.6、C【解析】△AMN的面积=AP×MN,通过题干已知条件,用x分别表示出AP、MN,根据所得的函数,利用其图象,可分两种情况解答:(1)0<x≤1;(2)1<x<2;解:(1)当0<x≤1时,如图,在菱形ABCD中,AC=2,BD=1,AO=1,且AC⊥BD;∵MN⊥AC,∴MN∥BD;∴△AMN∽△ABD,∴=,即,=,MN=x;∴y=AP×MN=x2(0<x≤1),∵>0,∴函数图象开口向上;(2)当1<x<2,如图,同理证得,△CDB∽△CNM,=,即=,MN=2-x;∴y=AP×MN=x×(2-x),y=-x2+x;∵-<0,∴函数图象开口向下;综上答案C的图象大致符合.故选C.本题考查了二次函数的图象,考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力,体现了分类讨论的思想.7、B【解析】
连接OO′,作O′H⊥OA于H.只要证明△OO′A是等边三角形即可解决问题.【详解】连接OO′,作O′H⊥OA于H,在Rt△AOB中,∵tan∠BAO==,∴∠BAO=30°,由翻折可知,∠BAO′=30°,∴∠OAO′=60°,∵AO=AO′,∴△AOO′是等边三角形,∵O′H⊥OA,∴OH=,∴OH′=OH=,∴O′(,),
故选B.【点睛】本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是发现特殊三角形,利用特殊三角形解决问题.8、C【解析】
过点C作CM⊥AB,垂足为M,根据勾股定理求出BC的长,再根据DE是线段AC的垂直平分线可得△ADC等边三角形,则CD=AD=AC=4,代入数值计算即可.【详解】过点C作CM⊥AB,垂足为M,在Rt△AMC中,∵∠A=60°,AC=4,∴AM=2,MC=2,∴BM=AB-AM=3,在Rt△BMC中,BC===,∵DE是线段AC的垂直平分线,∴AD=DC,∵∠A=60°,∴△ADC等边三角形,∴CD=AD=AC=4,∴△BDC的周长=DB+DC+BC=AD+DB+BC=AB+BC=5+.故答案选C.【点睛】本题考查了勾股定理,解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算.9、A【解析】
先利用直角三角形的性质求出CD的长,再利用中位线定理求出EF的长.【详解】∵∠ACB=90°,D为AB中点∴CD=1∵点E、F分别为BC、BD中点∴EF=1故答案为:A.【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质和中位线定理,解题关键是寻找EF与题目已知长度的线段的数量关系.10、D【解析】解:∵I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,故C正确,不符合题意;∴=,∴BD=CD,故A正确,不符合题意;∵∠DAC=∠DBC,∴∠BAD=∠DBC.∵∠IBD=∠IBC+∠DBC,∠BID=∠ABI+∠BAD,∴∠DBI=∠DIB,∴BD=DI,故B正确,不符合题意.故选D.点睛:本题考查了三角形的内切圆和内心的,以及等腰三角形的判定与性质,同弧所对的圆周角相等.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、−a6b3【解析】
根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可.【详解】原式=(﹣a2b)3=−a6b3,故答案为−a6b3.【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方,关键是掌握运算法则.12、【解析】
根据勾股定理解答即可.【详解】∵在Rt△ABC中,∠A是直角,AB=2,AC=3,∴BC===,故答案为:【点睛】此题考查勾股定理,关键是根据勾股定理解答.13、12π【解析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可得,,∴该圆锥的侧面面积为:12π,故答案为12π.14、1【解析】分析:由图形可知,内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的,故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长.详解:由图形可以看出:内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的,故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=1.故答案为1.点睛:本题主要考查了平移的性质,需要注意的是:平移前后图形的大小、形状都不改变.15、1.【解析】
由反比例函数的性质列出不等式,解出k的范围,在这个范围写出k的整数解则可.【详解】解:∵反比例函数的图象在一、三象限,∴2﹣k>0,即k<2.又∵k是正整数,∴k的值是:1.故答案为:1.【点睛】本题考查了反比例函数的性质:当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限.16、详见解析.【解析】
先根据不等式的性质求出每个不等式的解集,再在数轴上表示出来,根据数轴找出不等式组公共部分即可.【详解】(Ⅰ)解不等式①,得:x<1;(Ⅱ)解不等式②,得:x≥﹣1;(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:(Ⅳ)原不等式组的解集为:﹣1≤x<1,故答案为:x<1、x≥﹣1、﹣1≤x<1.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的概念.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)30°;(2)20°;【解析】
(1)利用圆切线的性质求解;(2)连接OQ,利用圆的切线性质及角之间的关系求解。【详解】(1)如图①中,连接OQ.∵EQ是切线,∴OQ⊥EQ,∴∠OQE=90°,∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∴∠AQB=∠AOB=45°,∵OB=OQ,∴∠OBQ=∠OQB=15°,∴∠AQE=90°﹣15°﹣45°=30°.(2)如图②中,连接OQ.∵OB=OQ,∴∠B=∠OQB=65°,∴∠BOQ=50°,∵∠AOB=90°,∴∠AOQ=40°,∵OQ=OA,∴∠OQA=∠OAQ=70°,∵EQ是切线,∴∠OQE=90°,∴∠AQE=90°﹣70°=20°.【点睛】此题主要考查圆的切线的性质及圆中集合问题的综合运等.18、(1)A(,0)、B(3,0).(2)存在.S△PBC最大值为(3)或时,△BDM为直角三角形.【解析】
(1)在中令y=0,即可得到A、B两点的坐标.(2)先用待定系数法得到抛物线C1的解析式,由S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式,根据二次函数最值原理求出最大值.(3)先表示出DM2,BD2,MB2,再分两种情况:①∠BMD=90°时;②∠BDM=90°时,讨论即可求得m的值.【详解】解:(1)令y=0,则,∵m<0,∴,解得:,.∴A(,0)、B(3,0).(2)存在.理由如下:∵设抛物线C1的表达式为(),把C(0,)代入可得,.∴C1的表达式为:,即.设P(p,),∴S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC=.∵<0,∴当时,S△PBC最大值为.(3)由C2可知:B(3,0),D(0,),M(1,),∴BD2=,BM2=,DM2=.∵∠MBD<90°,∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况:当∠BMD=90°时,BM2+DM2=BD2,即+=,解得:,(舍去).当∠BDM=90°时,BD2+DM2=BM2,即+=,解得:,(舍去).综上所述,或时,△BDM为直角三角形.19、(1);(2)此校车在AB路段超速,理由见解析.【解析】
(1)结合三角函数的计算公式,列出等式,分别计算AD和BD的长度,计算结果,即可.(2)在第一问的基础上,结合时间关系,计算速度,判断,即可.【详解】解:(1)由题意得,在Rt△ADC中,tan30°==,解得AD=24.在Rt△BDC中,tan60°==,解得BD=8所以AB=AD﹣BD=24﹣8=16(米).(2)汽车从A到B用时1.5秒,所以速度为16÷1.5≈18.1(米/秒),因为18.1(米/秒)=65.2千米/时>45千米/时,所以此校车在AB路段超速.【点睛】考查三角函数计算公式,考查速度计算方法,关键利用正切值计算方法,计算结果,难度中等.20、(1)1,3;1.2,3.3;(2)见解析;(3)顾客在乙复印店复印花费少.【解析】
(1)根据收费标准,列代数式求得即可;
(2)根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y1=0.1x(x≥0);当一次复印页数不超过20时,根据收费等于每页收费乘以页数即可求得y2=0.12x,当一次复印页数超过20时,根据题意求得y2=0.09x+0.6;
(3)设y=y1-y2,得到y与x的函数关系,根据y与x的函数关系式即可作出判断.【详解】解:(1)当x=10时,甲复印店收费为:0,1×10=1;乙复印店收费为:0.12×10=1.2;当x=30时,甲复印店收费为:0,1×30=3;乙复印店收费为:0.12×20+0.09×10=3.3;故答案为1,3;1.2,3.3;(2)y1=0.1x(x≥0);y2=;(3)顾客在乙复印店复印花费少;当x>70时,y1=0.1x,y2=0.09x+0.6,设y=y1﹣y2,∴y1﹣y2=0.1x﹣(0.09x+0.6)=0.01x﹣0.6,设y=0.01x﹣0.6,由0.01>0,则y随x的增大而增大,当x=70时,y=0.1∴x>70时,y>0.1,∴y1>y2,∴当x>70时,顾客在乙复印店复印花费少.【点睛】本题考查了一次函数的应用,读懂题目信息,列出函数关系式是解题的关键.21、详见解析.【解析】试题分析:利用SSS证明△ABC≌△DEF,根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF,再由平行线的判定即可得AB∥DE.试题解析:证明:由BE=CF可得BC=EF,又AB=DE,AC=DF,故△ABC≌△DEF(SSS),则∠B=∠DEF,∴AB∥DE.考点:全等三角形的判定与性质.22、(1)详见解析;(2)6【解析】
(1)连接CD,证明即可得到结论;(2)设圆O的半径为r,在Rt△BDO中,运用勾股定理即可求出结论.【详解】(1)证明:连接CD,∵∴∵∴.(2)设圆O的半径为,,设.【点睛】本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用.综合性比较强,对于学生的能力要求比较高.23、(1)且,;(2)当m=1时,方程的整数根为0和3.【解析】
(1)先解出分式方程①的解,根据分式的意义和方程①的根为非负数得出的取值;
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=3,,根据方程的两个根都是整数可得m=1或.结合(1)的结论可知m1.解方程即可.【详解】解:(1)∵关于x的分式方程的根为非负数,∴且.又∵,且,∴解得且.又∵方程为一元二次方程,∴.综上可得:且,.(2)∵一元二次方程有两个整数根x1、x2,m为整数,∴x1+x2=3,,∴为整数,∴m=1或.又∵且,,∴m1.当m=1时,原方程可化为.解得:,.∴当m=1时,方程的整数根为0和3.【点睛】考查了解分式方程,一元二次方程根与系数的关系,解一元二次方程等,熟练掌握方程的解法是解题的关
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