苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.12直线与圆的位置关系(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

专题2.12直线与圆的位置关系（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】直线与圆的位置关系直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2．直线与圆的位置关系的判定和性质

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么直线和圆相交;直线和圆相切;直线和圆相离;【要点提示】这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．【知识点二】切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【要点提示】切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.

【知识点三】切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

【要点提示】切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.【知识点四】切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

【要点提示】切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.

2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【要点提示】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.

【知识点四】三角形的内切圆三角形的内切圆：三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2．三角形的内心：角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

【要点提示】

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】判断直线和圆的位置关系【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问：（1）当R为何值时，和直线相离？（2）当R为何值时，和直线相切？（3）当R为何值时，和直线相交？【变式1】（2023·湖北孝感·一模）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交【变式2】（2023·山东菏泽·二模）已知在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径作，则直线与的位置关系是（相切、相交或相离）．【题型2】由直线与圆的位置关系求值或取值范围【例2】（2024·河南周口·一模）在中，，连接．

（1）尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：为的切线；（3）若，，则的半径为______.【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或2 C．3 D．1或3【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围．【题型3】切线的性质定理求值与证明【例3】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，以点O为圆心，为半径的交于点D，交于点E，延长交☉O于点F，连接．（1）求证：；（2）若是的切线，求证：也是的切线．【变式1】（2024·重庆·三模）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（）A．3 B．4 C． D．【变式2】（2024·甘肃陇南·模拟预测）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是°．【题型4】切线的性质定理与判定定理求值与证明【例4】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求⊙O的半径．【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）

A． B．3 C． D．【变式2】（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为．

【题型5】切线长定理求值与证明【例5】（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．（1）求证：．（2）若，求线段的长．【变式1】（2023·山东青岛·二模）如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（）

A． B． C． D．【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，分别与相切于点A、B，的切线分别交于点E、F，切点C在上．若长为2，则的周长是．【题型6】三角形内切圆与外接圆综合【例6】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．（1）求证：；（2）求证：；（3）连接、，求证：点D是的外心．【变式1】（2024·山东聊城·一模）如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是．【题型7】圆的综合问题【例7】（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．

（1）求证：是的切线；（2）若点为的中点，的半径为，求的长．【变式1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知直线，与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连接、，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的直径，，为圆上的两点，过C作于D，过E作于F，，点H为上一动点，连接，则的最小值为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为．

【例2】（2024·山东济宁·中考真题）如图，内接于，D是上一点，．E是外一点，，连接．（1）若，求的长；（2）求证：是的切线．2、拓展延伸【例1】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与相切于点，为的直径，过点作于点，延长交直线于点．（1）求证：平分；（2）如果，，求的半径．【例2】（2024·浙江台州·模拟预测）如图，为直径，P为延长线上一点，过点P作切线，切点为C，，垂足为D，连接和．

(1)如图1，求证：平分；(2)在上取点E，使得；①如图2，E为下方上一点，连接，若，求半径；②如图3，E为上一点，且，若半径为2，则的长为______．专题2.12直线与圆的位置关系（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】直线与圆的位置关系直线和圆的三种位置关系：

(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

2．直线与圆的位置关系的判定和性质

直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？

由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么直线和圆相交;直线和圆相切;直线和圆相离;【要点提示】这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．【知识点二】切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【要点提示】切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.

【知识点三】切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

【要点提示】切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.【知识点四】切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

【要点提示】切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.

2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

【要点提示】切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.

【知识点四】三角形的内切圆三角形的内切圆：三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2．三角形的内心：角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.

【要点提示】

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】判断直线和圆的位置关系【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问：（1）当R为何值时，和直线相离？（2）当R为何值时，和直线相切？（3）当R为何值时，和直线相交？【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可．（1）解：过点C作于点D，

∵中，，∴，∴，∴当，和直线相离；（2）解：当时，和直线相切；（3）解：当时，和直线相交．【变式1】（2023·湖北孝感·一模）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（

）A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交【答案】B【分析】本题考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键．设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与圆相离，于是得到问题的答案．解：设的半径为，解一元一次方程得，，∵的半径是一元二次方程的一个根，∴，∵圆心到直线的距离，∴，∴直线与相离，故选：B．【变式2】（2023·山东菏泽·二模）已知在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径作，则直线与的位置关系是（相切、相交或相离）．【答案】相交【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据直线与y轴的交点在内部，即可确定直线与圆的位置关系是相交．解：当时，，即直线与y轴的交点为，而此点在内部，∴直线与的位置关系是相交；故答案是：相交．【题型2】由直线与圆的位置关系求值或取值范围【例2】（2024·河南周口·一模）在中，，连接．

（1）尺规作图：过点A作，交的延长线于点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：为的切线；（3）若，，则的半径为______.【答案】(1)图见解析(2)证明见解析(3)2【分析】本题考查了圆的综合，熟悉相关的知识点是解题的关键，（1）以A为圆心，长为半径画弧，以C为圆心长为半径画弧交于点P，连接，延长交于点D即可；（2）连接并延长交于点M，证明是线段的垂直平分线即可；（3）证明即可．解：（1）如图所示：

（2）如图连接并延长交于点M，

∵，；∴是线段的垂直平分线；∴；∵；∴；∴为的切线．（3）设，；∵；∴；∵；∴；即；解得：；∴；∴；∴；故答案为：2．【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或2 C．3 D．1或3【答案】D【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可．解：连接，作于点，由垂径定理得：，在直角中，由勾股定理得：，即，，的半径是2．将向上平移，当与轴相切时，平移的距离；将向下平移，当与轴相切时，平移的距离．故选：D【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）已知的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围．【答案】/【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求解．解：∵的半径是6，点O到直线l的距离为d，∴直线l与相切或相交，∴．故答案为：．【题型3】切线的性质定理求值与证明【例3】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，以点O为圆心，为半径的交于点D，交于点E，延长交☉O于点F，连接．（1）求证：；（2）若是的切线，求证：也是的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，切线的判定等：（1）根据平行线的性质证明，，根据得出，等量代换得出，即可证明；（2）由切线的定义可知，再证，推出，即可证明也是的切线．解：（1）证明：如图，连接，，四边形是平行四边形，，，，，，，，；（2）证明：是的切线，；由（1）得，即，在和中，，，，又点D在上，是的切线．【变式1】（2024·重庆·三模）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】本题主要考查圆周角定理、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点．连接．根据切线的定义得出，由含30度直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，证明，根据等腰三角形的性质和判定即可求得答案．解：如图，连接．是的切线，，在中，，，，，，，，，，，．故选：C．【变式2】（2024·甘肃陇南·模拟预测）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点D，连接．若，则的度数是°．【答案】26【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理，利用圆的切线的性质定理和圆周角定理解答即可．解：∵是的切线，∴，∵，∴，∴，故答案为：26．【题型4】切线的性质定理与判定定理求值与证明【例4】（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且．（1）求证：是的切线；（2）若，，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论；（2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可．解：（1）证明：过O点作于点E，∵与相切于点A，∴又∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴是的切线；（2）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，在中，，即，解得：．【点拨】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质．【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）

A． B．3 C． D．【答案】D【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理．根据题意连结、OQ，当时，线段最短，即线段最短，再根据勾股定理求解即可．解：如答图，连结、OQ．

是的切线，，，当时，，线段最短，即线段最短．，，，，，，．故选：D．【变式2】（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点都在上，过点作的切线，与的延长线相交于点．若的半径为2，则的长为．

【答案】【分析】本题考查了圆的综合题，菱形的性质，切线的判定与性质，正确添加辅助线，注意数形结合思想的应用是解题的关键．连接，由菱形的性质得，再由三角函数即可解答．解：连接．

四边形是菱形，，，，，是的切线，，，．【题型5】切线长定理求值与证明【例5】（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．（1）求证：．（2）若，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)、【分析】（1）连接，由切线得性质得：，再证明与相切于点C，则，再证，得，则，即可得答案；（2）先求出的值，由，求出，再证明垂直平分，则，求出的长，即可得答案．（1）解：如下图，连接，与相切于点E，，，，，是的半径，，与相切于点C，，在和中，，，，，；（2），，，，，且，，解得：，，，点O、点A都在线段的垂直平分线上，垂直平分，，，，，线段，的长分别是1、．【点拨】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【变式1】（2023·山东青岛·二模）如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果．解：连接，

，分别切圆于、，，，，，是圆的直径，，．故选：D．【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，分别与相切于点A、B，的切线分别交于点E、F，切点C在上．若长为2，则的周长是．【答案】4【分析】本题主要考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．根据切线长定理可得，，即可求解．解：分别与相切于点A、B，，的切线分别交于点E、F，，的周长．故答案为：4【题型6】三角形内切圆与外接圆综合【例6】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．（1）求证：；（2）求证：；（3）连接、，求证：点D是的外心．【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；（2）连接，证出即可得证；（3）连接，，，证出即可得证．解：（1）证明：点I是的内心，平分，，，，．（2）证明：如图，连接，点I是的内心，平分，平分，，又，，，，，．（3）证明：如图，连接，，，，．，∴点D是的外心．【点拨】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.【变式1】（2024·山东聊城·一模）如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的内心、外心，连接，证明是等边三角形，即可求解，牢记“等边三角形的内心与外接圆的圆心重合”是解题的关键．解：如图，连接，是等边三角形，，点为等边的内心，，，等边三角形的内心与外接圆的圆心重合，点为的外接圆的圆心，，是等边三角形，，故选A．【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是．【答案】解：如图，在，，，，∴，设的内切圆的半径为r，则，∵，∴，，，∴，解得，∴，在中，，∴．【题型7】圆的综合问题【例7】（2024·云南·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，平分．

（1）求证：是的切线；（2）若点为的中点，的半径为，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握相关的知识．（1）连接，则，得到，结合平分可推出，根据平行线的性质并结合，交的延长线于点，即可证明；（2）连接，则，由圆周角定理和角平分线的定义可推出是等边三角形，得到，，推出，得到，最后由勾股定理即可求解．解：（1）证明：如图，连接，则，

，平分，，，，

，，交AE的延长线于点，，，即，是的半径，是的切线；（2）解：如图，连接，则，

由（1）知，，，点为的中点，，，

是等边三角形，，，

由（1）知是的切线，，，

，，．【变式1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知直线，与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连接、，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点、圆上动点问题，勾股定理，求出圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．过点作于点，连接，根据一次函数求出点、的坐标，然后利用等面积即可求出的值，根据圆上距离直线最远的点为，即可求得面积的最大值．解：过点作于点，连接，令，则，令，则，得，点，点，，，，根据勾股定理可得：，则由三角形面积公式得：，，，，圆的半径圆上点到直线的最大距离是，即，则面积的最大值为：，故选：C．【变式2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的直径，，为圆上的两点，过C作于D，过E作于F，，点H为上一动点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】本题主要考查圆与几何的综合，掌握轴对称-最短路径，勾股定理，矩形的判定和性质是解题的关键．根据题意，连接，运用勾股定理可求出的值，根据轴对称最短路径作点的对称点，连接交于点，此时的值最小，过点作，可得矩形，可得的长，运用勾股定理即可求解．解：如图所示，连接，作点关于直径的对称点，根据可得对称点落在上，连接与交于点，根据轴对称的性质可得，此时的值最小，∵，，，，∴，在，中，根据勾股定理得，，，∴，∵点的对称点是，∴，如图所示，过点作，延长交于点，∴四边形时矩形，∴，，，∴在中，，∴的最小值为：，故答案为：．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为．

【答案】【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可．解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，

∵I是的内心，∴平分，∴，又，∴，∴，∴，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴的最小值为．故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形