弹性力学基础：应力函数：应力函数的求解方法：泊松方程

弹性力学基础：应力函数：应力函数的求解方法：泊松方程1弹性力学概述1.1弹性力学的基本概念弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布。弹性体是指在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复到原来形状的物体。在弹性力学中，我们关注的是物体的内部应力和应变，以及它们与外力之间的关系。1.1.1弹性体的分类一维弹性体：如杆件，主要研究轴向应力和应变。二维弹性体：如板和壳，研究平面应力和平面应变问题。三维弹性体：如实体，研究空间应力和应变问题。1.1.2弹性力学的基本假设连续性假设：物体内部的应力和应变是连续分布的。小变形假设：物体的变形相对于其原始尺寸很小。各向同性假设：物体在所有方向上的物理性质相同。均匀性假设：物体的物理性质在空间上是均匀的。1.2应力与应变的关系在弹性力学中，应力和应变之间的关系是通过材料的本构方程来描述的。对于线性弹性材料，这种关系遵循胡克定律。1.2.1胡克定律胡克定律表述为应力与应变成正比，比例常数为材料的弹性模量。对于一维情况，胡克定律可以表示为：σ其中，σ是应力，ϵ是应变，E是弹性模量。1.2.2弹性模量杨氏模量E：描述材料在拉伸或压缩时的弹性性质。剪切模量G：描述材料在剪切作用下的弹性性质。体积模量K：描述材料在体积变化时的弹性性质。1.2.3应力张量和应变张量在三维情况下，应力和应变分别用应力张量和应变张量来描述。应力张量和应变张量都是二阶张量，可以表示为：σ其中，Eijkl是弹性常数，σ1.2.4应力张量的分量应力张量的分量包括正应力和剪应力。正应力是垂直于物体表面的应力，剪应力是平行于物体表面的应力。1.2.5应变张量的分量应变张量的分量包括线应变和剪应变。线应变描述物体在某一方向上的伸长或缩短，剪应变描述物体在某一平面内的剪切变形。1.2.6应力边界条件和位移边界条件应力边界条件：在物体的边界上，可以指定应力的大小和方向。位移边界条件：在物体的边界上，可以指定位移的大小和方向。1.2.7平衡方程在弹性体内部，应力必须满足平衡方程，即在任意体积元上，所有作用力的合力为零。平衡方程可以表示为：∂其中，fi1.2.8应力函数应力函数是弹性力学中用于简化应力和应变计算的一种数学工具。通过引入应力函数，可以将弹性力学问题转化为偏微分方程问题，从而简化求解过程。1.2.9泊松方程在某些情况下，应力函数的求解可以转化为泊松方程的求解。泊松方程是一种常见的偏微分方程，形式为：∇其中，ϕ是应力函数，f是源项，∇21.2.10泊松方程的求解方法泊松方程的求解方法包括解析解法和数值解法。解析解法适用于简单几何形状和边界条件的问题，而数值解法适用于复杂几何形状和边界条件的问题。解析解法示例假设我们有一个无限长的圆柱体，其轴向应力为常数，径向和周向应力为零。在这种情况下，泊松方程可以简化为：∂其中，r是圆柱体的半径。这个方程的解析解为：ϕ其中，A和B是积分常数，可以通过边界条件来确定。数值解法示例对于复杂几何形状和边界条件的问题，我们通常使用数值解法，如有限元法或边界元法。以下是一个使用Python和SciPy库求解泊松方程的简单示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义网格大小和泊松方程的源项

N=100

f=np.ones((N,N))

#定义拉普拉斯算子的矩阵

data=np.array([[-4,1,1,1,1]])

offsets=np.array([0,-1,1,-N,N])

L=diags(data,offsets,shape=(N*N,N*N)).tocsc()

#应用边界条件

L[0,:N]=1

L[N-1,N-1:N+N-1]=1

L[N*(N-1),N*(N-1):N*(N-1)+N]=1

L[N*N-1,N*N-N:N*N]=1

#求解泊松方程

phi=spsolve(L,f.flatten()).reshape(N,N)

#打印结果

print(phi)在这个例子中，我们使用了一个100×100的网格来求解泊松方程。我们首先定义了网格大小和泊松方程的源项，然后构建了拉普拉斯算子的矩阵。接着，我们应用了边界条件，最后使用SciPy库的1.2.11结论弹性力学是研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科。应力和应变之间的关系遵循胡克定律，而泊松方程是求解应力函数的一种常见方法。通过解析解法和数值解法，我们可以解决各种弹性力学问题。2泊松方程的推导2.1弹性体的平衡方程在弹性力学中，平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件。对于一个三维弹性体，平衡方程可以表示为：∇其中，σ是应力张量，b是体力向量，∇⋅σ表示应力张量的散度。在没有体力作用的情况下，即∇2.1.1应力张量的表示应力张量σ可以用以下形式表示：σ2.1.2应力与应变的关系在弹性体中，应力与应变的关系由胡克定律给出：σ其中，C是弹性张量，ε是应变张量。在各向同性材料中，胡克定律可以简化为：σ这里，λ和μ分别是拉梅常数和剪切模量，δij2.1.3应变与位移的关系应变张量ε可以通过位移场u来表示：ε将应变与位移的关系代入应力与应变的关系中，可以得到应力与位移的关系。2.2泊松方程的数学形式将上述关系代入平衡方程中，可以得到泊松方程的数学形式。对于各向同性材料，在没有体力作用的情况下，泊松方程可以表示为：∇这里，∇2是拉普拉斯算子，∇⋅2.2.1简化泊松方程在平面应力或平面应变问题中，泊松方程可以进一步简化。例如，在平面应力问题中，泊松方程可以简化为：∇∇这里，E是弹性模量，ux和uy分别是位移场在x和y2.2.2泊松方程的求解泊松方程的求解通常采用数值方法，如有限元法或有限差分法。下面是一个使用Python和SciPy库求解二维泊松方程的示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义网格大小和边界条件

nx,ny=100,100

hx,hy=1.0/(nx-1),1.0/(ny-1)

u=np.zeros((nx,ny))

u[0,:]=1.0#上边界条件

u[-1,:]=0.0#下边界条件

u[:,0]=0.0#左边界条件

u[:,-1]=0.0#右边界条件

#定义泊松方程的系数矩阵

data=[np.ones(nx*ny),-2*np.ones(nx*ny),np.ones(nx*ny)]

diags_indices=[0,np.arange(1,nx*ny),np.arange(-1,nx*ny-1)]

A=diags(data,diags_indices,shape=(nx*ny,nx*ny)).toarray()

#定义泊松方程的右侧向量

b=np.zeros(nx*ny)

#更新系数矩阵和右侧向量以考虑边界条件

foriinrange(nx):

forjinrange(ny):

ifi==0:

A[i*ny+j,i*ny+j]=1.0

b[i*ny+j]=u[i,j]

elifi==nx-1:

A[i*ny+j,i*ny+j]=1.0

b[i*ny+j]=u[i,j]

elifj==0:

A[i*ny+j,i*ny+j]=1.0

b[i*ny+j]=u[i,j]

elifj==ny-1:

A[i*ny+j,i*ny+j]=1.0

b[i*ny+j]=u[i,j]

else:

A[i*ny+j,i*ny+j]=-4.0/(hx*hy)

A[i*ny+j,(i-1)*ny+j]=1.0/(hx*hy)

A[i*ny+j,(i+1)*ny+j]=1.0/(hx*hy)

A[i*ny+j,i*ny+j-1]=1.0/(hx*hy)

A[i*ny+j,i*ny+j+1]=1.0/(hx*hy)

#求解泊松方程

u=spsolve(A,b).reshape((nx,ny))

#输出结果

print(u)在这个例子中，我们使用了一个100x100的网格来求解泊松方程。上边界条件被设置为1.0，而其他边界条件被设置为0.0。我们使用了有限差分法来离散泊松方程，并使用SciPy库中的spsolve函数来求解系数矩阵和右侧向量。2.3结论泊松方程是弹性力学中描述弹性体内部力平衡条件的重要方程。通过将应力与应变的关系、应变与位移的关系以及平衡方程相结合，我们可以得到泊松方程的数学形式。泊松方程的求解通常采用数值方法，如有限元法或有限差分法。在实际应用中，泊松方程的求解可以帮助我们预测弹性体在不同载荷条件下的变形和应力分布。3弹性力学基础：应力函数3.1应力函数的概念在弹性力学中，应力函数是一个用于简化弹性体内部应力分布计算的数学工具。它通过满足弹性体的平衡方程和相容方程，间接地描述了应力场的分布。应力函数的引入，使得在解决复杂弹性问题时，可以避免直接求解应力分量，从而简化了计算过程。3.1.1定义应力函数通常定义为一个标量函数，记作ux,y,z，vx,y,z或3.1.2特性平衡方程：应力函数必须满足弹性体的平衡方程，即在没有外力作用时，弹性体内部的应力分量满足静力平衡条件。相容方程：应力函数还必须满足相容方程，确保由应力函数导出的应变分量满足几何相容条件，即应变分量之间满足一定的关系，以保证变形的连续性。3.2应力函数与应力的关系在弹性力学中，应力函数与应力之间的关系是通过一系列微分方程建立的。对于平面应力问题，Airy应力函数ux,y与应力分量σx，3.2.1示例：求解平面应力问题假设我们有一个矩形弹性体，其长为L，宽为W，在x方向上受到均匀分布的拉力P。我们可以通过求解Airy应力函数来找到应力分布。步骤1：建立应力函数方程首先，根据上述方程组，我们建立应力函数ux,y的方程。由于在x方向上存在拉力，我们可以假设σ步骤2：求解应力函数接下来，我们求解上述微分方程。这是一个关于y的二阶微分方程，其通解为：u其中A，B和C是积分常数。为了确定这些常数，我们需要应用边界条件。步骤3：应用边界条件假设弹性体的底部（y=0）和顶部（y=σ这意味着A=0。同时，由于ux,y在yu步骤4：确定积分常数最后，我们需要确定积分常数C。假设在x=0和x=L边界上，应力函数ux步骤5：计算应力分量现在我们有了应力函数ux这表明在x方向上存在均匀的拉应力P，而在y方向上没有应力，剪应力也不存在。3.2.2Python代码示例虽然在本例中，我们没有使用数值方法求解微分方程，但在实际应用中，特别是在处理更复杂边界条件和几何形状时，数值方法如有限元法或有限差分法是常用的。以下是一个使用Python和SciPy库求解上述微分方程的简单示例：importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_bvp

defstress_function(x,y,P):

#定义应力函数的微分方程

defequation(y,u):

return[u[1],P]#u[0]=u(x,y),u[1]=du/dy

#定义边界条件

defboundary(u0,u1):

return[u0[0],u1[0]-P*(W**2)/2]#u(x,0)=0,u(x,W)=PW^2/2

#初始猜测

x=np.linspace(0,L,100)

y=np.linspace(0,W,100)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

u_guess=np.zeros(X.shape)

#求解边界值问题

sol=solve_bvp(equation,boundary,Y,u_guess)

returnsol.sol(X,Y)[0]

#参数

L=1.0#长度

W=0.5#宽度

P=100.0#拉力

#求解应力函数

u=stress_function(x,y,P)在上述代码中，我们使用了SciPy的solve_bvp函数来求解边界值问题。虽然这个例子中，我们已经知道解析解，但在处理更复杂的微分方程时，这种方法非常有用。通过应力函数的引入和求解，我们可以更有效地分析和解决弹性力学中的问题，特别是在处理复杂边界条件和几何形状时。4泊松方程的求解方法4.1分离变量法求解泊松方程泊松方程是弹性力学中描述物体内部应力分布的重要方程，形式为：∇其中，∇2是拉普拉斯算子，u是应力函数，而f4.1.1原理分离变量法的基本思想是假设应力函数uxu将此假设代入泊松方程，可以得到关于每个变量的独立方程。通过适当选择边界条件，可以求解这些方程，从而得到应力函数的解析解。4.1.2示例考虑一个二维泊松方程：∂假设uxX进一步整理，得到两个独立的常微分方程：XY其中，λ是分离常数。对于每个方程，根据边界条件（如X0=XL=0和Y04.1.3代码示例假设我们使用Python的scipy库来求解上述方程中的Xx和Yy。这里我们只展示求解Xx的过程，因为importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_bvp

#定义常微分方程

defequation(x,y):

returnnp.vstack((y[1],-10*y[0]))#X''(x)=-10X(x)

#定义边界条件

defboundary(ya,yb):

returnnp.array([ya[0],yb[0]])#X(0)=X(L)=0

#定义网格点

x=np.linspace(0,1,100)

#初始猜测

y=np.zeros((2,x.size))

#求解边界值问题

sol=solve_bvp(equation,boundary,x,y)

#绘制解

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(x,sol.sol(x)[0])

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('X(x)')

plt.title('SolutionofX(x)')

plt.show()此代码示例展示了如何使用egrate.solve_bvp函数求解Xx4.2边界条件在泊松方程求解中的应用边界条件在泊松方程的求解中起着关键作用，它们定义了应力函数在物体边界上的行为。常见的边界条件包括：Dirichlet边界条件：指定边界上的函数值。Neumann边界条件：指定边界上的函数导数值。Robin边界条件：是Dirichlet和Neumann边界条件的组合。4.2.1应用在弹性力学中，边界条件通常反映了物体的支撑方式或外力作用。例如，如果物体的一端被固定，那么在该端的边界条件可能是u=0（Dirichlet边界条件）。如果物体的一侧受到均匀的压力，边界条件可能是∂u∂n=4.2.2示例考虑一个长方形平板，其长宽分别为L和H，在x=0和x=L的边界上，应力函数ux,y被固定为零（Dirichlet边界条件）；在y4.2.3代码示例使用Python的scipy库求解泊松方程，并应用上述边界条件。这里我们使用scipy.sparse.linalg.spsolve来求解离散化的泊松方程。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义网格

L,H=1,1

N=100

x=np.linspace(0,L,N)

y=np.linspace(0,H,N)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#定义泊松方程的离散化

dx=x[1]-x[0]

dy=y[1]-y[0]

A=diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(N-2,N-2)).toarray()/dx**2+\

diags([1,-2,1],[-N+1,0,N-1],shape=(N-2,N-2)).toarray()/dy**2

#定义源项

f=np.sin(np.pi*X)*np.sin(np.pi*Y)

#应用边界条件

f[0,:]=0

f[-1,:]=0

f[:,0]=0

f[:,-1]=0

#求解泊松方程

u=spsolve(A,f[1:-1,1:-1].flatten()).reshape((N-2,N-2))

#绘制解

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.imshow(u,extent=[0,L,0,H],origin='lower')

plt.colorbar()

plt.title('SolutionofPoissonEquationwithBoundaryConditions')

plt.show()此代码示例展示了如何使用scipy.sparse和scipy.sparse.linalg模块来离散化并求解泊松方程，同时应用了Dirichlet和Neumann边界条件。在实际应用中，需要根据具体问题调整网格大小、边界条件和源项函数。5泊松方程在弹性力学中的应用5.1平面应力问题的泊松方程求解在弹性力学中，平面应力问题通常发生在薄板结构中，其中应力在板的厚度方向上可以忽略。对于这样的问题，泊松方程提供了一种求解应力分布的有效方法。泊松方程的一般形式为：∇其中，∇2是拉普拉斯算子，u是位移的某个分量，而f5.1.1应力函数的定义应力函数Axσ其中，σx和σy分别是x和y方向的正应力，而5.1.2泊松方程的推导利用平面应力条件和胡克定律，泊松方程可以被推导为：∇其中，∇4是双调和算子，定义为∇2∇5.1.3求解泊松方程求解泊松方程通常需要边界条件。对于平面应力问题，边界条件可以是应力或位移的指定值。在数值求解中，有限元方法或有限差分方法是常用的工具。有限元方法示例假设我们有一个矩形薄板，其尺寸为1m×1m，材料属性为弹性模量E=importfenicsasfe

#定义网格和函数空间

mesh=fe.RectangleMesh(fe.Point(0,0),fe.Point(1,1),32,32)

V=fe.FunctionSpace(mesh,'P',2)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=fe.DirichletBC(V,fe.Constant(0),boundary)

#定义泊松方程的弱形式

u=fe.TrialFunction(V)

v=fe.TestFunction(V)

f=fe.Constant(0)

a=fe.dot(fe.grad(u),fe.grad(v))*fe.dx

L=f*v*fe.dx

#求解泊松方程

u=fe.Function(V)

fe.solve(a==L,u,bc)

#计算应力

A=u

sigma_x=ject(fe.diff(A,y,y),V)

sigma_y=ject(fe.diff(A,x,x),V)

tau_xy=ject(-fe.diff(A,x,y),V)

#输出结果

fe.plot(sigma_x)

fe.plot(sigma_y)

fe.plot(tau_xy)这段代码使用FEniCS库，一个用于求解偏微分方程的高级数值求解器，来求解泊松方程并计算应力分布。5.2平面应变问题的泊松方程求解平面应变问题发生在长而厚的结构中，其中应变在结构的长度方向上可以忽略。在这种情况下，泊松方程的求解方法略有不同，但基本原理相似。5.2.1平面应变条件下的泊松方程在平面应变条件下，泊松方程可以被改写为：∇其中，σz是z方向的正应力。然而，由于平面应变的假设，σ5.2.2应力函数的求解在平面应变问题中，应力函数的求解通常涉及更复杂的方程组，包括平衡方程和胡克定律。这些方程组可以被转换为一个更复杂的泊松方程形式，但通常直接求解应力和应变更为直接。有限元方法示例考虑一个平面应变问题，其中一个长而厚的结构受到侧向约束和轴向拉伸。我们可以使用有限元方法来求解应力和应变分布。importfenicsasfe

#定义网格和函数空间

mesh=fe.RectangleMesh(fe.Point(0,0),fe.Point(1,1),32,32)

V=fe.VectorFunctionSpace(mesh,'P',2)

#定义边界条件

defleft_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0)

defright_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],1)

bc_left=fe.DirichletBC(V.sub(0),fe.Constant(0),left_boundary)

bc_right=fe.DirichletBC(V.sub(0),fe.Constant(100),right_boundary)

#定义材料属性

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定义应变能密度

defstrain_energy_density(u):

e=fe.sym(fe.grad(u))

returnlmbda*fe.tr(e)**2+2*mu*fe.inner(e,e)

#定义泊松方程的弱形式

u=fe.TrialFunction(V)

v=fe.TestFunction(V)

a=fe.derivative(strain_energy_density(u)*fe.dx,u,v)

L=fe.Constant(0)*fe.dx

#求解泊松方程

u=fe.Function(V)

fe.solve(a==L,u,[bc_left,bc_right])

#计算应力

sigma_x=2*mu*ject(fe.diff(u,x),V)+lmbda*ject(fe.div(u),V)

sigma_y=2*mu*ject(fe.diff(u,y),V)+lmbda*ject(fe.div(u),V)

tau_xy=mu*ject(fe.diff(u,x,y)+fe.diff(u,y,x),V)

#输出结果

fe.plot(sigma_x)

fe.plot(sigma_y)

fe.plot(tau_xy)这个示例展示了如何使用FEniCS库求解平面应变问题中的应力分布。通过定义应变能密度和泊松方程的弱形式，我们可以求解位移场，进而计算应力和应变。通过以上两个示例，我们可以看到泊松方程在弹性力学中的应用，特别是在平面应力和平面应变问题中。使用有限元方法，我们可以有效地求解这些方程，从而获得结构的应力和应变分布。这在工程设计和分析中是至关重要的，因为它帮助我们理解材料在不同载荷条件下的行为，从而确保结构的安全性和可靠性。6实例分析6.1圆盘受均布压力的泊松方程求解在弹性力学中，泊松方程是求解应力函数的关键方程之一，尤其在平面应力和平面应变问题中。对于一个圆盘受均布压力的情况，泊松方程的求解可以提供圆盘内部的应力分布信息。假设圆盘的半径为R，厚度为h，在圆盘的上表面施加一个均布压力p，下表面为自由边界，且圆盘的边缘不受任何约束。6.1.1泊松方程泊松方程在弹性力学中的形式为：∇其中，φ是应力函数，∇2是拉普拉斯算子，f是源项，对于圆盘受均布压力问题，f6.1.2解析解对于圆盘受均布压力问题，可以采用极坐标系下的泊松方程求解。假设应力函数φ仅与径向距离r有关，泊松方程简化为：1其中，E是弹性模量。解此方程，可以得到应力函数φ的解析解。6.1.3数值解在实际工程问题中，解析解往往难以获得，此时可以采用数值方法求解泊松方程。以有限差分法为例，将圆盘区域离散化，建立网格，然后在每个网格点上应用泊松方程的差分形式，通过迭代求解得到应力函数的数值解。代码示例importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义参数

R=1.0#圆盘半径

h=0.1#圆盘厚度

p=100#均布压力

E=200e3#弹性模量

N=100#网格点数

#创建网格

r=np.linspace(0,R,N)

phi=np.zeros_like(r)

#应用泊松方程的差分形式

foriinrange(1,N-1):

phi[i]=phi[i]+(r[i+1]-r[i-1])/(2*r[i])*(phi[i+1]-phi[i-1])-p/E*(r[i+1]-r[i-1])**2/(4*r[i])

#边界条件

phi[0]=0#圆心处应力函数为0

phi[-1]=-p*R**2/(2*E)#圆盘边缘的应力函数值

#绘制结果

plt.plot(r,phi)

plt.xlabel('径向距离r')

plt.ylabel('应力函数φ')

plt.title('圆盘受均布压力的泊松方程数值解')

plt.show()6.1.4解释上述代码中，我们首先定义了圆盘的半径、厚度、均布压力和弹性模量。然后，创建了一个径向网格，并初始化应力函数φ为零。通过迭代应用泊松方程的差分形式，更新每个网格点上的应力函数值。最后，应用边界条件，并绘制应力函数随径向距离变化的曲线。6.2矩形板受集中力的泊松方程求解矩形板受集中力的情况是弹性力学中的另一个常见问题。假设矩形板的尺寸为a×b，在板的中心施加一个集中力6.2.1泊松方程对于矩形板受集中力问题，泊松方程可以表示为：∇其中，φ是应力函数，∇2是拉普拉斯算子，F是集中力，E6.2.2解析解解析解的求解通常较为复杂，需要考虑边界条件和载荷分布。在某些特殊情况下，如矩形板的尺寸和载荷分布满足特定条件时，可以找到解析解。6.2.3数值解数值解的求解过程与圆盘受均布压力类似，但需要在矩形区域内建立网格，并应用泊松方程的差分形式。边界条件的处理也更为复杂，需要确保所有边界上的位移和应力满足给定的约束。代码示例importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义参数

a=1.0#矩形板长度

b=1.0#矩形板宽度

F=1000#集中力

E=200e3#弹性模量

N=100#网格点数

#创建网格

x=np.linspace(0,a,N)

y=np.linspace(0,b,N)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

phi=np.zeros((N,N))

#应用泊松方程的差分形式

dx=x[1]-x[0]

dy=y[1]-y[0]

A=diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(N-2,N-2)).toarray()/dx**2+diags([1,-2,1],[-1,0,1],shape=(N-2,N-2)).toarray().T/dy**2

b=-F/(a*b*E)*np.ones((N-2,N-2))

#解线性方程组

phi[1:-1,1:-1]=spsolve(A,b).reshape((N-2,N-2))

#边界条件

phi[0,:]=0#下边界

phi[-1,:]=0#上边界

phi[:,0]=0#左边界

phi[:,-1]=0#右边界

#绘制结果

plt.imshow(phi,extent=[0,a,0,b],origin='lower')

plt.colorbar()

plt.xlabel('x方向')

plt.ylabel('y方向')

plt.title('矩形板受集中力的泊松方程数值解')

plt.show()6.2.4解释在矩形板受集中力的泊松方程求解中，我们首先定义了矩形板的尺寸、集中力和弹性模量。然后，创建了x和y方向的网格，并初始化应力函数φ为零。通过构建泊松方程的差分形式对应的线性方程组，并使用scipy.sparse.linalg.spsolve函数求解，得到应力函数的数值解。最后，应用边界条件，并使用matplotlib库绘制应力函数在矩形板上的分布图。以上两个实例展示了如何在弹性力学中使用泊松方程求解圆盘受均布压力和矩形板受集中力问题的应力函数。通过解析解和数值解的对比，可以更深入地理解泊松方程在实际工程问题中的应用。7泊松方程的数值解法7.1有限差分法求解泊松方程7.1.1原理泊松方程是弹性力学中描述物体内部应力分布的重要方程，形式为：∇其中，u是位移函数，f是源项，∇2∂有限差分法通过将连续的偏微分方程离散化，将其转换为一系列代数方程，从而可以使用数值方法求解。离散化过程通常涉及将空间域划分为网格，并在网格点上用差商近似偏导数。7.1.2内容离散化步骤网格划分：将二维空间划分为均匀或非均匀网格。差分逼近：使用中心差分公式近似二阶偏导数。代数方程组：将泊松方程在每个网格点上离散化，得到代数方程组。边界条件：应用适当的边界条件。求解：使用迭代方法或直接求解器求解代数方程组。代码示例importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义网格参数

nx,ny=100,100

hx,hy=1.0/(nx-1),1.0/(ny-1)

#创建网格

x=np.linspace(0,1,nx)

y=np.linspace(0,1,ny)

X,Y=np.meshgrid(x,y)